玩转线性代数

第五章，向量空间，4-正交向量组若两向量 α \alpha α与 β \beta β的内积等于零，即 [ α , β ] = 0 [\alpha, \beta]=0 [α,β]=0 则称向量 α \alpha α与 β \beta β相互正交，记作 α ⊥ β \alpha \perp \beta α⊥β

第三章，矩阵，08-矩阵的秩及相关性质设矩阵 A m ∗ n A_{m*n} Am∗n，称其标准形中单位矩阵子块的阶数为矩阵A的秩，记为 R ( A ) R(A) R(A)

第四章，向量组，3-线性相关性定义：给定向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:a_1,a_2,\cdots,a_m A:a1,a2,⋯,am，如果存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km使 k 1 a 1 + k 2 a 2 + ⋯ + k m a m = 0 k_1a_1+k_2a_2+\cdots+k_ma_m=0 k1a1+k2a2+⋯+kmam=0 则称向量组A线性相关，否则称为线性无关。推广：两个向量线性相关的充要条件

第四章，向量组，2-矩阵等价与向量组等价的关系设有 A m ∗ n B n ∗ l = C m ∗ l A_{m*n}B_{n*l}=C_{m*l} Am∗nBn∗l=Cm∗l，那么A、B矩阵的行、列向量组与C的行、列向量组之间有什么关系呢？先看C的行向量组， C = A B C=AB C=AB，根据初等变换的知识，A在B左边，说明是对B进行的行变换（此时的行变换不一定是初等行变换，也不一定是可逆的），将B的行变成了C的行，故C的行向量组可以由B的行向量组来线性表示，如下： ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n

第三章，矩阵，09-线性方程组解的判断与求法、矩阵方程对n元线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b，A为系数矩阵， B = ( A ∣ b ) B=(A|b) B=(A∣b)为增广矩阵，则有（1） A x = b Ax=b Ax=b无解 ⇔ R ( A ) < R ( A , b ) \Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b) ⇔R(A)<R(A,b); （2） A x = b Ax=b Ax=b有唯一解 ⇔ R ( A ) = R ( A , b ) = n \Leftrightarrow R(A)=R(A,b)=n ⇔R(A)

第三章，矩阵，07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解已知： A r ∼ F A^r \sim F Ar∼F，求可逆阵 P P P，使 P A = F PA = F PA=F ( F F F为 A A A的行最简形) 方法：利用初等行变换，将矩阵A左边所乘初等矩阵相乘，从而得到可逆矩阵P. 步骤：（1）对矩阵A进行l次初等行变换至行最简形： A r ∼ F A^r \sim F Ar∼F，即 P l . . . P 2 P 1 A r = F P_l...P_2P_1A^r = F Pl...P2P1Ar=F （2）求 P = P l . . . P 2