| 序号 | 内容 |
|---|---|
| 1 | 【数理知识】向量的坐标基表示法，Matlab 代码验证 |
| 2 | 【数理知识】向量与基的内积，Matlab 代码验证 |
文章目录
- [1. 向量的坐标基表示](#1. 向量的坐标基表示)
- [2. 二维平面向量举例](#2. 二维平面向量举例)
- [3. Matlab 代码验证](#3. Matlab 代码验证)
- Ref
1. 向量的坐标基表示
假设空间中存在一个向量 a ⃗ \vec{a} a ，在不同的坐标系（或称坐标基）下，向量 a ⃗ \vec{a} a 由不同的坐标值表示。
当坐标基唯一确定后，对应的坐标值也唯一确定。同时向量也可以由坐标值和坐标基线性组合的形式来表示。
-
当向量为二维平面的向量时，可表示为
a ⃗ = a x e ⃗ 1 + a y e ⃗ 2 = [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ a x a y ] \vec{a} = a_x \vec{e}_1 + a_y \vec{e}_2 = \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] a =axe 1+aye 2=[e 1e 2][axay] -
当向量为三维空间的向量时，可表示为
a ⃗ = a x e ⃗ 1 + a y e ⃗ 2 + a z e ⃗ 3 = [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 e ⃗ 3 ] [ a x a y a z ] \vec{a} = a_x \vec{e}_1 + a_y \vec{e}_2 + a_z \vec{e}_3 = \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \\ a_z \end{matrix}\right] a =axe 1+aye 2+aze 3=[e 1e 2e 3] axayaz
2. 二维平面向量举例
接下来基于二维平面的一个向量来举例，不过三维空间的情况具有同样的性质和结论。
假设存在一个上述的二维平面向量 a ⃗ \vec{a} a ，在标准坐标基 e ⃗ 1 = [ 1 0 ] , e ⃗ 2 = [ 0 1 ] \vec{e}_1=\left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\right], \vec{e}_2=\left[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix}\right] e 1=[10],e 2=[01] 下的坐标值为 [ a x a y ] = [ 3 4 ] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] [axay]=[34]。那么此向量可以表示为
a ⃗ = a x e ⃗ 1 + a y e ⃗ 2 = [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ a x a y ] = 3 [ 1 0 ] + 4 [ 0 1 ] = [ 1 0 0 1 ] [ 3 4 ] = [ 3 4 ] \begin{aligned} \vec{a} &= a_x \vec{e}_1 + a_y \vec{e}_2 = \left[\begin{matrix}\vec{e}_1 & \vec{e}_2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] \\ &= 3 \left[\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right] + 4 \left[\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] \end{aligned} a =axe 1+aye 2=[e 1e 2][axay]=3[10]+4[01]=[1001][34]=[34]
现在，我们更改坐标基为 e ⃗ 1 ′ = [ 1 2 1 2 ] , e ⃗ 2 ′ = [ − 1 2 1 2 ] \vec{e}{1^\prime}=\left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right], \vec{e}{2^\prime}=\left[\begin{matrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix}\right] e 1′=[2 12 1],e 2′=[−2 12 1]，此新基下的坐标值为 [ a x ′ a y ′ ] = [ 7 2 1 2 ] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{7}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] [ax′ay′]=[2 72 1]。那么此向量可以表示为
a ⃗ = 7 2 [ 1 2 1 2 ] + 1 2 [ − 1 2 1 2 ] = [ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 ] [ 7 2 1 2 ] = [ 3 4 ] \begin{aligned} \vec{a} &= \frac{7}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] + \frac{1}{\sqrt{2}} \left[\begin{matrix}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \frac{7}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 \\ 4 \end{matrix}\right] \end{aligned} a =2 7[2 12 1]+2 1[−2 12 1]=[2 12 1−2 12 1][2 72 1]=[34]
上述例子我们可以看到，无论是在哪个坐标基下，永远存在如下等式
a ⃗ = a x e ⃗ 1 + a y e ⃗ 2 = [ e ⃗ 1 e ⃗ 2 ] [ a x a y ] = a x ′ e ⃗ 1 ′ + a y ′ e ⃗ 2 ′ = [ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ ] [ a x ′ a y ′ ] \begin{aligned} \vec{a} &= a_x \vec{e}1 + a_y \vec{e}2 = \left[\begin{matrix}\vec{e}1 & \vec{e}2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_x \\ a_y \end{matrix}\right] \\ &= a{x^\prime} \vec{e}{1^\prime} + a{y^\prime} \vec{e}{2^\prime} = \left[\begin{matrix}\vec{e}{1^\prime} & \vec{e}{2^\prime} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a_{x^\prime} \\ a_{y^\prime} \end{matrix}\right] \end{aligned} a =axe 1+aye 2=[e 1e 2][axay]=ax′e 1′+ay′e 2′=[e 1′e 2′][ax′ay′]
针对三维空间中的向量，同样具有类似的结论。
至于新基下的坐标值是如何得到的，我们可以通过以下步骤实现
e ⃗ 1 e ⃗ 2 \] \[ a x a y \] = \[ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ \] \[ a x ′ a y ′ \] \[ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ \] − 1 \[ e ⃗ 1 e ⃗ 2 \] \[ a x a y \] = \[ a x ′ a y ′ \] \[ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 \] − 1 \[ 1 0 0 1 \] \[ 3 4 \] = \[ 7 2 1 2 \] \\begin{aligned} \\left\[\\begin{matrix}\\vec{e}_1 \& \\vec{e}_2 \\end{matrix}\\right\] \\left\[\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\end{matrix}\\right\] \&= \\left\[\\begin{matrix}\\vec{e}_{1\^\\prime} \& \\vec{e}_{2\^\\prime} \\end{matrix}\\right\] \\left\[\\begin{matrix}a_{x\^\\prime} \\\\ a_{y\^\\prime} \\end{matrix}\\right\] \\\\ \\left\[\\begin{matrix}\\vec{e}_{1\^\\prime} \& \\vec{e}_{2\^\\prime} \\end{matrix}\\right\]\^{-1} \\left\[\\begin{matrix}\\vec{e}_1 \& \\vec{e}_2 \\end{matrix}\\right\] \\left\[\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\end{matrix}\\right\] \&= \\left\[\\begin{matrix}a_{x\^\\prime} \\\\ a_{y\^\\prime} \\end{matrix}\\right\] \\\\ \\left\[\\begin{matrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} \& -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \& \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right\]\^{-1} \\left\[\\begin{matrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \\end{matrix}\\right\] \\left\[\\begin{matrix} 3 \\\\ 4 \\end{matrix}\\right\] \&= \\left\[\\begin{matrix} \\frac{7}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right\] \\\\ \\end{aligned} \[e 1e 2\]\[axay\]\[e 1′e 2′\]−1\[e 1e 2\]\[axay\]\[2 12 1−2 12 1\]−1\[1001\]\[34\]=\[e 1′e 2′\]\[ax′ay′\]=\[ax′ay′\]=\[2 72 1
3. Matlab 代码验证
m
a_x = 3;
a_y = 4;
e_1 = [ 1
0];
e_2 = [ 0
1];
a_x_prime = 7/sqrt(2);
a_y_prime = 1/sqrt(2);
e_1_prime = [ sqrt(2)/2
sqrt(2)/2];
e_2_prime = [-sqrt(2)/2
sqrt(2)/2];
m
>> pinv([e_1_prime e_2_prime]) * [e_1 e_2] * [a_x; a_y]
ans =
4.9497
0.7071
>> a_x_prime
ans =
4.9497
>> a_y_prime
ans =
0.7071Ref
- <>