【数理知识】向量的坐标基表示法，Matlab 代码验证

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1	【数理知识】向量的坐标基表示法，Matlab 代码验证
2	【数理知识】向量与基的内积，Matlab 代码验证

文章目录

• [1. 向量的坐标基表示](#1. 向量的坐标基表示)
• [2. 二维平面向量举例](#2. 二维平面向量举例)
• [3. Matlab 代码验证](#3. Matlab 代码验证)
• Ref

1. 向量的坐标基表示

假设空间中存在一个向量 a ⃗ \vec{a} a ，在不同的坐标系（或称坐标基）下，向量 a ⃗ \vec{a} a 由不同的坐标值表示。

当坐标基唯一确定后，对应的坐标值也唯一确定。同时向量也可以由坐标值和坐标基线性组合的形式来表示。

• 当向量为二维平面的向量时，可表示为
  a ⃗ = a x e ⃗ 1 + a y e ⃗ 2 = e ⃗ 1 e ⃗ 2 a x a y \vec{a} = a_x \vec{e}_1 + a_y \vec{e}_2 = \left\\begin{matrix}\\vec{e}_1 \& \\vec{e}_2 \\end{matrix}\\right \left\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\end{matrix}\\right a =axe 1+aye 2=e 1e 2axay

• 当向量为三维空间的向量时，可表示为
  a ⃗ = a x e ⃗ 1 + a y e ⃗ 2 + a z e ⃗ 3 = e ⃗ 1 e ⃗ 2 e ⃗ 3 a x a y a z \vec{a} = a_x \vec{e}_1 + a_y \vec{e}_2 + a_z \vec{e}_3 = \left\\begin{matrix}\\vec{e}_1 \& \\vec{e}_2 \& \\vec{e}_3 \\end{matrix}\\right \left\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\\\ a_z \\end{matrix}\\right a =axe 1+aye 2+aze 3=e 1e 2e 3 axayaz

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2. 二维平面向量举例

接下来基于二维平面的一个向量来举例，不过三维空间的情况具有同样的性质和结论。

假设存在一个上述的二维平面向量 a ⃗ \vec{a} a ，在标准坐标基 e ⃗ 1 = 1 0 , e ⃗ 2 = 0 1 \vec{e}_1=\left\\begin{matrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{matrix}\\right, \vec{e}_2=\left\\begin{matrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{matrix}\\right e 1=10,e 2=01 下的坐标值为 a x a y = 3 4 \left\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\end{matrix}\\right = \left\\begin{matrix}3 \\\\ 4 \\end{matrix}\\right axay=34。那么此向量可以表示为

a ⃗ = a x e ⃗ 1 + a y e ⃗ 2 = e ⃗ 1 e ⃗ 2 a x a y = 3 1 0 + 4 0 1 = 1 0 0 1 3 4 = 3 4 \begin{aligned} \vec{a} &= a_x \vec{e}_1 + a_y \vec{e}_2 = \left\\begin{matrix}\\vec{e}_1 \& \\vec{e}_2 \\end{matrix}\\right \left\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\end{matrix}\\right \\ &= 3 \left\\begin{matrix}1 \\\\ 0 \\end{matrix}\\right + 4 \left\\begin{matrix}0 \\\\ 1 \\end{matrix}\\right = \left\\begin{matrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \\end{matrix}\\right \left\\begin{matrix}3 \\\\ 4 \\end{matrix}\\right = \left\\begin{matrix}3 \\\\ 4 \\end{matrix}\\right \end{aligned} a =axe 1+aye 2=e 1e 2axay=310+401=100134=34

现在，我们更改坐标基为 e ⃗ 1 ′ = 1 2 1 2 , e ⃗ 2 ′ = − 1 2 1 2 \vec{e}{1^\prime}=\left\\begin{matrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\end{matrix}\\right, \vec{e}{2^\prime}=\left\\begin{matrix} -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\end{matrix}\\right e 1′=2 12 1,e 2′=−2 12 1，此新基下的坐标值为 a x ′ a y ′ = 7 2 1 2 \left\\begin{matrix}a_{x\^\\prime} \\\\ a_{y\^\\prime} \\end{matrix}\\right = \left\\begin{matrix} \\frac{7}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right ax′ay′=2 72 1。那么此向量可以表示为

a ⃗ = 7 2 1 2 1 2 + 1 2 − 1 2 1 2 = 1 2 − 1 2 1 2 1 2 7 2 1 2 = 3 4 \begin{aligned} \vec{a} &= \frac{7}{\sqrt{2}} \left\\begin{matrix}\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right + \frac{1}{\sqrt{2}} \left\\begin{matrix}-\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right = \left\\begin{matrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} \& -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \& \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right \left\\begin{matrix} \\frac{7}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right = \left\\begin{matrix}3 \\\\ 4 \\end{matrix}\\right \end{aligned} a =2 72 12 1+2 1−2 12 1=2 12 1−2 12 12 72 1=34

上述例子我们可以看到，无论是在哪个坐标基下，永远存在如下等式

a ⃗ = a x e ⃗ 1 + a y e ⃗ 2 = e ⃗ 1 e ⃗ 2 a x a y = a x ′ e ⃗ 1 ′ + a y ′ e ⃗ 2 ′ = e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ a x ′ a y ′ \begin{aligned} \vec{a} &= a_x \vec{e}1 + a_y \vec{e}2 = \left\\begin{matrix}\\vec{e}_1 \& \\vec{e}_2 \\end{matrix}\\right \left\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\end{matrix}\\right \\ &= a{x^\prime} \vec{e}{1^\prime} + a_{y^\prime} \vec{e}_{2^\prime} = \left\\begin{matrix}\\vec{e}_{1\^\\prime} \& \\vec{e}_{2\^\\prime} \\end{matrix}\\right \left\\begin{matrix}a_{x\^\\prime} \\\\ a_{y\^\\prime} \\end{matrix}\\right \end{aligned} a =axe 1+aye 2=e 1e 2axay=ax′e 1′+ay′e 2′=e 1′e 2′ax′ay′

针对三维空间中的向量，同样具有类似的结论。

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至于新基下的坐标值是如何得到的，我们可以通过以下步骤实现

e ⃗ 1 e ⃗ 2 \] \[ a x a y \] = \[ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ \] \[ a x ′ a y ′ \] \[ e ⃗ 1 ′ e ⃗ 2 ′ \] − 1 \[ e ⃗ 1 e ⃗ 2 \] \[ a x a y \] = \[ a x ′ a y ′ \] \[ 1 2 − 1 2 1 2 1 2 \] − 1 \[ 1 0 0 1 \] \[ 3 4 \] = \[ 7 2 1 2 \] \\begin{aligned} \\left\[\\begin{matrix}\\vec{e}_1 \& \\vec{e}_2 \\end{matrix}\\right\] \\left\[\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\end{matrix}\\right\] \&= \\left\[\\begin{matrix}\\vec{e}_{1\^\\prime} \& \\vec{e}_{2\^\\prime} \\end{matrix}\\right\] \\left\[\\begin{matrix}a_{x\^\\prime} \\\\ a_{y\^\\prime} \\end{matrix}\\right\] \\\\ \\left\[\\begin{matrix}\\vec{e}_{1\^\\prime} \& \\vec{e}_{2\^\\prime} \\end{matrix}\\right\]\^{-1} \\left\[\\begin{matrix}\\vec{e}_1 \& \\vec{e}_2 \\end{matrix}\\right\] \\left\[\\begin{matrix}a_x \\\\ a_y \\end{matrix}\\right\] \&= \\left\[\\begin{matrix}a_{x\^\\prime} \\\\ a_{y\^\\prime} \\end{matrix}\\right\] \\\\ \\left\[\\begin{matrix} \\frac{1}{\\sqrt{2}} \& -\\frac{1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \& \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right\]\^{-1} \\left\[\\begin{matrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \\end{matrix}\\right\] \\left\[\\begin{matrix} 3 \\\\ 4 \\end{matrix}\\right\] \&= \\left\[\\begin{matrix} \\frac{7}{\\sqrt{2}} \\\\ \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\end{matrix}\\right\] \\\\ \\end{aligned} \[e 1e 2\]\[axay\]\[e 1′e 2′\]−1\[e 1e 2\]\[axay\]\[2 12 1−2 12 1\]−1\[1001\]\[34\]=\[e 1′e 2′\]\[ax′ay′\]=\[ax′ay′\]=\[2 72 1

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3. Matlab 代码验证

a_x = 3;
a_y = 4;

e_1 = [ 1
        0];
e_2 = [ 0
        1];

a_x_prime = 7/sqrt(2);
a_y_prime = 1/sqrt(2);

e_1_prime = [ sqrt(2)/2
              sqrt(2)/2];
e_2_prime = [-sqrt(2)/2
              sqrt(2)/2];

>> pinv([e_1_prime  e_2_prime]) * [e_1  e_2] * [a_x; a_y]
ans =
    4.9497
    0.7071

>> a_x_prime
ans =
    4.9497

>> a_y_prime
ans =
    0.7071

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Ref

1. <>

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