文章目录
- [Ch5. 大数定律与中心极限定理](#Ch5. 大数定律与中心极限定理)
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- [(一) 依概率收敛](#(一) 依概率收敛)
- [(二) 大数定律](#(二) 大数定律)
- [(三) 中心极限定理](#(三) 中心极限定理)
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- [1.列维-林德伯格 中心极限定理 （独立同分布，不指定具体分布，近似服从于标准正态分布）](#1.列维-林德伯格 中心极限定理 （独立同分布，不指定具体分布，近似服从于标准正态分布）)
- [2.德莫弗-拉普拉斯 中心极限定理 （二项分布）](#2.德莫弗-拉普拉斯 中心极限定理 （二项分布）)
Ch5. 大数定律与中心极限定理
(一) 依概率收敛
设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数 ε ε ε，有
lim n → ∞ P { ∣ X n − a ∣ < ε } = 1 或 lim n → ∞ P { ∣ X n − a ∣ ≥ ε } = 0 \lim_{n→∞}P\{|X_n-a|<ε\}=1 \quad 或 \quad \lim_{n→∞}P\{|X_n-a|≥ε\}=0 n→∞limP{∣Xn−a∣<ε}=1或n→∞limP{∣Xn−a∣≥ε}=0
则称随机变量序列 { X n } \{X_n\} {Xn}依概率收敛于a，记为 X n → P a X_n\xrightarrow{P}a XnP a
解题：
①构造 ∣ X n − a ∣ < ε |X_n-a|<ε ∣Xn−a∣<ε
②求 lim n → ∞ P { } = 1 \lim_{n→∞}P\{\}=1 limn→∞P{}=1
(二) 大数定律
1.伯努利大数定律
频率依概率收敛于概率，即 μ n n → P p \dfrac{μ_n}{n}\xrightarrow{P}p nμnP p
2.切比雪夫大数定律
条件：①独立 ②方差存在且一致有上界： D ( X n ) ≤ C D(X_n)≤C D(Xn)≤C
结论： X ‾ → P E X ‾ \overline{X}\xrightarrow{P}E\overline{X} XP EX
3.辛钦大数定律
条件：①独立 ②同分布 ③期望存在
结论： X ‾ → P E X ‾ \overline{X}\xrightarrow{P}E\overline{X} XP EX
推论：
设随机变量序列X~1~,X~2~,...,X~n~,...相互独立，服从同一分布，且具有k阶矩： E ( X i k ) = μ k E(X_i^k) = μ_k E(Xik)=μk，i=1,2,...,k=1,2,...,则对于任意正数ε，有 lim n → + ∞ P \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P n→+∞limP { ∣ 1 n ∑ i = 1 n X i k − μ k ∣ < ε |\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^k-μ_k|<ε ∣n1i=1∑nXik−μk∣<ε } = 1
例题1： 切比雪夫大数定律
分析：
答案：D
例题2：
分析：
辛钦大数定律条件：①独立 ②同分布 ③期望存在
答案：C
习题1：14年23(3) 辛钦大数定律
分析：(3)的补集即为辛钦大数定律 (或依概率收敛)
答案：
(3)∵随机变量序列X~1~,X~2~,...,X~n~相互独立，与总体X服从同一分布，且具有2阶矩 E ( X i 2 ) = E ( X 2 ) = θ E(X_i^2)=E(X^2)=θ E(Xi2)=E(X2)=θ，i=1,2,...，则对于任意正数ε，有 lim n → + ∞ P \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P n→+∞limP { ∣ 1 n ∑ i = 1 n X i 2 − θ ∣ < ε |\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-θ|<ε ∣n1i=1∑nXi2−θ∣<ε } = 1。
即存在实数a=θ，使得对于任意ε>0，均有 lim n → + ∞ P \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P n→+∞limP { ∣ θ ^ − a ∣ ≥ ε |\hat{θ}-a|≥ε ∣θ^−a∣≥ε } = 0
(三) 中心极限定理
1.列维-林德伯格 中心极限定理 （独立同分布，不指定具体分布，近似服从于标准正态分布）
X~1~,X~2~,...,X~n~ 独立同分布，期望和方差存在，E(X~i~)=μ，D(X~i~)=σ^2^＞0，则在n充分大时，近似服从标准正态分布Φ(X)
∑ i = 1 n X i ∼ 近似 N ( n μ , n σ 2 ) ∑ i = 1 n X i − n μ n σ 2 ∼ 近似 N ( 0 , 1 ) lim n → ∞ P { ∑ i = 1 n X i − n μ n σ 2 ≤ x } = Φ ( x ) \sum\limits_{i=1}^nX_i\sim^{近似}N(nμ,nσ^2)\\[5mm] \dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-nμ}{\sqrt{nσ^2}}\sim^{近似}N(0,1)\\[7mm] \lim\limits_{n→∞}P\{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-nμ}{\sqrt{nσ^2}}≤x\}=Φ(x) i=1∑nXi∼近似N(nμ,nσ2)nσ2 i=1∑nXi−nμ∼近似N(0,1)n→∞limP{nσ2 i=1∑nXi−nμ≤x}=Φ(x)
例题1：20年8.
分析：先求E(X)、D(X)，然后对和标准化
E ( X ) = 0 × 1 2 + 1 × 1 2 = 1 2 E(X)=0×\dfrac{1}{2}+1×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} E(X)=0×21+1×21=21
E ( X 2 ) = 0 2 × 1 2 + 1 2 × 1 2 = 1 2 E(X^2)=0^2×\dfrac{1}{2}+1^2×\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} E(X2)=02×21+12×21=21
D ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = 1 2 − 1 4 = 1 4 D(X)=E(X^2)-E^2(X)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4} D(X)=E(X2)−E2(X)=21−41=41
∴ ∑ i = 1 100 X i ∼ 近似 N ( 50 , 25 ) ∴\sum\limits_{i=1}^{100}X_i\sim^{近似}N(50,25) ∴i=1∑100Xi∼近似N(50,25)
∑ i = 1 n X i − 50 5 ∼ 近似 N ( 0 , 1 ) \dfrac{\sum\limits_{i=1}^nX_i-50}{5}\sim^{近似}N(0,1) 5i=1∑nXi−50∼近似N(0,1)
P { ∑ i = 1 100 X i − 50 5 ≤ 55 − 50 5 = 1 } = Φ ( 1 ) P\{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{100}X_i-50}{5}≤\dfrac{55-50}{5}=1\}=Φ(1) P{5i=1∑100Xi−50≤555−50=1}=Φ(1)
答案：B
2.德莫弗-拉普拉斯 中心极限定理 （二项分布）
