1 想法概述

从一张充满噪声的图中不断denoise，最终得到一张clear的图片。为了确定当前图片中噪声占比的大小，同时输入原图片和参数 t t t，参数 t t t用于标识一张图片中的噪声占比含量。

显然迭代第1次时图片的噪声含量和迭代第999次是不同的，因此需要输入这种信息t来进行标识。

2 实际过程

阶段1 Add Noise

首先，准备好一组确定的参数 α 1 ˉ , α 2 ˉ , ... , α T ˉ \bar{\alpha_1},\bar{\alpha_2},\dots,\bar{\alpha_T} α1ˉ,α2ˉ,...,αTˉ，用以表示时间步 t t t下样本和噪声的混合情况， t t t越大，噪声占比越高。然后重复以下过程直至收敛：

采样
1. 从真实样本集中取出一个样本 x 0 x_0 x0
2. 从 [ 1 , T ] [1,T] [1,T]的整数中采样出 t t t来表示时间步
3. 从标准正态分布中采样出噪声 ϵ \epsilon ϵ
构造带噪声样本 x = α t ˉ x 0 + 1 − α t ˉ ϵ x=\sqrt{\bar{\alpha_t}}x_0+ \sqrt{1-\bar{\alpha_t}} \epsilon x=αtˉ x0+1−αtˉ ϵ
将构造样本 x x x和时间步 t t t一同输入噪声预测器 ϵ θ ( ) \epsilon_\theta() ϵθ()，得到预测噪声 ϵ θ ( x , t ) \epsilon_\theta(x,t) ϵθ(x,t)。
目标函数为 ϵ θ ( x , t ) \epsilon_\theta(x,t) ϵθ(x,t)和采样出的真实噪声 ϵ \epsilon ϵ的 M S E MSE MSE

阶段2 Denoise

3 数学原理

极大似然估计近似等价于最小化KL散度(表示两个分布的相似性)：

对任何分布 q ( z ∣ x ) q(z|x) q(z∣x)，有：

log ⁡ P θ ( x ) ≥ ∫ z q ( z ∣ x ) log ⁡ P ( z , x ) q ( z ∣ x ) d z = E q ( z ∣ x ) [ log ⁡ P ( z , x ) q ( z ∣ x ) ] \log P_\theta(x) \ge \int_{z}q(z|x)\log \frac{P(z,x)}{q(z|x)}dz = E_{q(z|x)}[\log \frac{P(z,x)}{q(z|x)}] logPθ(x)≥∫zq(z∣x)logq(z∣x)P(z,x)dz=Eq(z∣x)[logq(z∣x)P(z,x)]

所以对DDPM来说：

log ⁡ P θ ( x ) ≥ E q ( x 1 : x T ∣ x 0 ) [ log ⁡ P ( x 0 : x T ) q ( x 1 : x T ∣ x 0 ) ] \log P_\theta(x) \ge E_{q(x_1:x_T|x_0)}[\log \frac{P(x_0:x_T)}{q(x_1:x_T|x_0)}] logPθ(x)≥Eq(x1:xT∣x0)[logq(x1:xT∣x0)P(x0:xT)]

结合正态分布的可加性：做N次独立的正态sampling，可能通过一次的sampling就能解决。

对式3不断变换，最后可得（这个式子的过程可以不用看，也并不复杂，但是麻烦，理解结论就好）：

然后再经过一系列的运算求出来 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1|x_t,x_0}) q(xt−1∣xt,x0)依然是高斯分布，表示首尾 x 0 , x T x_0,x_T x0,xT固定住，产生 x t − 1 x_{t-1} xt−1的概率，是一个和network无关的分布。而 P ( x t − 1 ∣ x t ) P(x_{t-1}|x_t) P(xt−1∣xt)是由网络决定的，我们不考虑它的variance，只考虑mean。如果我们希望这两个分布越接近越好，那就想办法让两个分布的mean越接近越好。

化简：

实际需要预测出的部分：

4 为什么推理时要额外加入noise

李宏毅老师的一点Guess，生成式任务，概率最大的结果，未必就是最好的结果。人写的文章用词可能更suprising。

5 一些不知道对不对的Summary

希望近似 P d a t a ( x ) P_{data}(x) Pdata(x)和 P θ ( x ) P_\theta(x) Pθ(x)的分布，而对给定的 x x x，使 P θ ( x ) P_\theta(x) Pθ(x)最大化可以转换为使其下界最大化，从而转换为使 E q ( x 1 : x T ∣ x 0 ) [ log ⁡ P ( x 0 : x T ) q ( x 1 : x T ∣ x 0 ) ] E_{q(x_1:x_T|x_0)}[\log \frac{P(x_0:x_T)}{q(x_1:x_T|x_0)}] Eq(x1:xT∣x0)[logq(x1:xT∣x0)P(x0:xT)]最大化。
在假设 x t = β t x t − 1 + 1 − β t z t − 1 x_t=\sqrt{\beta_t}x_{t-1}+\sqrt{1-\beta_t}z_{t-1} xt=βt xt−1+1−βt zt−1的前提下，可以推出 x t = α t ˉ x 0 + 1 − α t ˉ z x_t=\sqrt{\bar{\alpha_t}}x_{0}+\sqrt{1-\bar{\alpha_t}}z xt=αtˉ x0+1−αtˉ z
从而可以进一步化简 E q ( x 1 : x T ∣ x 0 ) [ log ⁡ P ( x 0 : x T ) q ( x 1 : x T ∣ x 0 ) ] E_{q(x_1:x_T|x_0)}[\log \frac{P(x_0:x_T)}{q(x_1:x_T|x_0)}] Eq(x1:xT∣x0)[logq(x1:xT∣x0)P(x0:xT)]为三项，其余两项与Network无关，可只考虑中间一项，该项由 q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1|x_t,x_0}) q(xt−1∣xt,x0)和 P ( x t − 1 ∣ x t ) P(x_{t-1}|x_t) P(xt−1∣xt)的KL散度之和组成，
q ( x t − 1 ∣ x t , x 0 ) q(x_{t-1}|x_t,x_0) q(xt−1∣xt,x0)表示首尾 x 0 , x T x_0,x_T x0,xT固定住产生 x t − 1 x_{t-1} xt−1的概率，可求得是一个和network无关的高斯分布，均值可以表示为：

而 P ( x t − 1 ∣ x t ) P(x_{t-1}|x_t) P(xt−1∣xt)是由网络决定的，我们不考虑它的variance，只考虑mean。
如果我们希望这两个分布越接近越好，那就想办法让两个分布的mean越接近越好。而上式中，仅有 ϵ \epsilon ϵ需要确定，因此我们希望网络能够预测这个值，从而完成推理。预测出这一项 ϵ \epsilon ϵ的过程，可以看作为从 x 0 x_0 x0和 x t x_t xt预测出 x t − 1 x_{t-1} xt−1的过程。

【Diffusion】李宏毅2023机器学习Diffusion笔记

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