LeetCode 786. 第 K 个最小的素数分数

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本题可以暴力求解：

class Solution {
public:
    vector<int> kthSmallestPrimeFraction(vector<int>& arr, int k) {
        int n = arr.size();
        vector<pair<int, int>> frac;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                frac.emplace_back(arr[i], arr[j]);
            }
        }
        sort(frac.begin(), frac.end(), [](const auto& x, const auto& y) {
            return x.first * y.second < x.second * y.first;
        });
        return {frac[k - 1].first, frac[k - 1].second};
    }
};

因为用到了排序，所以时间复杂度是 O ( n 2 log ⁡ n 2 ) = O ( n 2 log ⁡ n ) O(n^2\log n^2)=O(n^2\log n) O(n2logn2)=O(n2logn)。

这里有一个小细节，我们在判断 a b < c d \frac{a}{b}<\frac{c}{d} ba<dc 的时候可以将其转化成 a ∗ d < b ∗ c a*d<b*c a∗d<b∗c，这样不会引入浮点数的误差。

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本题还有更优雅的解法，复杂度为 O ( k log ⁡ n ) O(k\log n) O(klogn)。

当分母选定为 a r r j arrj arrj 时，分子只能从 a r r 0 , a r r 1 , ⋯   , a r r j − 1 arr0,arr1,\cdots,arrj-1 arr0,arr1,⋯,arrj−1 中选，因此我们可以将 a r r j arrj arrj 看成一个长度为 j − 1 j-1 j−1 的列表：

a r r 0 a r r j , a r r 1 a r r j , ⋯   , a r r j − 1 a r r j \frac{arr0}{arrj},\frac{arr1}{arrj},\cdots,\frac{arrj-1}{arrj} arrjarr0,arrjarr1,⋯,arrjarrj−1

且这个列表是单调递增的。

于是整个 a r r arr arr 数组可以看成 n − 1 n-1 n−1 个单调递增的列表：

0 : ∅ 1 : a r r 0 a r r 1 2 : a r r 0 a r r 2 , a r r 1 a r r 2 ⋮ n − 1 : a r r 0 a r r n − 1 , a r r 1 a r r n − 1 , ⋯   , a r r n − 2 a r r n − 1 \begin{aligned} 0:\quad&\varnothing \\ 1:\quad&\frac{arr0}{arr1} \\ 2:\quad&\frac{arr0}{arr2},\frac{arr1}{arr2} \\ \vdots \\ n-1:\quad&\frac{arr0}{arrn-1},\frac{arr1}{arrn-1},\cdots,\frac{arrn-2}{arrn-1} \\ \end{aligned} 0:1:2:⋮n−1:∅arr1arr0arr2arr0,arr2arr1arrn−1arr0,arrn−1arr1,⋯,arrn−1arrn−2

于是我们可以像「合并K个有序链表」那样找到第 k k k 小的素数分数。

注意，如果我们一开始就把 n − 1 n-1 n−1 个"链表"全部构造出来，花费的时间就已经是 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 了。这里有一个巧妙的做法，我们一开始只把 n − 1 n-1 n−1 个"链表"的表头加入到优先队列中，后续看哪一个链表的表头被弹出，就向优先队列中加入该链表的下一个"节点"。

弹出 k − 1 k-1 k−1 次后，优先队列的队头就是最终的答案。

class Solution {
public:
    vector<int> kthSmallestPrimeFraction(vector<int>& arr, int k) {
        int n = arr.size();
        auto cmp = [&](const auto& x, const auto& y) {
            return arr[x.first] * arr[y.second] > arr[x.second] * arr[y.first];
        };
        priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, decltype(cmp)> pq(cmp);

        for (int i = 1; i < n; i++) pq.emplace(0, i);

        for (int t = 0; t < k - 1; t++) {
            auto [i, j] = pq.top();
            pq.pop();
            if (i + 1 < j) pq.emplace(i + 1, j);
        }

        return {arr[pq.top().first], arr[pq.top().second]};
    }
};