同伦问题与同伦算法

• 同伦问题
  • 据我所知，这篇博客是CSDN上少数几篇讲同伦算法的博客之一
• 考虑
• 同伦算法的目的
  • 扩大初值选取范围
  • 解决非线性代数方程组的全部解计算问题

同伦算法中的基本概念

• 考虑求的解人为地引入参数t,构造一个函数族使得

• 同时假设的解已知，从出发可以求解
• 对于，假设为
  • 如果可以形成一条中的光滑曲线，其奇点为的解，据假设它是已知的，曲线的终点正是我们要求的
  • 称为一个同伦 其解为同伦曲线
• 同伦的构造，例如
  • 
• 同伦曲线的存在与光滑
  • 假设存在
  • 假设其性质好

同伦算法得到的等价问题

代数方程组与同伦方程

• 假定多项式方程组其分量形式

• 假定易得到

• 对应的同伦方程

同伦方程的性质

• 平凡性
  • 的解已知
• 光滑性
  • 每一条同伦曲线都是t的单值函数
• 可达性
  • 的任意一个孤立解都有从出发的同伦方程的解曲线达到
• 小结
  • 跟踪所有的解曲线即可得到的全部解

Q(x) 的一种取法

是多项式某一单项式包含x_i 的幂次（一个p_i 一个d_i）

Bezout 定理

• Bezout 数
  • Bezout 数定义了全部的解曲线
• Bezout 定理
  • P(x) 孤立解的个数小于等于 Bezout 数

退化

• 非线性代数方程组的解的个数小于Bezout 数则为退化的
  • 绝大多数实际问题的解都是远远小于Bezout 数的

同伦算法的计算机实现

• 略
• 私信交流