同伦问题与同伦算法

  • 同伦问题
    • 据我所知,这篇博客是CSDN上少数几篇讲同伦算法的博客之一
  • 考虑
  • 同伦算法的目的
    • 扩大初值选取范围
    • 解决非线性代数方程组的全部解计算问题

同伦算法中的基本概念

  • 考虑的解人为地引入参数t,构造一个函数族使得
  • 同时假设的解已知,从出发可以求解
  • 对于,假设
    • 如果可以形成一条中的光滑曲线,其奇点的解,据假设它是已知的,曲线的终点正是我们要求的
    • 称为一个同伦 其解为同伦曲线
  • 同伦的构造,例如
  • 同伦曲线的存在与光滑
    • 假设存在
    • 假设其性质好

同伦算法得到的等价问题

代数方程组与同伦方程

  • 假定多项式方程组其分量形式
  • 假定易得到
  • 对应的同伦方程

同伦方程的性质

  • 平凡性
    • 的解已知
  • 光滑性
    • 每一条同伦曲线都是t的单值函数
  • 可达性
    • 的任意一个孤立解都有从出发的同伦方程的解曲线达到
  • 小结
    • 跟踪所有的解曲线即可得到的全部解

Q(x) 的一种取法

是多项式某一单项式包含x_i 的幂次(一个p_i 一个d_i)

Bezout 定理

  • Bezout 数
    • Bezout 数定义了全部的解曲线
  • Bezout 定理
    • P(x) 孤立解的个数小于等于 Bezout 数

退化

  • 非线性代数方程组的解的个数小于Bezout 数则为退化的
    • 绝大多数实际问题的解都是远远小于Bezout 数的

同伦算法的计算机实现

  • 私信交流
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