LA@向量组线性相关性

文章目录

- 向量组线性相关性
- 向量组线性相关判定定理👺
- 概念补充
- - 部分组
- 推论
- - 方阵的行列式判定线性相关性
  - 行数和列数的关系判定线性相关性
  - 部分组线性相关的讨论
  - 线性无关向量组添加一个向量后变为线性相关
  - - 证明1:
    - 证明2:
    - - 先证明可表出
      - [再证明 β \beta β的表示法唯一性](#再证明 β \beta β的表示法唯一性)
  - 向量组线性相关性的简单判定🎈
  - 例
  - 例
  - 例
- 综合例
- - 证法1
  - 证法2
  - 证法3
  - 小结

向量组线性相关性

线性相关性是向量组的一个重要属性

线性相关

给定向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m A:α1,α2,⋯,αm,若存在 m m m个不全为 0 不全为0 不全为0的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km,使得: ∑ i = 1 m k i α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{m}{k_i\alpha_i}=\bold{0} i=1∑mkiαi=0则称向量组 A A A线性相关
- ( α 1 , α 2 , ⋯ , α m ) ( k 1 k 2 ⋮ k m ) = ∑ i = 1 m k i α i = 0 (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m) \begin{pmatrix} k_{1} \\ k_{2} \\ \vdots \\ k_{m} \\ \end{pmatrix} =\sum\limits_{i=1}^{m}{k_i\alpha_i}=\bold{0} (α1,α2,⋯,αm) k1k2⋮km =i=1∑mkiαi=0

线性无关

如果向量组不是线性相关的,则是线性无关的
向量组 A A A线性无关还可以描述为:
- 使得 ∑ i = 1 m k i α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{m}{k_i\alpha_i}=\bold0 i=1∑mkiαi=0成立的s个数 k 1 , k 2 , ⋯ , k s k_1,k_2,\cdots,k_s k1,k2,⋯,ks全为0

多向量向量组线性相关

对于 A : α 1 , ⋯ , α m A:\alpha_1,\cdots,\alpha_m A:α1,⋯,αm, m ⩾ 2 m\geqslant{2} m⩾2时, A A A线性相关等价于 A A A中至少有一个向量能由其余 m − 1 m-1 m−1个向量线性表示
证明:
- 若 A A A线性相关,存在 m m m个不全为 0 不全为0 不全为0的数 k 1 , k 2 , ⋯ , k m k_1,k_2,\cdots,k_m k1,k2,⋯,km,使得: ∑ i = 1 m k i α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{m}{k_i\alpha_i}=\bold{0} i=1∑mkiαi=0,不妨设 k 1 ≠ 0 k_1\neq{0} k1=0(若 k i ≠ 0 k_i\neq{0} ki=0,可以通过调整 k i , α i k_i,\alpha_i ki,αi顺序到 k 1 ( α 1 ) k_1(\alpha_1) k1(α1),使得 k 1 ≠ 0 k_1\neq{0} k1=0,这不改变线性相关性)
- 对 ∑ i = 1 m k i α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{m}{k_i\alpha_i}=\bold{0} i=1∑mkiαi=0两边同时除以 k 1 k_1 k1, ∑ i = 1 m k i k 1 α i {\sum\limits_{i=1}^{m}{\frac{k_i}{k_1}\alpha_i}} i=1∑mk1kiαi= α 1 + ∑ i = 2 m k i k 1 α i \alpha_1+\sum_{i=2}^{m}\frac{k_i}{k_1}\alpha_i α1+∑i=2mk1kiαi= 0 \bold{0} 0;即 α 1 = ∑ i = 2 m k i k 1 α i \alpha_1=\sum_{i=2}^{m}\frac{k_i}{k_1}\alpha_i α1=∑i=2mk1kiαi
- 反之,若 α 1 = ∑ i = 2 m k i α i \alpha_1=\sum_{i=2}^{m}k_i\alpha_i α1=∑i=2mkiαi; − α 1 + ∑ i = 2 m k i α i = 0 -\alpha_1+\sum_{i=2}^{m}k_i\alpha_i=\bold{0} −α1+∑i=2mkiαi=0,即至少存在 − 1 , k 2 , ⋯ , k m -1,k_2,\cdots,k_m −1,k2,⋯,km这 m m m个不全为0的数使得 ∑ i = 1 m k i α i = 0 \sum_{i=1}^{m}k_i\alpha_i=\bold{0} ∑i=1mkiαi=0,即 A A A线性相关
其逆否命题也是成立的:若 A : α 1 , ⋯ , α m A:\alpha_1,\cdots,\alpha_m A:α1,⋯,αm中任意一个向量都不能被其他 m − 1 m-1 m−1线性表示,则 A A A线性无关

单向量向量组的线性相关性

对于单个向量构成的向量组 A : α 1 A:\alpha_1 A:α1,若要满足A线性相关,即存在 k ≠ 0 k\ne{0} k=0使得 k α 1 = 0 k\alpha_1=0 kα1=0,只有当 α 1 = 0 \alpha_1=\bold{0} α1=0成立
- 可见单个非零向量构成的向量组线性无关

单位向量向量组线性相关性

设 E n = ( ϵ 1 , ⋯ , ϵ n ) \bold{E}_n=(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n) En=(ϵ1,⋯,ϵn)
由 n n n个 n n n维单位向量 E n : ϵ 1 , ⋯ , ϵ n E_n:\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n En:ϵ1,⋯,ϵn构成的向量组线性无关
证明: ∑ i = 1 n k i ϵ i = ( k 1 , k 2 , ⋯ , k s ) \sum\limits_{i=1}^{n}k_{i}\epsilon_{i}=(k_1,k_2,\cdots,k_s) i=1∑nkiϵi=(k1,k2,⋯,ks)= 0 \bold{0} 0的解只有 k 1 = k 2 = ⋯ = k s = 0 k_1=k_2=\cdots=k_s=0 k1=k2=⋯=ks=0

双向量向量组的线性相关性

设 A : α 1 , α 2 A:\alpha_1,\alpha_2 A:α1,α2,则 A A A线性相关的充要条件 是 α 1 , α 2 \alpha_1,\alpha_2 α1,α2分量对应成比例,即 α 1 = k α 2 \alpha_1=k\alpha_2 α1=kα2
证法1:
- 充分性: α 1 = k α 2 \alpha_1=k\alpha_2 α1=kα2即 α 1 − k α 2 = 0 \alpha_1-k\alpha_2=\bold{0} α1−kα2=0,所以存在不全为0的 ( k 1 , k 2 ) = ( 1 , k ) (k_1,k_2)=(1,k) (k1,k2)=(1,k)满足 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=\bold{0} k1α1+k2α2=0
- 必性: A A A线性相关则存在不全为0的 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2(不妨假设 k 1 ≠ 0 k_1\neq{0} k1=0)使得 k 1 α 1 + k 2 α 2 = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=\bold{0} k1α1+k2α2=0,即 α 1 = − k 2 k 1 α 2 \alpha_1=-\frac{k_2}{k_1}\alpha_2 α1=−k1k2α2,取 k = − k 2 k 1 k=-\frac{k_2}{k_1} k=−k1k2
证法2:
- α 1 = k α 2 \alpha_1=k\alpha_2 α1=kα2说明 A A A中存在一个向量 α 1 \alpha_1 α1能被其余向量 ( α 2 ) (\alpha_2) (α2)线性表示,所以 A A A线性相关

双向量线性相关的几何意义

两个向量线性相关的几何意义是两向量共线(对于高维向量仍沿用共线几何术语)

三向量线性相关的几何意义

三向量线性相关的几何意义是三向量共面(对于高维向量,是超平面共面,仍然沿用几何术语)

包含零向量的向量组线性相关

任意一个包含零向量的向量组总是线性相关的
- 假设向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m A:α1,α2,⋯,αm,中 α 1 = 0 \alpha_1=\bold{0} α1=0(如果不是,则将 α 1 \alpha_1 α1调整为非零向量),则令 k i = 0 , ( i = 2 , ⋯ , m ) k_i=0,(i=2,\cdots,m) ki=0,(i=2,⋯,m)则: α 1 \alpha_1 α1= ∑ i = 2 m k i α i = 0 \sum\limits_{i=2}^{m}k_i\alpha_i=\bold{0} i=2∑mkiαi=0所以 A A A线性相关

概念迁移:线性方程组和线性相关

向量组的线性相关和线性无关的概念可以迁移到线性方程组
当方程组 A x = b \bold{Ax=b} Ax=b中某个方程 r s r_s rs是其余方程的线性组合 时,这个方程 r s r_s rs是多余的 (可移除的,不影响方程组的解的)
- 这种情况下,方程组是线性相关的(指方程组内各个方程式线性相关的)
若方程组中没有多余方程(任何方程都无法被方程组内其余方程线性表示),就称方程组线性无关(线性独立)
可见,方程组 A x = b \bold{Ax=b} Ax=b线性相关的充要条件 是矩阵 B = ( A , b ) \bold{B=(A,b)} B=(A,b)的行向量组线性相关
设向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m A:a1,a2,⋯,am构成的矩阵为 A = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) \bold{A}=(\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}m) A=(a1,a2,⋯,am),向量组 A A A线性相关等价于: ∑ i = 1 m x i a i = 0 \sum{i=1}^{m}x_i\bold{a}_i=\bold{0} ∑i=1mxiai=0,即齐次线性方程组 A x = 0 \bold{Ax=0} Ax=0有非零解(存在自由未知数)
由此,我们将向量组线性相关转换为矩阵问题(线性方程组的解的问题)

齐次线性方程组和向量组线性相关性

m m m个 n n n维向量构成的向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m A:α1,α2,⋯,αm,则线性相关的充要条件是:线性方程组 A x = 0 \bold{Ax}=\bold0 Ax=0有非零解
- 其中 A A A构成的矩阵 A \bold{A} A是 n × m n\times{m} n×m,
- 若 r ( A ) = m r(A)=m r(A)=m,方程组有唯一解零解, A A A线性无关
- 若 r ( A ) < m r(A)<m r(A)<m,方程有多解(非零解), A A A线性相关

向量组线性相关判定定理👺

将上一节归纳为定理:
- 包含 m m m个向量的向量组 A A A线性相关的充要条件是 R ( A ) < m R(\bold{A})<m R(A)<m; A A A线性无关的充要条件是 R ( A ) = m R(\bold{A})=m R(A)=m
- 简称:小相关,等无关
该定理相当重要,很多场景下可以比线性相关定义更加方便的推导和证明一些线性相关的命题和结论

概念补充

部分组

若向量组 A A A是向量组 B B B的一部分,则 A A A是 B B B的部分组 ,相对的可以称 B B B为全组
例如 A : α 1 , ⋯ , α m A:\alpha_1,\cdots,\alpha_m A:α1,⋯,αm是向量组 B : α 1 , ⋯ , α m , α m + 1 B:\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1} B:α1,⋯,αm,αm+1的部分组

推论

方阵的行列式判定线性相关性

特别的,若 A A A是一个 m m m阶方阵,则 A A A线性线相关的条件 R ( A ) = m R(\bold{A})=m R(A)=m还可以作 ∣ A ∣ ≠ 0 |\bold{A}|\neq{0} ∣A∣=0

行数和列数的关系判定线性相关性

A n × m \bold{A}_{n\times{m}} An×m当行数 n < m n<m n<m时, R ( A ) ⩽ n < m R(\bold{A})\leqslant{n}<m R(A)⩽n<m此时 A A A必定线性相关
这个结论指出,如果向量组行数少或列数多的情况下,无论各个向量内容如何,向量组一定是线性相关的.特别是向量组包含无穷多个向量时
同时说明了,对于 n n n维向量构成的向量组 A A A,只要向量数量够多, A A A一定是线性相关

部分组线性相关的讨论

如果向量组 A : α 1 , ⋯ , α m A:\alpha_1,\cdots,\alpha_m A:α1,⋯,αm线性相关,则向量组 B : α 1 , ⋯ , α m , α m + 1 B:\alpha_1,\cdots,\alpha_m,\alpha_{m+1} B:α1,⋯,αm,αm+1 的也线性相关;
- 反之(逆否命题,可以用反证法),若 B B B线性无关,则 A A A也线性无关
- 由于成比例的两个向量线性相关,从而若某个向量组包含一对成比例的向量(部分向量组线性相关),则这个向量组是线性相关的
证明:
- 由于 A A A线性相关,所以 R ( A ) < m R(\bold{A})<m R(A)<m
- 由 A , B A,B A,B可知, B = ( A , α m + 1 ) \bold{B=(A,\alpha_{m+1})} B=(A,αm+1), R ( B ) ⩽ R ( A ) + R ( α m + 1 ) ⩽ R ( A ) + 1 R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A})+R(\alpha_{m+1})}\leqslant R(\bold{A})+1 R(B)⩽R(A)+R(αm+1)⩽R(A)+1< m + 1 m+1 m+1;
- 所以 B B B线性相关
推广:若 B B B是 A A A增加多个向量,则依然成立;即
- 部分组线性相关,则全组线性相关;
- 若全组线性无关,则部分组线性无关

线性无关向量组添加一个向量后变为线性相关

若向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α s A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s A:α1,α2,⋯,αs线性无关,而向量组 B : α 1 , α 2 , ⋯ , α s , β B:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta B:α1,α2,⋯,αs,β线性相关,则 β \beta β可以由向量 A A A线性表示,且表示法唯一.

证明1:

记 A = ( α 1 , ⋯ , α m ) \bold{A}=(\alpha_1,\cdots,\alpha_m) A=(α1,⋯,αm), B = ( α 1 , ⋯ , a m , β ) \bold{B}=(\alpha_1,\cdots,a_m,\beta) B=(α1,⋯,am,β),有 R ( A ) ⩽ R ( B ) R(\bold{A})\leqslant{R(\bold{B})} R(A)⩽R(B)
因为 A A A线性无关,所以 R ( A ) = m R(\bold{A})=m R(A)=m;又因为 B B B线性相关,所以 R ( B ) < m + 1 R(\bold{B})<m+1 R(B)<m+1
所以 m ⩽ R ( B ) < m + 1 m\leqslant{R(\bold{B})}<m+1 m⩽R(B)<m+1,即 R ( B ) = m R(\bold{B})=m R(B)=m,
对于方程组 A x = β \bold{Ax=\beta} Ax=β有 R ( A ) = R ( A , β ) = R ( B ) = m R(\bold{A})=R(\bold{A,\beta})=R(\bold{B})=m R(A)=R(A,β)=R(B)=m,可见 A x = β \bold{Ax=\beta} Ax=β有唯一解,即 B B B可以被 A A A唯一的线性表示

证明2:

先证明可表出

由于 B B B线性相关,则存在不全为0的 k 1 , ⋯ , k m , k m + 1 k_1,\cdots,k_m,k_{m+1} k1,⋯,km,km+1,使得 ( ∑ i = 1 m k i α i ) + k m + 1 β = 0 (\sum\limits_{i=1}^{m}k_i\alpha_i)+k_{m+1}\beta=0 (i=1∑mkiαi)+km+1β=0
case1:若 k m + 1 = 0 k_{m+1}=0 km+1=0则 ( ∑ i = 1 m k i α i ) + k m + 1 β = 0 (\sum\limits_{i=1}^{m}k_i\alpha_i)+k_{m+1}\beta=0 (i=1∑mkiαi)+km+1β=0可以推出 ∑ i = 1 m k i α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{m}k_i\alpha_i=0 i=1∑mkiαi=0
- 而由 A A A线性无关知,只有 k 1 , ⋯ , k m = 0 k_1,\cdots,k_m=0 k1,⋯,km=0时,有 ∑ i = 1 m k i α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{m}k_i\alpha_i=0 i=1∑mkiαi=0成立
- 从而 k 1 , ⋯ , k m , k m + 1 = 0 k_1,\cdots,k_m,k_{m+1}=0 k1,⋯,km,km+1=0, B B B线性无关,和条件矛盾,从而 k m + 1 ≠ 0 k_{m+1}\ne{0} km+1=0
case2: k m + 1 ≠ 0 k_{m+1}\neq{0} km+1=0, β = − 1 k m + 1 ∑ i = 1 m k i α i \beta=-\frac{1}{k_{m+1}}\sum\limits_{i=1}^{m}k_i\alpha_i β=−km+11i=1∑mkiαi

再证明 β \beta β的表示法唯一性

利用反证法
设 β \beta β可以被表示为 β = ∑ i = 1 m k i α i = ∑ i = 1 m l i α i \beta=\sum\limits_{i=1}^{m}k_i\alpha_i=\sum\limits_{i=1}^{m}l_i\alpha_i β=i=1∑mkiαi=i=1∑mliαi
对两种表示方法做差: ∑ i = 1 m ( k i − l i ) α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{m}(k_i-l_i)\alpha_i=\bold0 i=1∑m(ki−li)αi=0
而由 A A A线性无关知,只有 k i − l i = 0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , s ) k_i-l_i=0(i=1,2,\cdots,s) ki−li=0(i=1,2,⋯,s)时才有 ∑ i = 1 m ( k i − l i ) α i = 0 \sum\limits_{i=1}^{m}(k_i-l_i)\alpha_i=\bold0 i=1∑m(ki−li)αi=0成立
从而 k i = l i ( i = 1 , 2 ⋯ , n ) k_i=l_i(i=1,2\cdots,n) ki=li(i=1,2⋯,n)
所以表示法唯一

向量组线性相关性的简单判定🎈

包含以下向量(一种或多种)的向量组线性相关
1. 零向量
2. 相等向量对
3. 成比例的向量对

例

n n n维单位坐标向量组 E : e 1 , ⋯ , e n E:\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_n E:e1,⋯,en的线性相关性:
- 设 E E E构成的矩阵 E = ( e 1 , ⋯ , e n ) \bold{E}=(\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_n) E=(e1,⋯,en), R ( E ) R(\bold{E}) R(E)= n n n,所以 E E E线性无关

例

矩阵A的列向量组:
- α 1 = ( 3 , − 1 , 3 , 1 ) T \alpha_1=(3,-1,3,1)^T α1=(3,−1,3,1)T
- α 2 = ( 4 , − 2 , 5 , 4 ) T \alpha_2=(4,-2,5,4)^T α2=(4,−2,5,4)T
- α 3 = ( 2 , − 1 , 4 , − 1 ) T \alpha_3=(2,-1,4,-1)^T α3=(2,−1,4,−1)T
求证 A A A线性相关,并求 A A A的列向量组的一个线性相关关系
- A = ( α 1 , α 2 , α 3 ) = ( 2 4 2 − 1 − 2 − 1 3 5 4 1 4 − 1 ) A ∼ r A ~ = ( 1 0 3 0 1 − 1 0 0 0 0 0 0 ) \bold{A}=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) =\begin{pmatrix} 2& 4& 2 \\ -1& -2& -1 \\ 3& 5& 4 \\ 1& 4& -1 \\ \end{pmatrix} \\ A\overset{r}{\sim} \widetilde{A}=\begin{pmatrix} 1& 0& 3 \\ 0& 1& -1 \\ 0& 0& 0 \\ 0& 0& 0 \\ \end{pmatrix} A=(α1,α2,α3)= 2−1314−2542−14−1 A∼rA = 100001003−100
- 由于 r ( A ) = r ( A ~ ) = 2 < n = 3 r(A)=r(\widetilde{A})=2<n=3 r(A)=r(A )=2<n=3,所以 A A A线性相关,存在 n − r = 3 − 2 = 1 n-r=3-2=1 n−r=3−2=1个自由变量,不妨令 ( x 3 ) (x_3) (x3)为自由变量
- 容易读出 x 1 + 3 x 3 = 0 , x 2 − x 3 = 0 x_1+3x_3=0,x_2-x_3=0 x1+3x3=0,x2−x3=0
  - x 1 = − 3 x 3 x_1=-3x_3 x1=−3x3;
  - x 2 = x 3 x_2=x_3 x2=x3
- 取 x 3 = − 1 x_3=-1 x3=−1,则得到一个特解 ( x 1 , x 2 , x 3 ) T = ( 3 , − 1 , − 1 ) T (x_1,x_2,x_3)^T=(3,-1,-1)^T (x1,x2,x3)T=(3,−1,−1)T
- 此时有 3 α 1 − α 2 − α 3 = 0 3\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3=\bold{0} 3α1−α2−α3=0成立

例

设某一个范德蒙行列式

∣ V ∣ = ∣ 1 1 1 ⋯ 1 a 1 a 2 a 3 ⋯ a n a 1 2 a 2 2 a 3 2 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n − 1 a 2 n − 1 a 3 n − 1 ⋯ a n n − 1 ∣ n 记 α j = ( 1 a i a i 2 ⋮ a i n − 1 ) j = 1 , 2 , ⋯ , n |V| =\begin{vmatrix} 1 &1 &1 &\cdots &1 \\ a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{n} \\ a_{1}^{2}&a_{2}^{2}&a_{3}^{2}&\cdots &a_{n}^{2} \\ \vdots &\vdots &\vdots & &\vdots \\ a_{1}^{n-1}&a_{2}^{n-1}&a_{3}^{n-1}&\cdots &a_{n}^{n-1} \\ \end{vmatrix}{n} \\ 记\alpha_j =\begin{pmatrix} 1 \\ a{i} \\ a_{i}^{2} \\ \vdots \\ a_{i}^{n-1}\\ \end{pmatrix} j=1,2,\cdots,n ∣V∣= 1a1a12⋮a1n−11a2a22⋮a2n−11a3a32⋮a3n−1⋯⋯⋯⋯1anan2⋮ann−1 n记αj= 1aiai2⋮ain−1 j=1,2,⋯,n
∣ V ∣ = ∣ α 1 , α 2 , ⋯ , α n ∣ |V|=|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n| ∣V∣=∣α1,α2,⋯,αn∣,若其中 a i , ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) a_i,(i=1,2,\cdots,n) ai,(i=1,2,⋯,n)互不相等.则 ∣ V ∣ ≠ 0 |V|\neq{0} ∣V∣=0,从而向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α n A:\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n A:α1,α2,⋯,αn线性无关

综合例

设
- β 1 = α 1 + α 2 \beta_1=\alpha_1+\alpha_2 β1=α1+α2
- β 2 = α 2 + α 3 \beta_2=\alpha_2+\alpha_3 β2=α2+α3
- β 3 = α 3 + α 1 \beta_3=\alpha_3+\alpha_1 β3=α3+α1
求证若 A : α 1 , α 2 , α 3 A:\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 A:α1,α2,α3线性无关,则 B : β 1 , β 2 , β 3 B:\beta_1,\beta_2,\beta_3 B:β1,β2,β3线性无关

证法1

设向量 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) T \bold{x}=(x_1,x_2,x_3)^T x=(x1,x2,x3)T使得 ∑ i = 1 3 x i β i = 0 \sum_{i=1}^{3}x_i\beta_i=\bold{0} ∑i=13xiβi=0,即 x 1 ( α 1 + α 2 ) + x 2 ( α 2 + α 3 ) + x 3 ( α 3 + α 1 ) x_1(\alpha_1+\alpha_2)+x_2(\alpha_2+\alpha_3)+x_3(\alpha_3+\alpha_1) x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α1)= 0 \bold{0} 0
- 即 ( x 1 + x 3 ) α 1 + ( x 1 + x 2 ) α 2 + ( x 2 + x 3 ) α 3 = 0 (x_1+x_3)\alpha_1+(x_1+x_2)\alpha_2+(x_2+x_3)\alpha_3=\bold{0} (x1+x3)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3=0
- 由于 A A A线性无关,所以 ∑ i = 1 3 k i α i = 0 \sum_{i=1}^{3}k_i\alpha_i=0 ∑i=13kiαi=0只有当 k 1 = k 2 = k 3 = 0 k_1=k_2=k_3=0 k1=k2=k3=0
  - x 1 + x 3 = 0 x_1+x_3=0 x1+x3=0
  - x 1 + x 2 = 0 x_1+x_2=0 x1+x2=0
  - x 2 + x 3 = 0 x_2+x_3=0 x2+x3=0
  - 由初等变换法(或cramer法则),该方程组有唯一解零解
- 即 ∑ i = 1 3 x i β i = 0 \sum_{i=1}^{3}x_i\beta_i=\bold{0} ∑i=13xiβi=0只有零解,向量组 B B B线性无关

证法2

把条件中的向量等式体现的是向量组 B B B可以由向量组 A A A线性表出
用一个矩阵等式表达:
- 将 A , B A,B A,B的矩阵分别用列分块矩阵表示 B 1 × 3 \bold{B}{1\times{3}} B1×3= ( β 1 , β 2 , β 3 ) (\beta_1,\beta_2,\beta_3) (β1,β2,β3), A 1 × 3 \bold{A}{1\times{3}} A1×3= ( α 1 , α 2 , α 3 ) (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) (α1,α2,α3)
- 表出系数矩阵设为 K 3 × 3 \bold{K}_{3\times{3}} K3×3,矩阵表达式为 B = A K \bold{B=AK} B=AK
- 再分别根据3个向量等式中 α i \alpha_i αi的系数 ( i = 1 , 2 , 3 ) (i=1,2,3) (i=1,2,3),填写 K K K的3个列
- ( β 1 , β 2 , β 3 ) = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ( 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ) (\beta_1,\beta_2,\beta_3) =(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{pmatrix} (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3) 110111101
- 设 B x = 0 \bold{Bx=0} Bx=0,将 B = A K \bold{B=AK} B=AK代入 B x = 0 \bold{Bx=0} Bx=0,再由乘法结合律,得 A ( K x ) = 0 \bold{A(Kx)=0} A(Kx)=0,这就将 B B B得线性相关性转化到 A A A得线性相关性上,利用 A A A的线性相关性判断 B B B的线性相关性
- 而 A A A是线性无关的,所以 A y = 0 \bold{Ay=0} Ay=0只有零解,即 y = K x = 0 \bold{y=Kx=0} y=Kx=0,
- 因为 ∣ K ∣ = 2 ≠ 0 |\bold K|=2\neq{0} ∣K∣=2=0,所以 K x = 0 \bold{Kx=0} Kx=0只有零解,即 x = 0 \bold{x=0} x=0,从而 B B B线性无关

证法3

和证法3类似,但是这里采用向量组的秩判断向量组的线性相关性
因为 K \bold{K} K可逆,则 R ( K ) = 3 R(\bold{K})=3 R(K)=3
由矩阵秩的性质,对于 B = A K \bold{B=AK} B=AK,有 R ( A K ) = R ( A ) R(\bold{AK})={R(\bold{A})} R(AK)=R(A),而 A A A线性无关,所以 R ( A ) = 3 R(\bold{A})=3 R(A)=3(向量组 A , B A,B A,B包含的向量个数都是3)
所以 R ( B ) = R ( A ) = 3 R(\bold{B})=R(\bold{A})=3 R(B)=R(A)=3所以向量组 B B B线性无关

小结

证法1是按线性相关的定义,通过向量的运算得到的以 K \bold{K} K为系数矩阵的齐次方程,再把问题转化为它只有令解进行推理
证法2,3都是先将三个向量等式 合并为矩阵等式 ,立即得到矩阵 K \bold{K} K
- 证法2把证明向量组线性无关转化为证明齐次方程没有非零解,而去考察方程 B x = 0 \bold{Bx=0} Bx=0
- 证法3利用矩阵的秩的知识,以及向量组线性相关判定定理,避开了线性方程而直接证明