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一、入门练习
本题直接求 lim x → 0 α β \lim_{x\rightarrow\ 0}\frac{α}{β} limx→ 0βα的值即可，然后根据无穷小的概念来判断α和β的关系。
求极限的过程中产生了一个疑问， lim x → 0 1 1 + x \lim_{x\rightarrow\ 0\frac{1}{1 + x}} limx→ 01+x1的极限怎么求？
第一反应是直接将x代入，结果是1。但是根据可以直接代入得情况，有加减的情况下是不可以直接代入的，为什么这个可以直接代入？如果不直接代入怎么计算这个极限？
简单思考了一下，想到了三种方法。首先，这种情况应该是不可以直接代入的，但是如果恒等变形，将分子变成1 + x - x，可以变成1 + lim x → 0 x 1 + x \lim_{x\rightarrow\ 0\frac{x}{1 + x}} limx→ 01+xx，这次分母可以直接代入，结果为0。第二种方法是利用极限的运算性质来计算，先用除法，再用加减法，使用时，极限等于0也是极限存在。第三种方法是，函数连续，极限值等于函数值，可以直接将x = 0代入，计算函数值。
本题使用了三角函数的周期性，sin x = sin (x + 2nΠ)
第七题直接用洛必达法则即可
第八题分子有理化之后直接算
错误原因：看到 → ∞ \rightarrow\infty →∞时，第一反应是直接换元，转换成 → 0 \rightarrow\ 0 → 0，但是这两题这么做起来比较麻烦，所以没有计算出结果。
后续思路：后续再遇到 → ∞ \rightarrow\infty →∞时，除了考虑换元转换成 → ∞ \rightarrow\infty →∞计算外，如果计算比较麻烦，也考虑一下是否直接求更简单。
本题右侧极限好算，在计算左侧极限时出现问题。计算过程如下
错误原因在于极限值等于最高次幂系数比值的前提是，表达式可以一直用洛必达洛下去，但是将表达式乘开发现，实际使用一次洛必达之后就无法使用第二次了。因此结果是错误的，正确的方法是，使用一次洛必达之后，使用极限的运算性质来计算。
在后续的计算过程中，如果有意使用极限值等于最大次幂系数比值，需要关注表达式是否可以一直使用洛必达法则洛到底。
本题使用夹逼准则求f(x)的表达式。
本题旨在说明， 1 2 n + 1 \frac{1}{2n + 1} 2n+11的前n项和不好求。遇到时使用夹逼定理。
本题证明单调有界全部是使用数学归纳法。
本题需要明确以下知识点
二、基础练习
从内往外看，内部的值域是外部的定义域。
本题为无穷小的比阶，比较时除了上面介绍的求 lim x → 0 β α \lim_{x\rightarrow\ 0\frac{β}{α}} limx→ 0αβ以外，还可以直接看该表达式于x的几次方是等价或者同阶无穷小，可以简化问题。
本题使用夹逼定理。[x] ≤ x。
本题中极限有时为0，有时为 ∞ \infty ∞，所以极限不存在也不是 ∞ \infty ∞。
无穷大乘一个有界函数，极限不存在。有界函数取0时，极限为0；有界函数非0时，极限为 ∞ \infty ∞。
本题不需要求出f(x)的表达式，直接看x < 0，x > 0和x = 0的值的关系即可。
本题使用中值定理求极限。
本题错在不会换元积分，可以当作换元积分的练习。
本题错误原因是sin Πx不等价于Πx，需要变换之后才能使用等价无穷小。需要明确sin(x + Π) = -sin x
本题使用等价无穷小，无非形式有所变化。
本题的错误原因是对数运算法则使用错误。
本题对分子进行了巧妙地恒等变形。
本题使用拉格朗日中值定理简化计算，使用时需要注意f'(ξ)的处理。
本题需要明确特殊角度下各个三角函数的取值以及三角函数间的关系。这里列举一下特殊角度下各个三角函数的取值
本题没有看出是两个重要的极限。
本题需要明确知识点 1^2^ + 2^2^ + 3^2^ + ...... + n^2^ = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} 6n(n+1)(2n+1)
本题使用恒等变换证明单调性。
本题在x = e处为分界，求出f(x)的表达式，然后讨论连续性。