高等数学

高等数学 9.1多元函数的基本概念由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个平面直角坐标系后，平面上的点 P P P 与有序二元实数组 ( x , y ) (x, y) (x,y) 之间就建立了一一对应。于是，我们常把有序实数组 ( x , y ) (x, y) (x,y) 与平面上的点 P P P 视作是等同的。这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。二元有序实数组 ( x , y ) (x, y) (x,y) 的全体，即 R 2 = R × R = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ R } \mathbb{R}^2 = \math

【高等数学】第八章向量代数与空间解析几何——第三节平面及其方程上一节：【高等数学】第八章向量代数与空间解析几何——第二节数量积向量积混合积总目录：【高等数学】目录

【高等数学】第六章定积分的应用——第二节定积分在几何学上的应用上一节：【高等数学】第六章定积分的应用——第一节定积分的元素法总目录：【高等数学】目录下一节：【高等数学】第六章定积分的应用——第三节定积分在物理学上的应用总目录：【高等数学】目录

【高等数学】第七章微分方程——第五节可降阶的高阶微分方程上一节：【高等数学】第七章微分方程——第四节一阶线性微分方程总目录：【高等数学】目录下一节：总目录：【高等数学】目录

【高等数学】第四章不定积分——第五节积分表的使用上一节：【高等数学】第四章不定积分——第四节有理函数的积分总目录：【高等数学】目录对初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数，如 ∫ e − x 2 d x , ∫ sin ⁡ x x d x , ∫ d x ln ⁡ x , ∫ d x 1 + x 4 , \int \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x, \quad \int \frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x, \quad \int \frac{\mathrm{d}x

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《高等数学》（同济大学·第7版）第五章定积分第二节微积分基本公式以下是转换为纯文本的内容：同学们好！看来大家对"微积分基本公式"的理解还存在一些困惑，我会用更通俗的语言、更直观的例子重新梳理这部分内容，确保大家彻底掌握。我们从"积分上限函数"开始，一步步拆解核心概念。

高等数学（下）题型笔记（八）空间解析几何与向量代数0 前言1 向量的点乘1.1 基本公式1.2 例题2 向量的叉乘2.1 基础知识2.2 例题3 空间平面方程

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《高等数学》（同济大学·第7版）第四章第一节不定积分的概念与性质定义：如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即： [ F’(x) = f(x) \quad (\forall x \in I) ] 那么称F(x)是f(x)在I上的一个原函数。

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《高等数学》（同济大学·第7版）第四章第二节换元积分法一、换元积分法的基本思想换元积分法就像"搭积木"，通过变量替换把复杂积分变成简单积分。主要有两种方法：

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《高等数学》（同济大学·第7版）第二章第四节“隐函数及由参数方程所确定的函数的导数“由来： 18世纪欧拉为解决曲线切线问题提出，用于处理无法显式表示为 y=f(x) 的函数关系学习意义：研究复杂函数关系的核心工具理解曲线切线斜率的通用方法为微分方程求解奠定基础四、应用领域知识点 AI应用量化金融应用隐函数求导 GAN判别器训练隐含波动率曲面建模参数方程求导机器人路径规划时间序列参数敏感性分析高阶导数牛顿法优化期权Gamma风险对冲

数学知识体系难易程度表及关系以下是使用表格组织的数学知识体系，包含难度评级（1-5星，⭐为最低难度，⭐⭐⭐⭐⭐为最高难度）：按难度梯度规划学习路径，同时警示数学领域的深度与广度。

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《高等数学》（同济大学·第7版）第一章第六节极限存在准则两个重要极限1. 极限存在准则（1）夹逼准则（三明治定理）（2）单调有界准则2. 两个重要极限（1）第一重要极限：lim(x→0) sinx/x = 1

高等数学笔记第八章——向量代数与空间解析几何2

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《高等数学》（同济大学·第7版）第一节《映射与函数》超详细解析集合（Set）—— 最基础的数学容器定义：集合是由确定的、互不相同的对象（称为元素）组成的整体。表示方法：列举法：A = {1, 2, 3} 描述法：B = {x | x > 0}（表示所有大于0的实数）例子：股票价格集合：{10.2, 11.5, 9.8} AI中的特征集合：{年龄, 收入, 学历} 重要概念：空集∅：不含任何元素的集合子集：若A的所有元素都属于B，则A是B的子集（记作A⊆B）

高等数学笔记——向量代数与空间解析几何18-1、知识速览8-2知识速览8-3、知识速览

【硬核数学】2. AI如何“学习”？微积分揭秘模型优化的奥秘《从零构建机器学习、深度学习到LLM的数学认知》在上一篇中，我们探索了线性代数如何帮助AI表示数据（向量、矩阵）和变换数据（矩阵乘法）。但AI的魅力远不止于此，它最核心的能力是“学习”——从数据中自动调整自身，以做出越来越准确的预测或决策。这个“学习”过程的背后功臣，就是我们今天要深入探讨的微积分 (Calculus)。

【高数上册笔记01】：从集合映射到区间函数【参考资料】仅用于个人数学复习，因为课本太厚了而且不方便带着，所以才整理这样一份笔记。集合（set）是由确定的、互异的、无序的对象（称为元素）组成的整体。若 x ∈ A x \in A x∈A 表示 x x x 是集合 A A A 的元素， x ∉ A x \notin A x∈/A 表示 x x x 不是集合 A A A 的元素。

0302洛必达法则-微分中值定理与导数的应用.md讨论 x → a , 0 0 未定式 x\to a ,\frac{0}{0}未定式 x→a,00未定式

1302-习题2_1_6-课后习题-高等数学11 证明（1）若 f ( x ) f(x) f(x)为可导的奇函数，则 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x)为偶函数；（2）若 f ( x ) f(x) f(x)为可导的偶函数，则 f ′ ( x ) f^{'}(x) f′(x)为奇函数；（3）若f(x)为偶函数，且 f ′ ( 0 ) f^{'}(0) f′(0)存在，则 f ′ ( 0 ) = 0 f^{'}(0)=0 f′(0)=0 证明： f ( x ) 可导则 f ′ ( x ) = lim ⁡ h → 0 f ( x + h )

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青少年编程与数学 02-015 大学数学知识点 01课题、概要《青少年编程与数学》课程要求，在高中毕业前，尽量完成大部分大学数学知识的学习。一般可以通过线上课程的学习来完成。此处把大学数学的知识做一下总结，便于制定学习规划和检查验证这些知识的学习情况。本文是计算机科学、数据科学人工智能及所涉及的数学知识点的合并汇总，按照数学分支进行分类。