高等数学

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【高等数学第十二章】无穷级数数学高等数学大约2026年5月20号发布u i = a q i − 1 , 1 ≤ i ≤ n ，令 s n = ∑ i = 1 n u i , q ≠ 0 u_i=aq^{i-1},1 \le i \le n，令s_n=\sum\limits_{i=1}^nu_i,q\neq 0 ui=aqi−1,1≤i≤n，令sn=i=1∑nui,q=0。 q s n − s n = a q n − a → s n = a ( q n − 1 ) q − 1 qs_n-s_n=aq^n-a \to s_n=\f

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【高等数学十一章】曲线积分与曲面积分数学高等数学大约2026年5月20号发布定义：设L为xOy面内的一条光滑曲线函数，函数f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列 M 1 , M 2 , ⋯ M n − 1 M_1,M_2,\cdots M_{n-1} M1,M2,⋯Mn−1把L分成n个小段。设第i个小段的长度为 Δ σ i \Delta \sigma_i Δσi,又 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)为第i小段上任意一点，作乘积 f ( x i , y i ) Δ σ i ( i = 1 , 2 ,

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【高等数学第十章】重积分数学高等数学大约2026年5月20号发布直径的圆周角等于90度。因为是等边三角形，故两个红色角相等，两个黄色角相等。三角形内角和是180度，故两个红色角+两个黄色角之和是180度。即红色角+绿色角度之和是90度，即圆周角是90度。

洛必达法则假设实函数fff和ggg在(a,b)(a,b)(a,b)内可微，而且对于所有x∈(a,b)x \in (a,b)x∈(a,b)，g′(x)≠0g'(x) \neq 0g′(x)=0。这里−∞≤a<b≤+∞- \infty \leq a < b \leq \text{+}\infty−∞≤a<b≤+∞。已知

一元积分物理应用杂题这一章其实宇哥讲得不算很好，主要是对物理量的建立，计算其实不算特别难一元积分5.1 细杆对质点的引力分力设沿 y y y轴的区间 [ 0 , 1 ] [0,1] [0,1]上放置一长度为 1 1 1且线密度为 ρ \rho ρ的均匀细杆，在 x x x轴上 x = 1 x=1 x=1处有一单位质点，求该细杆对此质点的引力（ G G G为引力常量）沿 x x x轴正向的分力。

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【高等数学第九章】多元函数微分法及其应用数学当在平面引入直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应。我们常把有序实数数组(x,y)与平面上的点P视作等同的。及 R 2 = R × R ( x , y ) ∣ x , y ∈ R \R^2=\R\times \R{(x,y)|x,y\in \R} R2=R×R(x,y)∣x,y∈R 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E = ( x , y ) ∣ ( x , y ) 具有性质 P E={(x,y)|(x,y)具有性质P} E=(x,y)∣(x,y

微分几何：曲面与坐标系在曲面的每个点上，都有其自身的局部几何结构，即该处距离运作的独特规律。ggg 的值是位置的函数。它们会随着你的移动而变化。

微分几何：度规和高斯曲率g12g_{12}g12 和 KKK 并非同一事物，它们存在于不同的层面上。度规 gijg_{ij}gij 描述了如何测量距离。高斯曲率 KKK 是从度量中推导出来的，它更深层。你需要先有度量，然后，通过一些细致的工作，才能从中提取出 KKK。这实际上正是高斯著名定理的核心。KKK 隐藏在 ggg 之中。

微分几何：度规（度量）metric张量tensors、流形manifolds、度规metric。流形是一个空间，即使在整体范围内是弯曲的，近看却显得平坦。宇宙就是这样一个流形。而要讨论它的弯曲方式，我们需要一种在其上进行测量的方法。这就是度规，不是一把尺子，而是一套测量规则。一个接受两个方向并返回一个数值的函数。

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【高等数学第八章】向量代数和空间解析几何数学既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量)，如果位移、速度、加速度、力矩等。以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 A B ⃗ \vec {AB} AB 。在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量)，即只考虑大小和方向，不考虑起点。向量a和向量b相等即a=b，两者大小相等、方向相同。也就是经过平移后完全重合的矢量相等。向量的大小叫向量的模，向量 A B ⃗ \vec{AB} AB 的模记作 ∣ A B ⃗ ∣ |\vec{AB}| ∣AB ∣。模等于1的向量是单

一元函数积分学的应用（平均值、旋转体体积、侧面积）定积分计算结合微元法可求解函数图像绕某直线旋转得到的旋转体体积或侧面积一元积分3.1 函数平均值计算求函数 y = x 2 1 − x 2 \displaystyle y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} y=1−x2 x2 在区间 [ 1 2 , 3 2 ] \left[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right] [21,23 ] 上的平均值。

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【高等数学第六章】定积分的应用数学比较容易理解，不赘述。有时求和y轴围成的面积更容易。例8：计算由摆线 x = a ( t − sin ⁡ t ) , y = a ( 1 − cos ⁡ t ) x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t) x=a(t−sint),y=a(1−cost)相应于 0 ≤ t ≤ 2 π 0\le t \le 2\pi 0≤t≤2π的一拱直线与直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积。解按旋转体体积公式，沿x轴旋转而成的旋转提的体积为： V x = ∫ 0 2 π a π

机器学习 —— 高数回顾外导 * 内导对应一个给定的多元函数f(x1,x2,...,xn),它的偏导数标识当前仅当一个变量变化而其他所有变量保持不变时，函数值的变化率。

积分计算杂题一元积分学计算杂题，包括一些常见的换元法以及简单的三角函数积分题一元积分1.6 简单三角函数积分求积分(1) ∫ sec ⁡ 3 x d x \displaystyle\int \sec^3 x dx ∫sec3xdx(2) ∫ tan ⁡ 3 x d x \displaystyle\int \tan^3 x dx ∫tan3xdx(3) ∫ tan ⁡ 4 x d x \displaystyle\int \tan^4 x dx ∫tan4xdx

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【第五章高等数学】定积分数学证明： lim ⁡ a → ∞ a x = ∞ , x > 0 \lim\limits_{a \to \infty}a^x=\infty,x>0 a→∞limax=∞,x>0 令 x 0 → 0 + , ∀ M ， A = M 1 x 0 x0\to 0^+,\forall M，A=M^{\frac 1 {x0}} x0→0+,∀M，A=Mx01 a=A 式，左式子=M。由于 a x 0 a^{x0} ax0是单调递增，a是变量，故a>A时，左式>M。故 x → 0 + 时 x \to 0^+时 x

聊聊拓扑学为什么想聊聊拓扑学？或许是因为它是关于形状的数学，它能在变换中保持不变。不是刚性结构，也不是代数的精确性，而是当事物拉伸、弯曲和变化时，那些保持不变的东西。在所有变化之下，那些不变的东西。

拓扑学-毛球定理有个数学定理叫“毛球定理”（Hairy Ball Theorem）。这是个真正的定理，完全严肃的拓扑学定理。它指出，你不可能把一个毛茸茸的球梳平而不产生一个旋毛。更正式地说：球面上不存在连续的非零切向量场。

薛定谔方程iℏ∂∂tΨ=H^Ψi\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi = \hat{H}\Psiiℏ∂t∂Ψ=H^Ψ

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【高等数学】四,不定积分数学定义一：如果再区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即 ∀ x ∈ I \forall x \in I ∀x∈I，都有F’(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx。那么函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数。原函数存在定理：连续函数一定存在原函数。证明：令F(a)=C，令 F ( x ) = ( ∫ a x f ( t ) d t ) + C F(x)=(\int_a^xf(t)dt)+C F(x)=(∫axf(t)dt)+C 即 F ( x + Δ ) = F ( x ) +

极限与连续杂题CSDN对文章有长度限制，受限于此，日志全部改用Obisidian更新，CSDN上偶尔放一些近期做的题目。