AVL树
一、AVL树的概念
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二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
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AVL树：又被称为高度平衡搜索二叉树，当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
- 它的左右子树都是AVL树
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在log_2 n，搜索时间复杂度O(log_2 n)。
二、AVL树节点的定义
cpp
template <class K, class V>
struct AVLTreeNode{
AVLTreeNode<K,V> *_left; //指向左节点的指针
AVLTreeNode<K,V> *_right; //指向右节点的指针
AVLTreeNode<K,V> *_parent; //指向父节点的指针
pair<K,V> _kv; //存储元素键值对
int _bf; //平衡因子balance factor
AVLTreeNode(const pair<K,V> &kv)
:_left(nullptr),
_right(nullptr),
_parent(nullptr),
_kv(kv),
_bf(0)
{}
}; 三、AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为三步：
- 按照二叉搜索树的方式插入新节点
- 调整节点的平衡因子
- 如果节点所在的二叉树不再平衡，通过旋转恢复平衡。
cpp
template <class K, class V>
bool AVLTree<K,V>::Insert(const pair<K,V> &kv)
{
//1.按照二叉搜索树的方式插入新节点
if(_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node *cur = _root;
Node *parent = nullptr; //cur要向下一直遍历到null，所以要记录父节点的指针
while(cur != nullptr)
{
if(kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if(kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if(kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent; //不要忘了修改父节点指针
//2.调整节点的平衡因子
while(parent!=nullptr) //只影响插入节点的所有祖先节点的平衡因子,parent不断向上一直遍历到根节点
{
//更新父节点的平衡因子
//平衡因子=右树的高度-左树的高度
if(cur == parent->_right)
{
++parent->_bf; //插入右节点，bf++；
}
else{
--parent->_bf; //插入左节点，bf--；
}
//更新后检测双亲的平衡因子
if(parent->_bf == 0)
{
//由1/-1更新为0，说明以父节点为根的二叉树高度不变，无需继续向上调整。
break;
}
else if(abs(parent->_bf) == 1)
{
//由0更新为1/-1，说明以父节点为根的二叉树高度增加了一层，需要继续向上调整。
parent = parent->_parent;
cur = cur->_parent;
}
else if(abs(parent->_bf) == 2)
{
//3.更新后为2/-2，说明parent所在的子树已经不平衡了，需要通过旋转恢复平衡。
//......
//下面的内容会有讲解↓↓↓
}
else{
//除非代码有错，否则不可能有其他情况。
assert(false);
}
}
return true;
}四、AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
4.1 左单旋
新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋
解释：
-
上图在插入前，AVL树是平衡的。a,b,c是高度为h的AVL子树(h>=0)。新节点插入到60的右子树c使c树增加了一层，最终导致以30为根的二叉树不平衡。
-
要让30平衡，就需要将30向左旋转，将60提上去。让30的左子树增加一层，右子树减少一层。也就是让30做60的左子树。
-
如果60有左子树b，b树的根一定大于30小于60，刚好做30的右子树。旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
-
在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
- 60节点的左子树b可能存在，也可能为空。
- 30可能是根节点，也可能是子树
- 如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点指针_root。
- 如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树。要更新父节点的指针。
cpp
template <class K, class V>
void AVLTree<K,V>::RotateL(Node *parent){ //parent对应30
Node *subR = parent->_right; //subR对应60
Node *subRL = subR->_left; //subRL对应b树的根
Node *ppNode = parent->_parent; //记录30的父节点，便于旋转后进行连接。
//30和b树进行连接
parent->_right = subRL;
if(subRL != nullptr) //b树可能为空
{
subRL->_parent = parent;
}
//30和60重新连接
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
//60和30的父节点进行连接
//如果30是根节点，更新根节点指针_root指向60
//if(_root == parent)
if(ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
}
else{
//60和30的父节点进行连接，先要确定30是父节点的左子树还是右子树
if(ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else{
ppNode->_right = subR;
}
}
subR->_parent = ppNode;
//更新平衡因子，进过旋转60和30的平衡因子变为0
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}4.2 右单旋
新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋
详细解释参考左单旋。
cpp
template <class K, class V>
void AVLTree<K,V>::RotateR(Node *parent){
Node *subL = parent->_left;
Node *subLR = subL->_right;
Node *ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
parent->_left = subLR;
if(subLR != nullptr)
subLR->_parent = parent;
//if(_root == parent)
if(ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
}
else{
if(ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else{
ppNode->_right = subL;
}
}
subL->_parent = ppNode;
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}旋转的作用：1. 平衡二叉树 2. 降低二叉树高度（恢复到插入之前的高度h+2）
4.3 左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。
左右双旋又能细分为3种情况：
- a,b,c,d是空树60是新增，引发双旋。
- 在b树插入新增，引发双旋。
- 在c树插入新增，引发双旋。
三种情况的双旋过程不变，只是平衡因子的更新需要分别处理：
双旋的关键在于更新平衡因子，30,60,90三个节点的平衡因子都在两次单旋过程中被错误的置为0（因为并没要满足单旋的条件）。要根据以上三种不同的情况重新调整三个节点的平衡因子。如何区分三种不同的情况？根据旋转之前60的平衡因子确认。
cpp
template <class K, class V>
void AVLTree<K,V>::RotateLR(Node *parent){ //parent对应90
Node *subL = parent->_left; //subL对应30
Node *subLR = subL->_right; //subLR对应60
int bf = subLR->_bf; //记录旋转之前60的平衡因子
RotateL(subL); //30左单旋
RotateR(parent); //90右单旋
//更新平衡因子
subLR->_bf = 0; //60的平衡因子一定为0
switch(bf) //根据旋转之前60的平衡因子确认属于那种情况
{
case 1:
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
break;
case -1:
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
break;
case 0:
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
break;
default:
//除非代码有错，否则不可能有其他情况。
assert(false);
break;
}
}双旋最终的结果是将60作为二叉树的根，60的左右子树分别作了30和90的右左子树。30和90作了60的左右子树。
4.4 右左双旋
新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
详细解释参考左右双旋。
cpp
template <class K, class V>
void AVLTree<K,V>::RotateRL(Node *parent){
Node *subR = parent->_right;
Node *subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
//更新平衡因子
subRL->_bf = 0;
switch(bf)
{
case 1:
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
break;
case -1:
subR->_bf = 1;
parent->_bf = 0;
break;
case 0:
subR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
break;
default:
//除非代码有错，否则不可能有其他情况。
assert(false);
break;
}
}双旋最终的结果是将60作为二叉树的根，60的左右子树分别作了30和90的右左子树。30和90作了60的左右子树。
4.5 分情况旋转
cpp
else if(abs(parent->_bf) == 2)
{
//3.更新后为2/-2，说明parent所在的子树已经不平衡了，需要通过旋转恢复平衡。
if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //右右，左单旋
{
RotateL(parent);
}
else if(parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) //右左，右左双旋
{
RotateRL(parent);
}
else if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //左左，右单旋
{
RotateR(parent);
}
else if(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) //左右，左右双旋
{
RotateLR(parent);
}
else
{
//除非代码有错，否则不可能有其他情况。
assert(false);
}
break; //注意：旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
}总结：
假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑：
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parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR
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当subR的平衡因子为1时(右右)，执行左单旋
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当subR的平衡因子为-1时(右左)，执行右左双旋
-
-
parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL
-
当subL的平衡因子为-1是(左左)，执行右单旋
-
当subL的平衡因子为1时(左右)，执行左右双旋
-
经过旋转后可以直接break；因为经过旋转，插入元素前后子树的高度未发生变化都是h+2，不需要再调整上层节点的平衡因子。一次插入最多一次旋转。
所以，AVL树插入元素的时间复杂度：找插入位置O(log_2N) + 更新平衡因子O(log_2N) + 旋转O(1) = O(log_2N)。
五、AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
-
验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
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验证其为平衡树
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每个节点子树高度差的绝对值不超过1
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节点的平衡因子是否计算正确
cpptemplate <class K, class V> bool AVLTree<K,V>::_Isbalance(Node *root){ if(root == nullptr) return true; //注意，空树也是AVL树 int lh = _Height(root->_left); //_Height返回二叉树的高度 int rh = _Height(root->_right); int diff = rh-lh; //计算得到平衡因子 if(diff != root->_bf) { cout << "Key: " << root->_kv.first << "bf: " << root->_bf << " 平衡因子异常" << endl; return false; } return abs(diff) < 2 && _Isbalance(root->_left) && _Isbalance(root->_right); }
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测试用例
cpp//插入一两组序列测试 void Test1(){ //int arr[] = {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}; int arr[] = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; AVLTree<int, int> avl; for(auto e : arr) { avl.Insert(make_pair(e, e)); } avl.Inorder(); cout << "Isbalance: " << avl.Isbalance() << endl; } //插入10000个随机值测试 void Test2(){ srand(time(NULL)); AVLTree<int, int> avl; const int N = 10000; for(int i = 0; i<N; ++i) { int x = rand(); avl.Insert(make_pair(x, i)); } cout << "Isbalance: " << avl.Isbalance() << endl; }
六、AVL树的删除(了解)
AVL树节点的删除步骤如下：
- 在AVL树中找到要删除的节点。
- 如果要删除的节点是叶子节点，直接删除即可。
- 如果要删除的节点只有一个子节点，先使前驱节点指向该节点的子节点，然后删除该节点。
- 如果要删除的节点有两个子节点，需要找到该节点的替换节点（即该节点右子树中最小的节点或左子树中最大的节点），然后交换与替换节点的值，最后删除替换节点。
- 在删除节点后，需要更新从该节点到根节点路径上所有节点的平衡因子，并进行平衡调整，使得整棵树重新满足AVL树的性质。
删除操作的平衡调整方法和AVL树的插入操作相似，但在实现时需要注意一些细节上的差异。需要注意的是，删除操作可能会导致多个节点的平衡因子发生变化，因此需要一直向上循环更新和平衡调整，直到根节点。具体实现大家可以参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。
七、AVL树的性能
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AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即
log_2 (N)。 -
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多；更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
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因此，如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树。但一个结构经常修改，就不太适合。