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当我们学习完前面的数据结构，难度也就会上升，但是这个也是非常重要的数据结构。今天我们来学习一种新的数据类型------树。

树的概念以及结构

树的概念以及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的。

这个数据结构非常形象，将我们现实中的树与数据结构联合，所以我们数据结构中的树非常像现实中的树，它是由一个衍生出许多树枝，从树枝中继续衍生为枝叶以此类推得到的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

当"树枝"延申出去后，枝与枝之间就不能再有联系。如果有联系就不是树结构，而是更复杂的图结构！！！

树的相关概念

上图为一个非常标准的树状结构，依靠上图例子我们就可以学习许多相关的关于树的概念：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点 ：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示

在我们之前学习的链表、顺序表中，我们经常会创建结构体或数组来进行，但在树中我们应该怎么来表示树的结构呢？当我们初次尝试表示链表时，我们可能会在表示树时有链表的思想在里面。下面我给出一个错误案例：

cpp 复制代码

struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode*child1;
    struct TreeNode*child2;
};

创建两个节点分别记录下左右两个孩子的结构体指针，想要操作就进行访问。但是这样表示太过于局限性，对于树的"形状"我们有太多不确定因素。比如：根的孩子有5个，但是根孩子的孩子有0~6个不等。这样我们所表示的树是错误的。

那有的人又会说我们可以使用结构体指针数组进行储存，来表示树的结构。

cpp 复制代码

#define N 3
struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode*childArr[N];
};

这样的表示方法也存在许多局限性与弊端，首先N应该定为多少呢？如果明确给出树的度，我们才可以定义。而且树的度指树中最大节点的度，那我们全部使用最大节点的度来定义，会有很大的空间浪费。 （可以使用顺序表存储孩子指针）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

cpp 复制代码

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

这个结构非常巧妙，巧妙在不管度为多少、节点为多少，我们都可以表示出来。

这是表示树的最优解，我们可以通过firstchild找到最左边的孩子节点，然后通过pNextBrother指针找到相邻的兄弟节点，直到pNextBrother指针指向NULL，证明兄弟节点已经访问完了。如果firstchild指针指向NULL，证明已经访问到叶子节点了。

树在实际中的运用

树结构好像在生活中非常少见，那什么是用树实现的呢？

文件系统就是通过树实现的。当我们打开我的电脑后，一般就会有两课树C盘与D盘，当我们对C盘访问时，我们就相对于进入了一个树结构中。

每个文件夹下都有许多"孩子"。这是最典型的树型结构。但是文件系统是一个比较复杂的树，指针不仅仅是指向子节点，还有指向父节点的。

二叉树概念及结构

二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空

由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点

二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。（简单来说：假设树的高度为h，每一层都是满的）
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（简单来说：假设树的高度为h，前h-1层是满的，最后一层不一定满，从左到右是连续的）

高度为h的满二叉树有多少个节点呢？

我们可以用等比数列求和公式，首项为1公比为2，F(h) = 2^h-1。

高度为h的完全二叉树，最多有几个节点，最少有几个节点？

满二叉树为特殊的完全二叉树，所以最多有2^h-1个节点，最少就是h-1层为满节点，h层只有一个节点，最少有2^(h-1)个节点。

二叉树的性质

若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

若2i+1=n否则无左孩子

若2i+2=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链

只有完全二叉树我们才使用顺序存储，而使用顺序存储时我们就得引出一个概念------堆。

以上是树的基本概念，以及二叉树的基础内容。下一篇博客我们将会堆顺序排序、堆的实现......进行描述与讲解。

感谢大家的观看，你们的支持是我最大的动力！！！

树的引进以及二叉树的基础讲解——【数据结构】

树的概念以及结构

树的概念

树的相关概念

树的表示

树在实际中的运用

二叉树概念及结构

二叉树的概念

特殊的二叉树

二叉树的性质

二叉树的存储结构