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一、背景介绍
你玩过骨牌吗？至少你一定听说过或者亲眼见过多米诺骨牌，而多米诺骨牌就发展自骨牌，这是一种古老的游戏，而我则是在b站上一个叫做"森纳映画"的up主那里学会骨牌的（但是我现在找不到这个视频了，当时好像是 21 年十月份左右），我甚至真的自己买了一副骨牌，带回家和我的好友家人一起玩这个游戏。
骨牌是一种由两个方块组成的矩形，每个方块上都有点数，每个点数的大小都在 0 到 6 之间，任意两张骨牌的两个点数不会完全相同，一副标准的骨牌就有 7 × 8 2 = 28 \frac{7×8}{2} = 28 27×8=28 张牌。
如下图所示，例如左上角的这个骨牌由1和1组成，它下面的这个骨牌由2和1组成，任意两张骨牌上的点数不会相同。最小的数字是 0，最大的数字是 6。
（图源tb某商家）
Dominosa，中文名称为数邻，是一种棋盘游戏，基于骨牌的排列和匹配来进行。它是从骨牌游戏中发展而来的，在骨牌的基础上添加了一些规则和难度。具体的游戏规则是：将一副骨牌放置在一个棋盘上，玩家需要根据这些固定数字推断出正确的骨牌排列。
Dominosa 是一款非常有趣和具有挑战性的游戏。我是在 Linux 实训的小学期里，在虚拟机上接触到了这个小游戏。由于我本身玩过骨牌，同时对这种类型的数学游戏（比如数独之类的，我去年十月份也写过一篇用程序解决数独问题的文章）也很感兴趣，它们实在是令我着迷。 Dominosa 需要玩家运用逻辑思维和推理能力来解决问题。它的规则相对简单，但难度却很高，因为骨牌排列的可能性非常多。如果您喜欢逻辑游戏，并且想尝试一些挑战性的新游戏，那么 Dominosa 绝对值得一试！
对于没有接触过骨牌的同学来说或许还不太能理解这个游戏，那么我们下面举一个具体的例子。下面是一个经典的 Dominosa 谜面。
答案是这样的：
可见，盘面上的数字被两两划分，且保证每个划分都互不重复。另外注意到，最小数字是 0，最大数字是 3，最大数字还可以是4、5、6等等，一般来说数字越大难度越大！
我相信看完例子你一定懂了这个游戏的规则！现在，请你编写一个程序，对于给定的 Dominosa 谜面，能够自动判断是否有解，如果有解，还能够给出一个正确的解。
二、题目描述
输入一个未解的 Dominosa 谜面，输出它的结果。
Input由两部分输入组成。第一部分只有一个正整数n，表示最大数字，第二部分有n+1行，每行n+2个正整数，表示谜面。
Output谜题的解，如果两个数字能够组成一个骨牌，那么将它们的位置标记为相同的数字。标记方法可能不唯一，但是标记必须容易辨认。
下面是两个测试用例。
测试用例1
测试用例2
这里补充解释输出为何是这样的：在程序的输出中，一样的数字表明它们的位置被划分在同一组骨牌中。例如测试用例 1 的输出对应的就是上面给过的例子。
三、Dominosa 的技巧？
不管是直接百度还是去 b 站又或者是 CSDN 我能找到的技巧真是少之又少，别说技巧了资料都没多少，我顺便提一下 b 站上有一篇文章讲了一些技巧和方法。说实话，因为技巧真的不多而且限制颇多，关于 Dominosa 的技巧我只想说一句 "就这？"，好消息是倒也挺容易就能够编写程序让电脑帮我们计算出答案，毕竟我也就写了一个下午就写出来了。
具体的技巧我就不提了，大家可以自己去玩一下感受一下，我的感觉就是这些技巧可有可无，不说你也能看出来，说了等于白说。而且最重要的是编写程序不会用到。
四、编程思路
1、读入 N N N， N N N 是谜面里的最大数字，一般不会超过 30，本题中为了方便输入我人为的设置为 N < 10 N<10 N<10。
2、接着读入 ( N + 1 ) ( N + 2 ) (N+1)(N+2) (N+1)(N+2) 个数据，表示谜面。
3、根据读入的数据初始化 DMNS ，DMNS即Dominosa，是我的自定义类Dominosa 的一个对象。
4、全面扫描 DMNS，更新 bridge.count。bridge 意为"桥"，我把骨牌看作是"连线"，如果两个相邻数字组成一个骨牌，我将它们直接连起来 ，这样连起来就很像是"搭桥"。统计"桥"的数量，如果某种"桥"的数量为1，说明这个骨牌是唯一的，在后续过程中我们当然要把它连起来。
5、全面扫描 DMNS 的每个格子，这里的每个格子 都是一个我自定义的结构体 。对于每一个格子，考虑如果它的四周只有一个格子可以相连，那它就一定与其相连；再考虑如果它的四周存在一座"桥"是唯一的，那么也一定可以相连。、、、这里我再举一个例子说明一下，例如这里可以连接 2 和 3 ，而其他任何地方都没有 2 和 3 相连，也就是说这里的 2 和 3 相连是唯一的，那么它们就一定是互连的，直接连起来就好。
6、全面更新 DMNS，更新每个格子的状态，我这里的格子 是结构体。
7、重复步骤 4-6 若干
五、完整代码
具体过程见注释。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N = 30; // N: 最大数字，不难计算出盘面的行数=N+1，列数=N+2
int sequence = 0;
// 定义单格
typedef struct {
int number = -1; // 表示当前格内的数字，初始是-1
int con = 0; // 表示当前格是否已建立连接，如果未连接，则为0，如果已连接，则为1
int up=1, down=1, left=1, right=1; // 标记当前格的上、下、左、右格子是否可能建立连接，如果可能则为1，如果不能则为0
int sequ = 0;
} Single;
// 定义骨牌
typedef struct {
int count; // 编号：以6为例，00->0, 01->1, ..., 06->6, 11->7, ..., 16->12, 22->13, ..., 55->25, 56->26, 66->27；count是每种骨牌的数量
bool used; // used是骨牌是否已经出现过，若已经出现过则为true
} bridge;
int addd(int m){ // 一个求和的函数
int s = 0;
for (int i=1; i<m; i++) s+=i;
return s;
}
// 根据骨牌上的两个数字将其转换为对应的b_id
int trans_numbers_bid(int number1, int number2) {
int addd(int);
int less = number1 < number2 ? number1 : number2, more = number1 + number2 - less;
int b_id = less*N+more;
if (less>1) b_id-=addd(less);
return b_id;
}
// Dominosa棋盘类
class Dominosa{
public:
Dominosa(){}; // 构造函数
Dominosa(const Dominosa&); // 拷贝函数
~Dominosa(){}; // 析构函数
Single lattice[31][32]; // 第i行第j列的格子位置为：k=21*i+j，理论支持的最大数字 N=30，但由于输入问题最大 N=9
void init_connect(); // 初始化所有格子的up、down、left、right
int sum_of_up_down_left_right(int m, int n); // 计算上下左右的和
};
Dominosa:: Dominosa(const Dominosa& dd) {
for (int i=0; i<21; i++) {
for (int j=0; j<22; j++) {
this->lattice[i][j] = dd.lattice[i][j];
}
}
}
void Dominosa:: init_connect(){
// 初始化所有格子的up、down、left、right
for (int j=0; j<N+2; j++) {
lattice[0][j].up = 0;
lattice[N][j].down = 0;
}
for (int i=0; i<N+1; i++) {
lattice[i][0].left = 0;
lattice[i][N+1].right = 0;
}
}
// 计算当前格与上下左右可能性的和，m是行数，n是列数
int Dominosa:: sum_of_up_down_left_right(int m, int n){
// 如果是边缘格子，单独考虑
if (m==0) {
if (n==0) {
return lattice[m][n].right+lattice[m][n].down;
}
else if (n==N+1) {
return lattice[m][n].left+lattice[m][n].down;
}
else {
return lattice[m][n].left+lattice[m][n].right+lattice[m][n].down;
}
}
else if (m==N) {
if (n==0) {
return lattice[m][n].up+lattice[m][n].right;
}
else if (n==N+1) {
return lattice[m][n].left+lattice[m][n].up;
}
else {
return lattice[m][n].left+lattice[m][n].right+lattice[m][n].up;
}
}
else {
if (n==0) {
return lattice[m][n].right+lattice[m][n].up+lattice[m][n].down;
}
else if (n==N+1) {
return lattice[m][n].left+lattice[m][n].up+lattice[m][n].down;
}
else {
return lattice[m][n].up+lattice[m][n].down+lattice[m][n].left+lattice[m][n].right;
}
}
}
Dominosa DMNS; // 基础盘面DMNS
int main() {
int addd(int);
int trans_numbers_bid(int, int);
// 初始化谜面
DMNS.init_connect();
sequence++;
freopen("input.txt","r",stdin); // 谜面放在 input.txt 中
//读入待解盘面D
scanf("%d\n", &N);
char c;
for (int i=0; i<N+1; i++) {
for (int j=0; j<N+2; j++) {
scanf("%c", &c);
DMNS.lattice[i][j].number = c - '0';
DMNS.lattice[i][j].con = 0;
}
scanf("%*c");
}
// 初始化bridge
int count_of_bridges = (N+1)*(N+2)/2;
bridge b[count_of_bridges];
for (int i=0; i<count_of_bridges; i++) {
b[i].used = false;
}
bool update = true;
while (update) {
update = false;
// 初始化bridge.count
for (int i=0; i<count_of_bridges; i++) {
b[i].count = 0;
}
// 全面扫描DMNS，更新bridge.count
// 先横向扫描一遍，更新bridge.count
for (int i=0; i<N+1; i++) {
for (int j=0; j<N+1; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0 && DMNS.lattice[i][j+1].con==0) {
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].count++;
}
}
}
// 再纵向扫描一遍，更新bridge.count
for (int i=0; i<N; i++) {
for (int j=0; j<N+2; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0 && DMNS.lattice[i+1][j].con==0) {
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].count++;
}
}
}
// 从左向右扫描一遍，并尝试向右建立连接
for (int i=0; i<N+1; i++) {
for (int j=0; j<N+1; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0 && DMNS.lattice[i][j+1].con==0) {
if (DMNS.sum_of_up_down_left_right(i, j)==1 && DMNS.lattice[i][j].right==1) {
DMNS.lattice[i][j].con = 1;
DMNS.lattice[i][j].sequ = sequence;
DMNS.lattice[i][j+1].con = 1;
DMNS.lattice[i][j+1].sequ = sequence;
sequence++;
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used = true;
update = true;
}
if (b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used==false
&& b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].count==1) {
DMNS.lattice[i][j].con = 1;
DMNS.lattice[i][j].sequ = sequence;
DMNS.lattice[i][j+1].con = 1;
DMNS.lattice[i][j+1].sequ = sequence;
sequence++;
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used = true;
update = true;
}
}
}
}
// 从右向左扫描一遍，并尝试向左建立连接
for (int i=0; i<N+1; i++) {
for (int j=1; j<N+2; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0 && DMNS.lattice[i][j-1].con==0) {
if (DMNS.sum_of_up_down_left_right(i, j)==1 && DMNS.lattice[i][j].left==1) {
DMNS.lattice[i][j].con = 1;
DMNS.lattice[i][j].sequ = sequence;
DMNS.lattice[i][j-1].con = 1;
DMNS.lattice[i][j-1].sequ = sequence;
sequence++;
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used = true;
update = true;
}
if (b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used==false
&& b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].count==1) {
DMNS.lattice[i][j].con = 1;
DMNS.lattice[i][j].sequ = sequence;
DMNS.lattice[i][j-1].con = 1;
DMNS.lattice[i][j-1].sequ = sequence;
sequence++;
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used = true;
update = true;
}
}
}
}
// 从上向下扫描一遍，并尝试向下建立连接
for (int i=0; i<N; i++) {
for (int j=0; j<N+2; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0 && DMNS.lattice[i+1][j].con==0) {
if (DMNS.sum_of_up_down_left_right(i, j)==1 && DMNS.lattice[i][j].down==1) {
DMNS.lattice[i][j].con = 1;
DMNS.lattice[i][j].sequ = sequence;
DMNS.lattice[i+1][j].con = 1;
DMNS.lattice[i+1][j].sequ = sequence;
sequence++;
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used = true;
update = true;
}
if (b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used==false
&& b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].count==1) {
DMNS.lattice[i][j].con = 1;
DMNS.lattice[i][j].sequ = sequence;
DMNS.lattice[i+1][j].con = 1;
DMNS.lattice[i+1][j].sequ = sequence;
sequence++;
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used = true;
update = true;
}
}
}
}
// 从下向上扫描一遍，并尝试向上建立连接
for (int i=1; i<N+1; i++) {
for (int j=0; j<N+2; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0 && DMNS.lattice[i-1][j].con==0) {
if (DMNS.sum_of_up_down_left_right(i, j)==1 && DMNS.lattice[i][j].up==1) {
DMNS.lattice[i][j].con = 1;
DMNS.lattice[i][j].sequ = sequence;
DMNS.lattice[i-1][j].con = 1;
DMNS.lattice[i-1][j].sequ = sequence;
sequence++;
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used = true;
update = true;
}
if (b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used==false
&& b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].count==1) {
DMNS.lattice[i][j].con = 1;
DMNS.lattice[i][j].sequ = sequence;
DMNS.lattice[i-1][j].con = 1;
DMNS.lattice[i-1][j].sequ = sequence;
sequence++;
b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used = true;
update = true;
}
}
}
}
// 全面更新DMNS的每个con=0格子的up、down、left、right状态
// 如果相邻的格子的con=1，则将其方向设置为0
// 如果相邻的格子的con=0，但bridge.used=true，也要将其方向设置为0
{
int i=0;
{
int j=0;
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j+1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].right = 0;
}
if (DMNS.lattice[i+1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].down = 0;
}
}
for (j=1; j<N+1; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j-1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].left = 0;
}
if (DMNS.lattice[i][j+1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].right = 0;
}
if (DMNS.lattice[i+1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].down = 0;
}
}
}
j = N+1;
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j-1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].left = 0;
}
if (DMNS.lattice[i+1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].down = 0;
}
}
}
{
for (i=1; i<N; i++) {
int j=0;
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j+1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].right = 0;
}
if (DMNS.lattice[i-1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].up = 0;
}
if (DMNS.lattice[i+1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].down = 0;
}
}
for (j=1; j<N+1; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j-1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].left = 0;
}
if (DMNS.lattice[i][j+1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].right = 0;
}
if (DMNS.lattice[i-1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].up = 0;
}
if (DMNS.lattice[i+1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].down = 0;
}
}
}
j = N+1;
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j-1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].left = 0;
}
if (DMNS.lattice[i-1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].up = 0;
}
if (DMNS.lattice[i+1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i+1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].down = 0;
}
}
}
}
{
i = N;
int j=0;
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j+1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].right = 0;
}
if (DMNS.lattice[i-1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].up = 0;
}
}
for (j=1; j<N+1; j++) {
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j-1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].left = 0;
}
if (DMNS.lattice[i][j+1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j+1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].right = 0;
}
if (DMNS.lattice[i-1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].up = 0;
}
}
}
j = N+1;
if (DMNS.lattice[i][j].con==0) {
if (DMNS.lattice[i][j-1].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i][j-1].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].left = 0;
}
if (DMNS.lattice[i-1][j].con==1 || b[trans_numbers_bid(DMNS.lattice[i][j].number, DMNS.lattice[i-1][j].number)].used==true ) {
DMNS.lattice[i][j].up = 0;
}
}
}
}
// // 输出每次更新的结果
// for (int i=0; i<N+1; i++) {
// for (int j=0; j<N+2; j++) {
// cout << setw(4) << DMNS.lattice[i][j].sequ;
// }
// cout << endl;
// }
// cout << endl;
// cout << "Debug: 输出每个格子的up down left right状态" << endl;
// for (int i=0; i<N+1; i++) {
// cout << "i = " << i << endl;
// for (int j=0; j<N+2; j++) {
// cout << DMNS.lattice[i][j].up << " " << DMNS.lattice[i][j].down << " " << DMNS.lattice[i][j].left << " " << DMNS.lattice[i][j].right << endl;
// }
// }
// cout << endl;
// cout << "Debug: 输出所有bridge的连接状态" << endl;
// for (int i=0; i<=N; i++) {
// for (int j=i; j<=N; j++) {
// cout << i << j << ": " << b[trans_numbers_bid(i, j)].used << " ";
// }
// }
// cout << endl;
}
// 输出最终的结果
for (int i=0; i<N+1; i++) {
for (int j=0; j<N+2; j++) {
cout << setw(4) << DMNS.lattice[i][j].sequ;
}
cout << endl;
}
return 0;
}还好啦，也就 422 行而已，一个下午就写完了。
注意输入一定要按照我的格式来，仅支持 N < 10 N<10 N<10 的情形。如果你想要让 N ≥ 10 N\ge10 N≥10，那么就要在输入中添加空格，相应地也修改一下程序中的输入。你也可以修改一下，让输出在一个文件里面。
最初，我想履行上次的承诺用python写，但是我不知道python是没有还是不会，我不会搞结构体，我还挺喜欢结构体这个东西的，所以还是用回了C++。
六、补充
首先是两个测试用例的情况，对于测试用例2，还算比较成功，它顺利地给出了答案。在程序的帮助下，包括我花费在输入上的时间，一个预计耗时半个小时的题目我只用了两分钟半就做出来了。
但是对于测试用例1，我很遗憾地告知，对于极端情况下这个程序确实是解不出来的，它运行的结果是这样的：
对应下面的情况：
可见这个程序是存在缺陷的，有时候需要"主动"去试错，就像数独那样。
是的，就像数独那样，我的意思是，可以像上次那样用 BFS 做，这也就是下一篇文章的内容了。我们下一篇文章见，顺便巩固一下 BFS。