4.5.1 范数与权重衰减
整节理论，详见书本。
4.5.2 高维线性回归
python
%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l
python
# 生成一些数据，为了使过拟合效果更明显，将维数增加到 200 并使用一个只包含 20 个样本的小训练集。
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05 # 设置真实参数
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)4.5.3 从零开始实现
- 初始化模型参数
python
def init_params():
w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
return [w, b]- 定义 L 2 L_2 L2 范数惩罚
python
def l2_penalty(w):
return torch.sum(w.pow(2)) / 2-
定义训练代码实现
损失函数直接通过 d2l 包导入，损失包含了惩罚项。
python
def train(lambd):
w, b = init_params()
net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
num_epochs, lr = 100, 0.003
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
# 增加了L2范数惩罚项，
# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
l.sum().backward()
d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())- 忽略正则化直接训练
python
train(lambd=0)w的L2范数是： 14.042692184448242
- 使用权重衰减
python
train(lambd=3)w的L2范数是： 0.35160931944847107
4.5.4 简洁实现
python
def train_concise(wd):
net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
for param in net.parameters():
param.data.normal_()
loss = nn.MSELoss(reduction='none')
num_epochs, lr = 100, 0.003
trainer = torch.optim.SGD([
{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd}, # PyTorch默认同时衰减权重和偏置，此处使用 weight_decay指定仅权重衰减
{"params":net[0].bias}], lr=lr)
animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
for epoch in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
trainer.zero_grad()
l = loss(net(X), y)
l.mean().backward()
trainer.step()
if (epoch + 1) % 5 == 0:
animator.add(epoch + 1,
(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
python
train_concise(0)w的L2范数： 12.836501121520996
python
train_concise(3)w的L2范数： 0.3978956639766693
练习
（1）在本节的估计问题中使用 λ \lambda λ 的值进行实验。绘制训练精度和测试精度有关 λ \lambda λ 的函数图，可以观察到什么？
随着 λ \lambda λ 的增大可以改善过拟合的现象，但是 λ \lambda λ 过大也会影响收敛。
python
for i in (0, 2, 8, 32, 128, 256):
train_concise(i)w的L2范数： 0.008308843709528446
（2）使用验证集来找最优值 λ \lambda λ。它真的是最优值吗？
不至于说是最优的，毕竟再怎么样验证集也和训练集分布有些许区别，只能说是比较接近最优值。
（3）如果我们使用 ∑ i ∣ w i ∣ \sum_i|w_i| ∑i∣wi∣ 作为我们选择的惩罚（ L 1 L_1 L1正则化），那么更新的公式会是什么样子？
如果使用 L 1 L_1 L1 正则化则最小化预测损失和惩罚项之和为：
L R ( w , b ) = 1 n ∑ i = 1 n 1 2 ( w T x ( i ) + b − y ( i ) ) 2 + λ ∑ i = 1 n ∣ w i ∣ LR(\boldsymbol{w},b)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{2}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}^{(i)}+b-y^{(i)})^2+\lambda\sum^n_{i=1}|w_i| LR(w,b)=n1i=1∑n21(wTx(i)+b−y(i))2+λi=1∑n∣wi∣
L 1 L_1 L1 范数有求导问题，在此，规定在不可导点 x = 0 x=0 x=0 的导数为 0，则：
w ← w − η ∂ L R ( w , b ) ∂ w = w − η ∣ B ∣ ∑ i ∈ B x ( i ) ( w T x ( i ) + b − y ( i ) ) − λ η sign ( w ) \boldsymbol{w}\gets\boldsymbol{w}-\eta\ \frac{\partial LR(\boldsymbol{w},b)}{\partial\boldsymbol{w}}=\boldsymbol{w}-\frac{\eta}{|B|}\sum_{i\in B}\boldsymbol{x}^{(i)}(\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{x}^{(i)}+b-y^{(i)})-\lambda\ \eta\ \text{sign}(\boldsymbol{w}) w←w−η ∂w∂LR(w,b)=w−∣B∣ηi∈B∑x(i)(wTx(i)+b−y(i))−λ η sign(w)
（4）我们知道 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 = w T w ||\boldsymbol{w}||^2=\boldsymbol{w}^T\boldsymbol{w} ∣∣w∣∣2=wTw。能找到类似的矩阵方程吗？（见 2.3.10 节中的弗罗贝尼乌斯范数）
弗罗贝尼乌斯范数时矩阵元素平方和的平方根：
∣ ∣ X ∣ ∣ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n x i j 2 ||\boldsymbol{X}||F=\sqrt{\sum^m{i=1}\sum^n_{j=1}x^2_{ij}} ∣∣X∣∣F=i=1∑mj=1∑nxij2
和L2范数的平方相似，弗罗贝尼乌斯范数的平方：
∣ ∣ X ∣ ∣ F 2 = X T X ||\boldsymbol{X}||_F^2=\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{X} ∣∣X∣∣F2=XTX
（5）回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型，还有其他方法来处理过拟合吗？
Dropout暂退法、多种模型组合等
（6）在贝叶斯统计中，我们使用先验和似然的乘积，通过公式 P ( w ∣ x ) ∝ P ( x ∣ w ) P ( w ) P(w|x)\propto P(x|w)P(w) P(w∣x)∝P(x∣w)P(w) 得到后验。如何得到正则化的 P ( w ) P(w) P(w)？
以下参见王木头大佬的视频《贝叶斯解释"L1和L2正则化"，本质上是最大后验估计。如何深入理解贝叶斯公式？》
使用最大后验估计，令：
w = arg max w P ( w ∣ x ) = arg max w P ( x ∣ w ) P ( x ) ⋅ P ( w ) = arg max w P ( x ∣ w ) ⋅ P ( w ) = arg max w log ( P ( x ∣ w ) ⋅ P ( w ) ) = arg max w ( log P ( x ∣ w ) + log P ( w ) ) \begin{align} w&=\mathop{\arg\max}\limits_{w}P(w|x)\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{w}\frac{P(x|w)}{P(x)}\cdot P(w)\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{w}P(x|w)\cdot P(w)\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{w}\log(P(x|w)\cdot P(w))\\ &=\mathop{\arg\max}\limits_{w}(\log P(x|w)+\log P(w))\\ \end{align} w=wargmaxP(w∣x)=wargmaxP(x)P(x∣w)⋅P(w)=wargmaxP(x∣w)⋅P(w)=wargmaxlog(P(x∣w)⋅P(w))=wargmax(logP(x∣w)+logP(w))
其中：
- ( 2 ) ⇒ ( 3 ) (2)\Rightarrow(3) (2)⇒(3) 是由于分母 P ( x ) P(x) P(x) 是与 w w w 无关的常数，故可以忽略。
- ( 3 ) ⇒ ( 4 ) (3)\Rightarrow(4) (3)⇒(4) 是由于习惯上添加 log \log log 运算。
P ( w ) P(w) P(w) 作为先验概率可以任取
- 如果取高斯分布 w ∼ N ( 0 , σ 2 ) w\sim\mathrm{N}(0,\sigma^2) w∼N(0,σ2)，则出现 L 2 L_2 L2 正则化：
log P ( w ) = log ∏ i 1 σ 2 π e − ( w i − 0 ) 2 2 σ 2 = − 1 2 σ 2 ∑ i w i 2 + C \begin{align} \log P(w)&=\log\prod_i\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(w_i-0)^2}{2\sigma^2}}\\ &=-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_iw_i^2+C \end{align} logP(w)=logi∏σ2π 1e−2σ2(wi−0)2=−2σ21i∑wi2+C
- 如果取拉普拉斯分布 w ∼ L a p l a c e ( 0 , b ) w\sim\mathrm{Laplace}(0,b) w∼Laplace(0,b)，则出现 L 1 L_1 L1 正则化：
log P ( w ) = log ∏ i 1 2 b e − ∣ w i − 0 ∣ b = − 1 b ∑ i ∣ w i ∣ + C \begin{align} \log P(w)&=\log\prod_i\frac{1}{2b}e^{-\frac{|w_i-0|}{b}}\\ &=-\frac{1}{b}\sum_i|w_i|+C \end{align} logP(w)=logi∏2b1e−b∣wi−0∣=−b1i∑∣wi∣+C
太奇妙了！