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前言
提示:我们生活在24小时不眠不休的社会里但是没有24小时不眠不休的身体有些东西必须舍弃 -- 马特·海格
这一关,我看要谈论的是递归问题,说到它就牵扯到很多问题了
- 与树和二叉树的相关问题
- 二分查找相关问题
- 快速排序和并轨排序问题
- 回溯问题
- 动态规划问题
这一切都是递归算法为基础的,当然这一关也是必须掌握的。
1. 递归的特征
递归,大部分都知道是怎么回事,但是就是写不出代码来,此所谓"你讲的都对,但是我就不会",递归的本质仍是方法的调用,不过是自己调用自己搞,系统给我们维护了不同调用之间的保存和返回的功能。
比如这个故事:
从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事,故事讲的是从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚,老和尚在给小和尚讲故事······
如果看递归的结构,就像下面的这个样子,前面的一层取一摸一样的调用下一层,不同的只是输入和输出参数,这个递归过程是写递归的一个核心问题。
当然这个过程不能一致持续下去,一定要在满足某个要求之后返回结果,否则的话就会抛出我们常见的"StackOverFlow"的问题。
所有的递归有两个必要的特征:
- 执行时范围不断缩小,这样才能触底反弹
- 种植判断在调用递归的前面
理解这个,是我们掌握递归的辅助工具,我们一一分析:
- 执行范围不断缩小
递归在数学里的概念是递推,设计递归就是努力寻找数学里的递推公式。经典的问题就是求阶乘,好多同学也是通过这个认识递归的吧,那时我们第一次见面。 还记得递推公式吗? f(n) = f(n-1) * n,很显然一定是触底之后才能反弹的,再比如就是典型的斐波那契数列递推公式了,f(n) = f(n -1) + f(n - 2);当然n也是在不断的缩小。这条规律可以辅助我们检查自己写的递推公式对不对。
再比如后面我们会遇到青蛙跳台阶问题,他的递推公式f(n) = f(n -1) + f(n - 2);你想奇怪呀?怎么会一样呢,没错,他就一样🤣。
范围缩小不一定只体现在n的变化上,在树的递归中,我们会大量的接触到类似这样的结构:
java
int leftDepth = getDepth(node.left); // 左
int rightDepth = getDepth(node.right); // 右
每一次递归,都是在将范围缩小到当前节点的左子树或者右子树,范围也是在不断的缩小的。
- 终止条件判断在递归调用的前面
递归之后可能还有终止条件,但是在执行递归之前,一定会有一个终止条件。这个条件可以帮助我么你检查自己写的算法对不对。
为什么呢?我们看个例子🌰:
很显然recursion()会不断的调用自己,这样一直递归下去,就无法退出来,知道抛出堆栈溢出异常(StackOverFlowError)。
java
public void recursion(参数0) {
recursion(参数1);
if(终止条件) {
return ;
}
}
所以:任何递归方法在执行之前,一定会有一个终止条件
实际上一个方法里的递归调用可能不止一次,还会加一些逻辑处理,比如下面这样,但是终止的条件仍然在前面。
java
public void recursion(参数0) {
if(终止条件) {
return ;
}
// 逻辑一
recursion(参数1);
// 逻辑二
recursion(参数2);
// ......
recursion(参数n);
可能还有其他一些逻辑运算
}
这一特点启示我们,可以先考虑在什么条件下终止,而相关代码要写在靠前的位置,之后再考虑递归的逻辑,这样可以很好的降低编写代码的难度。
2. 如何写出好的递归
明白了上面的道理,那么你就右疑问了,怎么写出好的递归方法呢?
- 从小到大递推
递归该怎么写?递归源于数学里的归纳法,这个在高中数学里面有的。大致呢?你先猜出存在的递归关系,f(n) = pf(n-1),然后你只要证明当n增加1时,f(n + 1) = pf(n)也是成立的就说明你的猜想没有问题。不过在算法里面,我们写递归一般不需要证明,我么你先挑选几个较小的值验证一下,然后再选择几个较大的值验证一下就可以了。
很显然大部分从n = 1,2,3或者只有一两个元素开始写最简单。典型的就是斐波那契数列为 1 1 2 3 5 8 ...,从 n = 3开始都满足f(n) = f(n - 1) + f(n -2),然后我们再选择某个比较大的n来验证就可以了。
所以-这就是我们要找的递推公式:
java
f(n) = f(n - 1) + f(n -2)
对于阶乘来说也一样
java
n == 1 f(1) = 1
n == 2 f(2) = 2 * f(1) = 2
n == 3 f(3) = 3 * f(2) = 6
n == 4 f(4) = 4 * f(3) = 24
...
由此我们可以推测递推公式:f(n) = n * f(n - 1)。
- 分情况讨论,明确结束条件
我们说过递归里面的终止条件一定时靠前的,而大部分递归的终止条件不是n最小开始出低反弹时有几种情况:
对于阶乘,当n == 1 时你就知道f(1) = 1,也就是下面这个样子:
java
// 算 n 的阶乘(假设n != 0)
int f(n) {
if(n == 1){
return 1;
}
}
有时候要考虑的终止条件不知一个,例如斐波那契数列的递推公式f(n) = f(n -1) + f(n - 2)里面,如果n = 2 即 f(2) = f(1) + f(0),很显然这里面没有f(0),所以我们也要将 n == 2 也给限制住,所以结果就变成如下这样:
java
int f(n) {
if(n <= 2){
return 1;
}
}
有些情况不一定触底才开始反弹,而是达到某种要求就要停止,这样需要考虑的情况会比较多。解决这类问题最直接的方法就是枚举,可以将所有情况列举出来,然后再一一去优化。
只有列举清楚了才可能将终止条件写完整,所以在面试的情况下,不要上来就写,而是和面试官讨论你的设计方案,不要害怕和面试官讨论,假如有很明显的缺陷他也甚至提醒你一下,所以这也是一个借力打力的一个技巧。
确定终止条件队递归至关重要,后面很多题目会话很大的篇幅来分析怎么判断终止条件,一旦判断完毕,递推关系就是水到渠成了。
- 组合成完整的方法
将递推公式和终止条件组合起来,变成完整的方法。
递归经常能看出很多骚操作代码,不要迷信呀,分情况逐个先写出来,之后再看看能否精简优化,不要一个步子迈得太大,容易出事故。我们还是那上面的例子举例,完善我们的代码:
java
// 算 n 的阶乘(假设n != 0)
int factorial(n) {
if(n == 1){
return 1;
}
rerurn n * factorial(n - 1);
}
java
// 斐波那契数列
int factorial(n){
// 1. 先写递归结束条件
if(n <= 2){
return 1;
}
// 2. 接着写等价关系式
return factorial(n - 1) + factorial(n - 2);
}
每次写递归,都要多方面考虑,后面我们写的时候要注意。
入参和出参??埋坑
3. 怎么看懂递归的代码
对很多人来说,递归最大的问题在于给了答案,看不懂代码,而递归的代码也贼难调试,其实一个转换一下思路就很好解决了。
我们先思考一个问题,上面的阶乘,如果n == 4 ,调用了几次上面的f()方法呢?很显然是4次。这个就是递归的一个特征【不撞南墙不回头】,n == 4,3,2是会继续递归,知道有1是满足条件退出,然后就return 1,不再递归了,而且是不断返回上一层并计算。
接着再看返回时每层参数的问题,递归本质上仍然是方法调用,所以可以按照方法调用的方式来检验写的对不对。
下面是一个完整的思路,你会发现递归不归是一个方法被调用了好几次,而每次n都在减小,这就是递归的过程,触底之后,也就是满足终止条件后就开始返回了。
递归的时候当前层的n被系统给保存,而返回的时候会自动设置会来,一次每层n是不一样的,所以就是重新拿到当前这一层n的值完成计算即可。
f(4)阶乘的过程如下:
总结
提示:递归思路,递归的图解,怎么写好递归