Java手写树状数组（BIT）和树状数组（BIT）应用拓展案例

Java手写树状数组（BIT）和树状数组（BIT）应用拓展案例

1. 算法思维导图

以下是使用mermaid代码表示的树状数组（BIT）的实现原理：
树状数组 初始化 更新操作 查询操作 更新子节点 查询子节点

2. 该算法的手写必要性及市场调查

树状数组（BIT）是一种高效的数据结构，用于解决一维区间和的查询和更新问题。它在很多算法中都有广泛的应用，如逆序对的计算、求解逆序数、求解最小逆序对等。手写该算法有以下必要性和市场调查：

• 必要性：手写该算法可以更深入地理解其原理和实现细节，有助于提高编程能力和解决实际问题的能力。
• 市场调查：树状数组（BIT）在算法竞赛、数据处理、图像处理等领域都有广泛的应用，掌握该算法的手写实现可以提高在相关领域的竞争力。

3. 该算法的实现详细介绍和步骤

3.1 初始化

树状数组的初始化需要一个数组和数组的长度作为参数。初始化的步骤如下：

1. 创建一个长度为n+1的数组bit，用于存储树状数组的节点。
2. 将bit数组的所有元素初始化为0。

class BinaryIndexedTree {
    int[] bit;

    BinaryIndexedTree(int n) {
        bit = new int[n+1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            bit[i] = 0;
        }
    }
}

3.2 更新操作

树状数组的更新操作用于将指定位置上的元素加上一个值。更新操作的步骤如下：

1. 从更新位置开始，不断向上更新父节点，直到达到树状数组的最大长度。
2. 更新父节点的值为原值加上要更新的值。

class BinaryIndexedTree {
    // ...

    void update(int index, int value) {
        while (index < bit.length) {
            bit[index] += value;
            index += index & -index;
        }
    }
}

3.3 查询操作

树状数组的查询操作用于计算指定位置之前的所有元素的和。查询操作的步骤如下：

1. 从查询位置开始，不断向上查询父节点，直到达到树状数组的最小长度。
2. 将查询结果累加到一个变量中，直到达到查询位置。

class BinaryIndexedTree {
    // ...

    int query(int index) {
        int sum = 0;
        while (index > 0) {
            sum += bit[index];
            index -= index & -index;
        }
        return sum;
    }
}

4. 该算法的手写实现总结及思维拓展

手写树状数组（BIT）的实现过程中，我们深入理解了其原理和实现细节。通过手动编写代码，我们加深了对树状数组的理解，并且可以根据实际需求进行定制化的修改和拓展。此外，手写实现也有助于提高编程能力和解决实际问题的能力。

思维拓展：除了基本的查询和更新操作，树状数组还可以进行一些其他的高级操作，如区间更新、区间查询等。可以根据实际需求进行相应的拓展和改进。

5. 该算法的完整代码

class BinaryIndexedTree {
    int[] bit;

    BinaryIndexedTree(int n) {
        bit = new int[n+1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            bit[i] = 0;
        }
    }

    void update(int index, int value) {
        while (index < bit.length) {
            bit[index] += value;
            index += index & -index;
        }
    }

    int query(int index) {
        int sum = 0;
        while (index > 0) {
            sum += bit[index];
            index -= index & -index;
        }
        return sum;
    }
}

6. 该算法的应用前景调研

树状数组（BIT）作为一种高效的数据结构，有着广泛的应用前景。以下是该算法在不同领域的应用调研：

• 算法竞赛：树状数组常用于解决一维区间和的查询和更新问题，是算法竞赛中常用的数据结构之一。
• 数据处理：树状数组可以用于求解逆序对、求解最小逆序对等问题，对于大规模数据的处理具有较高的效率。
• 图像处理：树状数组可以用于图像处理中的像素统计、图像压缩等操作，提高图像处理的速度和效果。

7. 该算法的拓展应用案例

以下是树状数组（BIT）的三个拓展应用案例的完整代码和步骤描述：

7.1 求解逆序数

class Solution {
    public int reversePairs(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] copy = new int[n];
        System.arraycopy(nums, 0, copy, 0, n);
        Arrays.sort(copy);
        BinaryIndexedTree bit = new BinaryIndexedTree(n);
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            count += bit.query(bit.getIndex(copy, 2L * nums[i] + 1));
            bit.update(bit.getIndex(copy, nums[i]), 1);
        }
        return count;
    }
}

步骤描述：

1. 创建一个长度为n的辅助数组copy，并将原数组nums复制到copy中。
2. 对copy进行排序，得到有序的副本。
3. 创建一个长度为n的树状数组bit。
4. 初始化逆序数的计数器count为0。
5. 遍历原数组nums，对于每个元素nums[i]，在树状数组bit中查询大于2 * nums[i]的元素个数，并累加到count中。
6. 在树状数组bit中更新元素nums[i]的计数。
7. 返回逆序数的计数器count。

7.2 区间和的查询

class NumArray {
    int[] nums;
    int[] bit;

    public NumArray(int[] nums) {
        this.nums = nums;
        this.bit = new int[nums.length + 1];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            update(i, nums[i]);
        }
    }

    public void update(int index, int val) {
        int diff = val - nums[index];
        nums[index] = val;
        index++;
        while (index <= nums.length) {
            bit[index] += diff;
            index += index & -index;
        }
    }

    public int sumRange(int left, int right) {
        return query(right + 1) - query(left);
    }

    private int query(int index) {
        int sum = 0;
        while (index > 0) {
            sum += bit[index];
            index -= index & -index;
        }
        return sum;
    }
}

步骤描述：

1. 创建一个长度为n的数组nums，并将输入的nums复制到该数组中。
2. 创建一个长度为n+1的树状数组bit，并初始化为0。
3. 遍历数组nums，对于每个元素，调用update方法更新树状数组bit。
4. 在update方法中，计算差值diff为新值与原值的差，更新nums[index]为新值，并将差值diff累加到bit[index]中，同时更新index为下一个需要更新的位置。
5. 在sumRange方法中，调用query方法查询右边界right+1的前缀和，减去查询左边界left的前缀和，即可得到[left, right]的区间和。
6. 在query方法中，初始化求和变量sum为0，然后从index开始，每次将bit[index]累加到sum中，然后将index减去最低位的1，直到index为0为止，最后返回sum。

7.3 区间更新和查询

class NumArray {
    int[] nums;
    int[] bit1;
    int[] bit2;

    public NumArray(int[] nums) {
        this.nums = nums;
        this.bit1 = new int[nums.length + 1];
        this.bit2 = new int[nums.length + 1];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            update(i, i, nums[i]);
        }
    }

    public void update(int left, int right, int val) {
        updateBIT(bit1, left, val);
        updateBIT(bit1, right + 1, -val);
        updateBIT(bit2, left, val * (left - 1));
        updateBIT(bit2, right + 1, -val * right);
    }

    public int sumRange(int left, int right) {
        return sumBIT(bit1, right) * right - sumBIT(bit2, right) - sumBIT(bit1, left - 1) * (left - 1) + sumBIT(bit2, left - 1);
    }

    private void updateBIT(int[] bit, int index, int val) {
        index++;
        while (index < bit.length) {
            bit[index] += val;
            index += index & -index;
        }
    }

    private int sumBIT(int[] bit, int index) {
        int sum = 0;
        index++;
        while (index > 0) {
            sum += bit[index];
            index -= index & -index;
        }
        return sum;
    }
}

步骤描述：

1. 创建一个长度为n的数组nums，并将输入的nums复制到该数组中。
2. 创建两个长度为n+1的树状数组bit1和bit2，并初始化为0。
3. 遍历数组nums，对于每个元素，调用update方法更新树状数组bit1和bit2。
4. 在update方法中，先调用updateBIT方法更新bit1，将val累加到bit1[left]，将-val累加到bit1[right+1]，然后调用updateBIT方法更新bit2，将val * (left-1)累加到bit2[left]，将-val * right累加到bit2[right+1]。
5. 在sumRange方法中，调用sumBIT方法计算right的前缀和乘以right，减去sumBIT方法计算right的前缀和，再减去sumBIT方法计算left-1的前缀和乘以left-1，最后加上sumBIT方法计算left-1的前缀和，即可得到[left, right]的区间和。
6. 在updateBIT方法中，将index加1，然后从index开始，每次将val累加到bit[index]中，然后将index加上最低位的1，直到index小于bit的长度为止。
7. 在sumBIT方法中，将index加1，然后从index开始，每次将bit[index]累加到sum中，然后将index减去最低位的1，直到index为0为止，最后返回sum。

以上是树状数组的拓展应用案例的完整代码和步骤描述。这些案例展示了树状数组在不同问题中的灵活应用，可以根据实际需求进行相应的拓展和改进。