题目描述
这是 LeetCode 上的 310. 最小高度树 ，难度为 中等。
Tag : 「树形 DP」、「DFS」、「动态规划」
树是一个无向图，其中任何两个顶点只通过一条路径连接。 换句话说，一个任何没有简单环路的连通图都是一棵树。
给你一棵包含 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 个节点的树，标记为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n − 1 n - 1 </math>n−1 。给定数字 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 和一个有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n − 1 n - 1 </math>n−1 条无向边的 edges 列表（每一个边都是一对标签），其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> e d g e s [ i ] = [ a i , b i ] edges[i] = [a_i, b_i] </math>edges[i]=[ai,bi] 表示树中节点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a i a_i </math>ai 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> b i b_i </math>bi 之间存在一条无向边。
可选择树中任何一个节点作为根。当选择节点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x x </math>x 作为根节点时，设结果树的高度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> h h </math>h 。在所有可能的树中，具有最小高度的树（即，min(h)）被称为 最小高度树 。
请你找到所有的 最小高度树 并按 任意顺序 返回它们的根节点标签列表。
树的 高度 是指根节点和叶子节点之间最长向下路径上边的数量。
示例 1： 
lua
输入：n = 4, edges = [[1,0],[1,2],[1,3]]
输出：[1]
解释：如图所示，当根是标签为 1 的节点时，树的高度是 1 ，这是唯一的最小高度树。示例 2： 
css
输入：n = 6, edges = [[3,0],[3,1],[3,2],[3,4],[5,4]]
输出：[3,4]提示：
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 1 < = n < = 2 × 1 0 4 1 <= n <= 2 \times 10^4 </math>1<=n<=2×104
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> e d g e s . l e n g t h = n − 1 edges.length = n - 1 </math>edges.length=n−1
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 < = a i , b i < n 0 <= ai, bi < n </math>0<=ai,bi<n
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> a i ! = b i ai != bi </math>ai!=bi
- 所有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( a i , b i ) (ai, bi) </math>(ai,bi) 互不相同
- 给定的输入保证是一棵树，并且不会有重复的边
树形 DP
这是一道树形 DP 模板题。
当确定以某个点为根节点时，整棵树的形态唯一固定，不妨以编号为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 的节点作为根节点进行分析。
假设当前处理到的节点为 u，其是从父节点 fa 遍历而来，且将要遍历的子节点为 j。
即树的形态如图所示（一些可能有的出边用虚线表示）：
树形 DP 问题通常将问题根据「方向」进行划分。
对于当前处理到的节点 u 而言，我们根据是否考虑「从 fa 到 u 的出边」将其分为「往上」和「往下」两个方向。
假设我们可以通过 DFS 预处理出 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f f </math>f 数组和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g g </math>g 数组：
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ u ] f[u] </math>f[u] 代表在以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 号点为根节点的树中，以
u节点为子树根节点时，往下的最大高度 - <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g [ u ] g[u] </math>g[u] 代表在以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0 号点为根节点的树中，以
u节点为子节点时，往上的最大高度
那么最终以 u 为根节点的最大高度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> max ( f [ u ] , g [ u ] ) \max(f[u], g[u]) </math>max(f[u],g[u])。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ u ] f[u] </math>f[u] 只需要简单的 DFS 即可处理出来。对于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g [ u ] g[u] </math>g[u] 而言，其同样包含「往上」和「往下」两部分：
- 对于经过
fa后接着往上的部分有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g [ f a ] + 1 g[fa] + 1 </math>g[fa]+1 - 对于经过
fa后转而往下的部分，我们需要考虑「fa节点往下的最大值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ f a ] f[fa] </math>f[fa]」是否由u节点参与而来进行分情况讨论：- 如果 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ f a ] f[fa] </math>f[fa] 本身不由
u参与，那么 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g [ u ] g[u] </math>g[u] 应当是fa节点往下的最大值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> + 1 +1 </math>+1 而来（ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> + 1 +1 </math>+1 代表加上fa到u的边） - 如果本身
fa往下的最大值由u节点参与，此时应当使用fa往下的次大值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> + 1 +1 </math>+1 来更新 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g [ u ] g[u] </math>g[u]
- 如果 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f [ f a ] f[fa] </math>f[fa] 本身不由
因此我们需要对 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f f </math>f 数组进行拆分，拆分为记录「最大值的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f 1 f1 </math>f1 数组」和记录「次大值的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f 2 f2 </math>f2 数组（注意这里的次大值是非严格的次大值）」，同时使用 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p p </math>p 数组记录下取得 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f 1 [ u ] f1[u] </math>f1[u] 时 u 的子节点 j 为何值。
实现上，在处理「往上」方向的 DFS 时，为避免对 fa 节点为空的处理，我们可以将「用 fa 来更新 u」调整为「用 u 来更新 j」。
代码：
Java
class Solution {
int N = 20010, M = N * 2, idx = 0;
int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
int[] f1 = new int[N], f2 = new int[N], g = new int[N], p = new int[N];
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
public List<Integer> findMinHeightTrees(int n, int[][] edges) {
Arrays.fill(he, -1);
for (int[] e : edges) {
int a = e[0], b = e[1];
add(a, b); add(b, a);
}
dfs1(0, -1);
dfs2(0, -1);
List<Integer> ans = new ArrayList<>();
int min = n;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int cur = Math.max(f1[i], g[i]);
if (cur < min) {
min = cur;
ans.clear();
ans.add(i);
} else if (cur == min) {
ans.add(i);
}
}
return ans;
}
int dfs1(int u, int fa) {
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == fa) continue;
int sub = dfs1(j, u) + 1;
if (sub > f1[u]) {
f2[u] = f1[u];
f1[u] = sub;
p[u] = j;
} else if (sub > f2[u]) {
f2[u] = sub;
}
}
return f1[u];
}
void dfs2(int u, int fa) {
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == fa) continue;
if (p[u] != j) g[j] = Math.max(g[j], f1[u] + 1);
else g[j] = Math.max(g[j], f2[u] + 1);
g[j] = Math.max(g[j], g[u] + 1);
dfs2(j, u);
}
}
}- 时间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n)
- 空间复杂度： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n)
补充
可能会初次接触「树形 DP」的同学不太理解，这里再补充说明一下。
归根结底，以 u 为根节点的最大深度，必然是下面三种情况之一（往下、往上 和 往上再往下）。
其中对 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f f </math>f 数组的拆分（变为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f 1 f1 </math>f1 和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f 2 f2 </math>f2）以及记录取得 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f 1 f1 </math>f1 对应的子节点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p [ i ] p[i] </math>p[i]，目的都是为了能够正确统计「往上再往下」的情况（统计该情况时，不能考虑从 fa 经过 u 的路径，因此需要记录一个非严格的次大值 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f 2 f2 </math>f2）。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.310 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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