介绍协向量时，曾说过它们有点像 行向量， 行向量确实以某种方式代表了协向量，
这里说明一下：
协向量是不变的； 协向量组件是可变的。
协向量不依赖坐标系，协向量的组件取决于坐标系。
当我们说协向量具有组件时，我们的意思是？
要记住： 协向量是 一个 从向量到实数的函数，协向量并不存在向量空间V中，协向量只是将V中的向量作为输入，所以我们不能使用V中的基向量来构造协向量，
所以应该怎么做才对？
从V中取两基向量，并引入两个协向量（从向量到实数的函数），
并定义它们的计算结果，
如图：
还记得那个 kronecker Delta 吗。
这些协向量
实际上看起来像一堆线吗？ 为找到答案，把它们作用到某个向量v上，
仔细 看，这些 所做的是：它们在投射矢量分量，是把？
当把
应用到v中，我们将得到v基向量e1、e2上的组件，
所以，
看起来就像是：可以帮助我们获得向量v的第一个分量，其中e1就是指向这个分量的方向。
看起来就像是：可以帮助我们获得向量v的第2个分量，其中e2就是指向这个分量的方向。
这就是协向量的样子（视觉上）
现在我们对向量v应用一些通用的协向量α，α可以是任一协向量
（注：α1=α*e1=一个数，α2也是一个数，上面表示 任意一个协向量α = 数1* + 数2*）
所以上面我们所作的是：编写了一个通用的协向量α(α可以是任意协向量) 作为协向量的线性组合，
所以这意味着协向量 是 构成了所有协向量集合的基底，
也因为这个原因，被称为 "对偶基" ， 因为它们是对偶空间V* 上的 基底。
以上我们就用了代数的方式写出了 一个协向量的表达，
现考虑视觉上，
假设有一个协向量α，一簇在e1、e2为基底的向量空间的线， 可通过把α应用到基底e1、e2上来获得α的组件，只需计算穿透的行数，
我们可以把α写成、的线性组合 的方式来表示α。
所以过程就是：从基底向量开始，使用这个定义 来获得对偶协向量的基底，然后使用 这些 我们就可以将任意的协向量表示为对偶基的线性组合。（这是对上面整个过程的描述）
但记住，、并不是 唯一的基底，（正如向量空间那般，基底可以变，基底个数不变那般）
因此，我们可以用别的向量开始，如：
并使用以下规则，我们可以定义另一对对偶基，
（规则--就是规定）
同样地，可将任意协向量α表示为
、 
的线性组合。
例子：
已知一个协向量α在 旧(对偶)基、下的线性表示， 同时有一对新(对偶)基 、 ，想把协向量α利用新基 、 做线性表示，
将α应用到新基底，
以上是向量的转换；
以下是基底的转换；
仔细观察，协向量中：基底的转换： 旧基到新基---用B，新基到旧基===用F；
这与向量的完全相反！
协向量中：某个协向量的转换：利用旧基到利用新基---用F，利用新基到利用旧基--用B
这与向量的完全相反！
这就是为什么不能只翻转列向量来获得行向量，--------这在正交基上有效，
你看上图， 对于利用正交基， 协向量你把它从列向量转置成行向量，2，1仍是2，1；
但是，一旦不是正交基了， 【1；0】变为 【5，-3/4】明显不能靠转置来获得。
所以，向量分量是通过计算构建向量时使用了多少基向量来测量的，
但是协向量分量是通过计算 基向量 穿过的协向量线的数量来测量的。