再看最著名的 NP 问题之 TSP 旅行商问题

NP 问题是我一直以来比较关注的数学问题，前段时间出了个新闻说 NP 问题被证实了 ------ GPT-4成功得出P≠NP，陶哲轩预言成真！97轮「苏格拉底式推理」对话破解世界数学难题 ？实际上是博得一笑，并不严谨。

本篇再看 NP 问题之经典的 TSP 旅行商问题，对于一些 TSP 算法作出解答。

冲冲冲！

定义

P 与 NP 问题可以用一个形象的比喻来解释：想象你是一名数学宝藏猎人，而你的目标是找到一个宝藏箱里的正确密码。

1. P 问题（多项式时间可解问题）：这就像你有一串数字组成的密码锁，但你有一个神奇的解锁工具，只要用它，你可以在有限时间内尝试所有可能的组合，并且确保找到正确的密码。
2. NP 问题（多项式时间可验证问题）：这就像你找到了一个宝藏箱，装有一个巨大的数字锁，但你没有解锁工具。你可以尝试不同的密码组合，但你无法确定哪一个是正确的。然而，一旦你猜到了一个密码，你可以轻松地用它来验证是否正确。如果是正确的，你就找到了宝藏。

P 问题是容易解决的，就像有一个快速解锁工具，可以在多项式时间内找到答案。

而NP问题则更像是容易验证，但难以找到解答的问题。

一个重要的问题是，是否 P 问题和 NP 问题是等价的，也就是说，是否"所有可以轻松验证的问题也可以轻松解决"？

这就是 P 与 NP 问题的核心。

它们之间的关系是什么，是否存在一种方法可以将 NP 问题转化为 P 问题，使得我们可以更有效地解决它们？这个问题至今仍然没有被解决，是计算机科学中一个重要且未解之谜。

多项式时间

什么是多项式时间？

多项式时间是计算机科学中一个重要的概念，用于描述算法的运行时间与输入规模之间的关系。

具体来说，一个算法被称为在多项式时间内解决问题，意味着算法的运行时间是一个多项式函数，其阶数与输入规模成正比。

多项式函数是一种数学函数，由一个或多个项组成，每个项由一个常数系数和一个非负整数次幂的变量组成。多项式函数的一般形式可以表示为：

其中，an​,an−1​,...,a2​,a1​,a0​是常数系数，x 是变量，n 是多项式的次数，通常为非负整数。

多项式函数可以包括零次、一次、二次、三次等各种次数的项。

以下是一些示例：

1. 零次多项式：P(x)=a0
2. 一次多项式：P(x)=a1*x+a0
3. 二次多项式（也称为二次方程）：P(x)=a2* x^2^+a1*x+a0

什么函数不是多项式函数：明显的：指数函数不是多项式函数！

指数函数的一般形式如下：

f(x)=a*e^bx^

其中，a 和 b 是常数，e 是自然对数的底数（约等于2.71828）。在指数函数中，x 出现在指数部分，即 e^bx^。

这就是与多项式函数不同之处，在指数函数中，x 出现在指数部分，它的幂是一个常数倍数。这导致指数函数的增长非常快，与 x 的增加呈指数级增长。

由于指数函数的快速增长，它们不能用多项式函数来表示，因此指数函数不是多项式函数。

多项式函数的增长相对较慢，而指数函数的增长非常迅速，这是它们之间的关键区别。

P 等于 NP 吗

P 问题 是指可以在多项式时间内解决的问题，也就是说，存在一种有效的算法，可以在 多项式时间内 找到问题的解。这些问题被认为 是相对容易解决的。

NP 问题 是指可以在多项式时间内验证解答的问题，也就是说，如果你提供了一个解答，可以用一个有效的算法在多项式时间内验证它是否正确。这些问题 可能很难找到解答，但一旦你有了潜在的解答，你可以轻松地验证它是否正确。

目前尚未证明 P 问题和 NP 问题之间是否存在一种等价关系。也就是说，尚未证明是否所有可以在多项式时间内验证的问题都可以在多项式时间内解决，或者是否存在一种方法可以将 NP 问题有效地转化为 P 问题。

P与NP问题仍然是一个悬而未决的问题。

经典 NP 问题

NP 问题（非确定性多项式时间问题）是一类计算问题，虽然我们不能确定是否可以在多项式时间内找到这些问题的解答，但我们可以轻松地验证一个潜在解答是否正确。以下是一些经典的 NP 问题的示例：

1. 旅行推销员问题（Traveling Salesman Problem，TSP） ：给定一组城市和它们之间的距离，找到一条最短路径，使得每个城市都恰好被访问一次，然后返回起始城市。

2. 子集和问题（Subset Sum Problem） ：给定一组整数和一个目标整数，判断是否可以从这组整数中选择某些数，使它们的和等于目标整数。

3. 背包问题（Knapsack Problem） ：给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，以及一个背包的容量限制，找到一种方式来放入物品，使得它们的总价值最大化，但总重量不超过背包的容量。

4. 图的着色问题（Graph Coloring Problem） ：给定一个图，找到一种方法为每个节点分配一个颜色，使得相邻节点具有不同的颜色。

5. 哈密尔顿回路问题（Hamiltonian Circuit Problem） ：给定一个有向或无向图，找到一个闭合路径，该路径经过每个节点恰好一次。

6. 最大独立集问题（Maximum Independent Set Problem） ：给定一个图，找到一个节点的子集，其中没有两个节点相邻，使得这个子集的大小最大。

7. 最长简单路径问题（Longest Simple Path Problem） ：给定一个有向图，找到一个最长的路径，该路径不经过任何节点两次。

8. 车间调度问题（Job Scheduling Problem） ：给定一组作业和它们的执行时间，以及一组机器，找到一种方式将作业分配给机器，使得完成所有作业的时间最短。

TSP

本篇着重看一下 TSP 问题！

旅行推销员问题是一个经典的组合优化问题，通常描述为以下情景：

假设有一个推销员，他需要访问一组不同的城市，然后返回出发城市，使得他在旅途中经过每个城市恰好一次，同时总路程最短。问题的目标是找到一条最短路径，即旅行的最优路线。

TSP 的形式化定义如下：

• 给定一组城市，这些城市之间的距离或成本。
• 推销员从某个城市出发，然后需要返回到出发城市。
• 推销员必须经过每个城市一次且仅一次。
• 目标是找到一条最短路径，即总行程距离最小。

TSP 是一个组合优化问题，其难度随着城市数量的增加而指数级增加。 当城市数量较少时，可以使用穷举法（枚举所有可能的路径）来找到最优解，但随着城市数量增加，穷举法的复杂度急剧上升，变得不切实际。

由于 TSP 的重要性和难解性，它在实际应用中具有广泛的应用，例如物流规划、电路设计、制造工艺优化等领域。

虽然没有已知的多项式时间算法可以解决TSP的一般形式，但有许多启发式算法和近似算法可用于找到 接近最优解 的解决方案。

贪婪算法

其中一种最简单、但也最常用的近似算法是贪婪法。

它的思想很简单：从一个起点出发，每次选择距离当前位置最近的未访问城市，直到所有城市都被访问。

这样，推销员会在每一步都朝着最近的城市前进，希望最终找到最短路径。

虽然贪婪法不能保证找到全局最优解，但它的运行速度很快，特别是对于小型问题。对于大型问题，它可能会找到一个相对较好的解决方案，但不能保证最佳性。

JS 实现：

function tspGreedy(graph) {
  const numCities = graph.length;
  const visited = new Array(numCities).fill(false);
  
  // 默认从第一个城市开始
  let currentCity = 0;
  visited[currentCity] = true;
  
  // 存储访问路径和总距离
  const path = [currentCity];
  let totalDistance = 0;

  // 逐步选择下一个城市
  for (let i = 1; i < numCities; i++) {
    let nearestCity = null;
    let shortestDistance = Infinity;

    for (let j = 0; j < numCities; j++) {
      if (!visited[j] && graph[currentCity][j] < shortestDistance) {
        nearestCity = j;
        shortestDistance = graph[currentCity][j];
      }
    }

    if (nearestCity !== null) {
      path.push(nearestCity);
      totalDistance += shortestDistance;
      visited[nearestCity] = true;
      currentCity = nearestCity;
    }
  }

  // 回到起始城市
  path.push(path[0]);
  totalDistance += graph[currentCity][path[0]];

  return { path, totalDistance };
}

// 示例图的邻接矩阵，表示城市之间的距离
const graph = [
  [0, 29, 20, 21],
  [29, 0, 15, 17],
  [20, 15, 0, 28],
  [21, 17, 28, 0],
];

const result = tspGreedy(graph);
console.log("最短路径：", result.path);
console.log("总距离：", result.totalDistance);

在上面的示例中，我们使用了一个邻接矩阵来表示城市之间的距离。其中graph[i][j]表示从城市i到城市j的距离。这个邻接矩阵是根据问题的具体情况创建的，通常是根据实际城市之间的距离或成本数据来构建的。

tspGreedy函数接受这个邻接矩阵作为输入，并返回一条近似最短路径和总距离。算法从第一个城市开始，然后通过贪婪选择最近的未访问城市，直到所有城市都被访问。

动态规划

动态规划是解决 TSP 问题的一种高效方法，它可以用来找到全局最优解。以下是一个用JavaScript实现TSP动态规划算法的简单示例：

function tspDynamicProgramming(graph) {
  const numCities = graph.length;
  const allCities = (1 << numCities) - 1; // 用位掩码表示所有城市的集合

  // 创建一个二维数组dp，其中dp[mask][i]表示从城市i出发，经过掩码mask包含的城市，最短路径的长度
  const dp = new Array(1 << numCities).fill().map(() => new Array(numCities).fill(Infinity));

  // 初始化dp数组，从起始城市出发到自己的距离为0
  dp[1][0] = 0;

  // 开始动态规划
  for (let mask = 1; mask < (1 << numCities); mask += 2) { // 掩码中包含起始城市
    for (let currentCity = 1; currentCity < numCities; currentCity++) {
      if (mask & (1 << currentCity)) {
        for (let prevCity = 0; prevCity < numCities; prevCity++) {
          if (prevCity !== currentCity && (mask & (1 << prevCity))) {
            dp[mask][currentCity] = Math.min(
              dp[mask][currentCity],
              dp[mask ^ (1 << currentCity)][prevCity] + graph[prevCity][currentCity]
            );
          }
        }
      }
    }
  }

  // 计算最终的最短路径
  let minDistance = Infinity;
  for (let endCity = 1; endCity < numCities; endCity++) {
    minDistance = Math.min(minDistance, dp[allCities][endCity] + graph[endCity][0]);
  }

  return minDistance;
}

// 示例图的邻接矩阵，表示城市之间的距离
const graph = [
  [0, 29, 20, 21],
  [29, 0, 15, 17],
  [20, 15, 0, 28],
  [21, 17, 28, 0],
];

const minDistance = tspDynamicProgramming(graph);
console.log("最短路径距离：", minDistance);

算法使用一个二维数组dp来存储最短路径长度，然后使用状态压缩的技巧，通过位运算来表示哪些城市已经被访问。

动态规划的核心思想是根据之前计算的结果来计算当前的最短路径长度，逐步构建出整个dp数组。最后通过查找dp数组中的最短路径来找到全局最优解。

动态规划方法的时间复杂度随着城市数量的增加呈指数级增长，所以并不高效。

回溯法

回溯法是一种解决组合优化问题的方法，它通过穷举所有可能的路径，然后选择最短的路径。以下是一个用JavaScript实现 TSP 回溯法算法的简单示例：

function tspBacktracking(graph) {
  const numCities = graph.length;
  const visited = new Array(numCities).fill(false);
  
  let minDistance = Infinity;
  let bestPath = [];

  function backtrack(currentPath, currentDistance, currentCity) {
    if (currentPath.length === numCities) {
      // 如果已经访问了所有城市，考虑回到起始城市的距离
      currentDistance += graph[currentCity][0];
      if (currentDistance < minDistance) {
        minDistance = currentDistance;
        bestPath = [...currentPath, 0];
      }
      return;
    }

    for (let nextCity = 0; nextCity < numCities; nextCity++) {
      if (!visited[nextCity]) {
        visited[nextCity] = true;
        currentPath.push(nextCity);
        const newDistance = currentDistance + graph[currentCity][nextCity];
        if (newDistance < minDistance) {
          backtrack(currentPath, newDistance, nextCity);
        }
        visited[nextCity] = false;
        currentPath.pop();
      }
    }
  }

  // 从起始城市开始
  visited[0] = true;
  backtrack([0], 0, 0);

  return { path: bestPath, distance: minDistance };
}

// 示例图的邻接矩阵，表示城市之间的距离
const graph = [
  [0, 29, 20, 21],
  [29, 0, 15, 17],
  [20, 15, 0, 28],
  [21, 17, 28, 0],
];

const result = tspBacktracking(graph);
console.log("最短路径：", result.path);
console.log("总距离：", result.distance);

在上述代码中，bestPath存储最短路径的顺序，minDistance存储最短路径的总距离。算法的核心是backtrack函数，它通过递归实现回溯搜索。

算法从起始城市开始，逐步构建路径，每次选择未访问的下一个城市，直到所有城市都被访问。然后，算法考虑回到起始城市的距离，如果找到更短的路径，就更新最短路径和最小距离。

回溯法穷举了所有可能的路径，因此可以找到全局最优解。

总结

本篇介绍了对 NP 问题引入、如何使用不同的算法来解决旅行推销员问题（TSP），展开说明了贪婪算法、动态规划和回溯法，使用JavaScript语言进行了简单实现。有兴趣的同学可在控制台中运行测试~~