深入理解树状数组 | 京东物流技术团队

树状数组

树状数组（BIT, Binary Indexed Tree）是简洁优美的数据结构，它能在很少的代码量下支持 单点修改 和 区间查询 ，我们先以 a[] {1, 2, 3, 4, 5, 6} 数组为例建立树状数组看一下树状数组的样子：

可以发现：不是所有节点都是连接在一起的，c $1$ , c $2$ , c $3$ , c $4$ 和 c $5$ , c $6$ 分别构成了两棵树；奇数索引位置的节点只管辖一个数组元素（我们例子中以 1 为起始索引）。那么这个树状数组是怎么计算和推导出来的呢？

管辖的区间

树状数组的每个元素会管辖多少个数组元素？也就是说每个元素的区间长度是多少？我们从上图中已经知道了奇数的树状数组元素只管辖一个元素，区间为 c $x$ = $x, x$ ，那么我们只需再研究下偶数元素管辖的区间长度即可。

c $y$ 所管辖的区间长度为 2k ，其中 k 为 y 的 2 进制表示中最低位 1 后面所有 0 的数量；c $y$ 所管辖的区间为： $y - 2k + 1, y$

我们以 c $4$ 为例，它管辖多少个元素呢？4 的 2 进制表示为 0100，最低位 1 后面 0 的数量为 2，即 k = 2，那么 2k = 22 = 4，所以它管辖的区间长度为 4，也就是 4 个数组元素，区间为 $4 - 4 + 1, 4$ = $1, 4$ 。

父节点是谁？

现在我们知道每个元素所管辖的区间范围了，那么我们怎么才能知道它的父节点是谁呢？就比如说我们现在得到了 c $1$ 元素，我们想知道它的父节点，要怎么计算呢？

c $x$ 的父节点为 c $x + lowbit(x)$

怎么回事？其中的 lowbit(x) 是什么东西？其实它的值和 2k 一致，其中 k 为 x 的 2 进制表示中最低位 1 后面所有 0 的数量，熟悉不熟悉？这个 lowbit(x) 和我们上文中计算该元素所管辖区间长度的值一致！这不就简单了！

lowbit(x) 的计算方法：lowbit(x) = x & -x

我们以计算 c $2$ 为例，lowbit(2) = 2 & -2，其中 2 的 2 进制表示为 0010，-2 的 2 进行表示为 1110，它的计算方法为将 2 的所有非符号位二进制全部取反后再加 1，即 1101 + 1 = 1110，执行 & 运算后结果为 0010，十进制表示为 2，与 21 值一致。lowbit 的计算用代码表示为：
arduino 复制代码
```
    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
```

我们以 c $1$ 节点为例计算下它的父节点是谁，lowbit(1) = 1 & -1 = 0001 & 1111 = 0001 = 1，那么它的父节点为 c $1 + 1$ = c $2$ ，与图上表示的一致。

现在我们已经知道如何通过计算来创建树状数组了，接下来我们要看下它的应用。

区间查询

区间查询我们先讨论计算前 N 项和的方法，比如我们现在要查询前 6 项和，我们来看下它查询的过程：

从 c $6$ 开始找子节点，有 c $6$ 管辖的区间为 $5, 6$ ，那么再往下找需要找 c $4$ ，它的区间为 $1, 4$ ，计算这两个节点的和即可。

那么从 c $6$ 跳到 c $4$ 是如何计算出来的呢？我们可以通过 c $6$ 区间的下界减 1 来得到，转换成公式表示即为 x - lowbit(x) = 6 - 2 = 4，当它跳到 c $4$ 时发现已经满足求和条件，不再向下跳而结束查找，而且我们可以通过计算 4 - lowbit(4) = 4 - 4 = 0 ，可以发现当 x - lowbit(x) = 0 时为结束查找的条件。我们用代码来表示为：

ini 复制代码

    int query(int x) {
        int res = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
            res += c[i];
        }
        
        return res;
    }

那么我们计算区间 $3, 6$ 的和该如何计算呢？我们从图中可以发现，先计算出 $1, 6$ 和 $1, 2$ 的和，再使用前者减去后者即为所得，用代码表示为：

sql 复制代码

    int query(int left, int right) {
        return query(right) - query(left - 1);
    }

单点修改

如果我们要修改 a $x$ 的值，我们仅需要修改所有管辖了 a $x$ 的 c $y$ 即可，而 a $x$ 可能会被多个 c $y$ 管辖，这些所有的 c $y$ 节点该如何确定呢？我们可以回头再去看看前面的树状数组配图，比如我们要修改 a $1$ 的值，那么我们需要修改 c $1$ , c $2$ 和 c $4$ ，能不能发现它是在不断的 跳父节点 修改？所以，如果我们要修改数组中某个元素的值，树状数组的更新则是不断地更新父节点值。好，我们直接上代码吧：

csharp 复制代码

    // 将 index 索引处的值更新为 num
    void update(int index, int num) {
        a[index] = num;
        add(index, num - a[index]);
    }

    // 更新 c[index] 的值，变化差值为 val
    void add(int index, int val) {
        for (int i = index; i <= c.length; i += lowbit(i)) {
            c[i] += val;
        }
    }

建树

好了，区间查询和单点修改我们都讲完了，但是从头到尾我们还没说过树状数组是怎么建立的呢。我们可以想一下，c 数组初始化时每个索引处的值都为 0，建树仅需要将 a 数组中所有值都在树状数组中执行单点修改即可：

ini 复制代码

    public BinaryIndexedTree(int[] a) {
        this.a = a;
        this.c = new int[a.length + 1];
        
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            add(i + 1, a[i]);
        }
    }

到这里我们基本上已经将树状数组讲解完毕了，它的全量代码如下：

ini 复制代码

public class BinaryIndexedTree {

    int[] a;

    int[] c;

    public BinaryIndexedTree(int[] a) {
        this.a = a;
        this.c = new int[a.length + 1];

        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            add(i + 1, a[i]);
        }
    }

    // 将 index 索引处的值更新为 num
    void update(int index, int num) {
        a[index] = num;
        add(index, num - a[index]);
    }

    // 更新 c[index] 的值，变化差值为 val
    void add(int index, int val) {
        for (int i = index; i < c.length; i += lowbit(i)) {
            c[i] += val;
        }
    }

    int query(int left, int right) {
        return query(right) - query(left - 1);
    }

    // 查询前缀和的方法
    int query(int x) {
        int res = 0;
        for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
            res += c[i];
        }

        return res;
    }

    int lowbit(int x) {
        return x & -x;
    }
}

巨人的肩膀

作者：京东物流王奕龙

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