【月度刷题计划同款】详解为何元素相同会导致 O(n)，一起看清二分的本质

题目描述

这是 LeetCode 上的 81. 搜索旋转排序数组 II ，难度为中等。

Tag : 「二分」

已知存在一个按非降序排列的整数数组 nums，数组中的值不必互不相同。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（ $0 < = k < n u m s . l e n g t h 0 <= k < nums.length$ 0<=k<nums.length）上进行了旋转，使数组变为 $n u m s \[ k$ , n u m s $k + 1$ , . . . , n u m s $n - 1$ , n u m s $0$ , n u m s $1$ , . . . , n u m s $k - 1$ ] $nums\[k$ , nums $k+1$ , ..., nums $n-1$ , nums $0$ , nums $1$ , ..., nums $k-1$ ] $nums\[k$ ,nums $k+1$ ,...,nums $n-1$ ,nums $0$ ,nums $1$ ,...,nums $k-1$ ]（下标从 $0 0$ 0 开始计数）。

例如， [0,1,2,4,4,4,5,6,6,7] 在下标 5 处经旋转后可能变为 [4,5,6,6,7,0,1,2,4,4]。

给你旋转后的数组 nums 和一个整数 target，请你编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。

如果 nums 中存在这个目标值 target，则返回 true，否则返回 false。

示例 1：

ini 复制代码

输入：nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 0

输出：true

示例 2：

ini 复制代码

输入：nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 3

输出：false

提示：

$1 < = n u m s . l e n g t h < = 5000 1 <= nums.length <= 5000$ 1<=nums.length<=5000
$− 1 0 4 < = n u m s$ $i$ < = 1 0 4 -10^4 <= nums $i$ <= 10^4 −104<=nums $i$ <=104
题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
$− 1 0 4 < = t a r g e t < = 1 0 4 -10^4 <= target <= 10^4$ −104<=target<=104

二分

根据题意，我们知道，所谓的旋转其实就是「将某个下标前面的所有数整体移到后面，使得数组从整体有序变为分段有序」。

但和 33. 搜索旋转排序数组不同的是，本题元素并不唯一。

这意味着我们无法直接根据与 $n u m s$ $0$ nums $0$ nums $0$ 的大小关系，将数组划分为两段，即无法通过「二分」来找到旋转点。

因为「二分」的本质是二段性，并非单调性。只要一段满足某个性质，另外一段不满足某个性质，就可以用「二分」。

如果你有看过我 33. 搜索旋转排序数组这篇题解，你应该很容易就理解上句话的意思。如果没有也没关系，我们可以先解决本题，在理解后你再去做 33. 搜索旋转排序数组，我认为这两题都是一样的，不存在先后关系。

举个🌰，我们使用数据 $0,1,2,2,2,3,4,5$ 来理解为什么不同的旋转点会导致「二段性丢失」：

代码：

java 复制代码

class Solution {
    public boolean search(int[] nums, int t) {
        int n = nums.length;
        int l = 0, r = n - 1;
        // 恢复二段性
        while (l < r && nums[0] == nums[r]) r--;

        // 第一次二分，找旋转点
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (nums[mid] >= nums[0]) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        
        int idx = n;
        if (nums[r] >= nums[0] && r + 1 < n) idx = r + 1;

        // 第二次二分，找目标值
        int ans = find(nums, 0, idx - 1, t);
        if (ans != -1) return true;
        ans = find(nums, idx, n - 1, t);
        return ans != -1;
    }
    int find(int[] nums, int l, int r, int t) {
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] >= t) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return nums[r] == t ? r : -1;
    }
}

时间复杂度：恢复二段性处理中，最坏的情况下（考虑整个数组都是同一个数）复杂度是 $O ( n ) O(n)$ O(n)，而之后的找旋转点和目标值都是「二分」，复杂度为 $O ( log ⁡ n ) O(\log{n})$ O(logn)。整体复杂度为 $O ( n ) O(n)$ O(n) 的。
空间复杂度： $O ( 1 ) O(1)$ O(1)。

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.81 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

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