线性代数 --- QR分解,A=QR

矩阵的QR分解,格拉姆施密特过程的矩阵表示

首先先简单的回顾一下Gram-Schmidt正交化过程的核心思想,如何把一组线性无关的向量构造成一组标准正交向量,即,如何把矩阵A变成矩阵Q的过程。

给定一组线性无关的向量a,b,c,我们希望构造出一组相互垂直的单位向量。

第一步:

得到一组正交向量中的第一个向量A,这就是说,我们令新的正交向量中的第一个向量A与向量a的方向相同,且大小相同。(这里我们用到了向量a)

第二步:

A的已经确定了,第二个向量B必须垂直于A。我们令b减去b在A上的投影Pb,得到我们想要的第二个向量B。a,b与A,B不同,但都在同一个平面内。注意:向量B一定不等于0,否则的话就与a,b线性无关这一事实相左。(这里我们用到了向量b)

第三步:

现在我们基于c去找第三个向量C,C必须垂直于A,B所张成的平面,即A,B所在的子空间。我们令c减去c在这个平面上的投影Pc,得到向量C。

如果还有第四个,第五个向量d,e,f,g......的话,我们只需把在这个基础上重复上述过程就能找到新的正交向量D,E,F,G......。

第四步:

当我们把前面的正交向量A,B,C全部找完以后,让他们分别除以各自的长度,最终得到一组标准正交向量q1,q2,q3。这最后一步被称为向量的归一化。


例:

已知一组线性无关的向量a,b,c:

第一步:令A=a得到

第二步:从b中减去b在A上的投影得到

第三步:从c中减去c在AB平面上的投影得到

第四步:归一化

一般而言,A,B,C往往会含有分数。而几乎所有的q1,q2,q3都会包含根号。

参考文献(鸣谢):

1,Introduction to Linear Algebra,Fifth Edition - Gilbert Strang

2,线性代数及其应用,候自新,南开大学出版社 1990

3,Linear Algebra and Its Applications, Second Edition, Gilbert Strang, 1980

4,Linear Algebra and Its Applications, Fourth Edition, Gilbert Strang, 2005

(配图与本文无关)

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