目录
[2.1 移动平均法](#2.1 移动平均法)
[2.2 一次指数平滑预测法](#2.2 一次指数平滑预测法)
介绍
将预测对象按照时间顺序排成一组序列，称为时间序列。从时间序列过去的变化规律，推断今后变化的可能性及变化趋势、变化规律，这就是时间序列预测法。
时间序列模型，其实也是一种回归模型。其基本原理是，一方面承认事物发展的延续性，运用过去时间序列进行统计分析就能推断事物发展趋势；另一方面又充分考虑到偶然因素影响产生的随机性，为了消除随机波动的影响，利用历史数据，进行统计分析，并对数据做适当的处理，进行趋势预测。
- 优点：简单易行，便于掌握，能重复利用时间序列各项数据，计算速度快，对模型参数动有态确定能力，精度较好。
- 缺点 ： 不能反映事物内在联系，不能分析两个因素的相关关系，只适合作短期预测。
确定性时间序列分析方法
1、时间序列的常见趋势
（1）长期趋势
时间序列朝着一定的方向持续上升或下降或留在某个水平的倾向。它反映了客观事物主要变化趋势，记为Tt；
（2）季节变动
序列按时间呈现短周期变化的规律，记为St；
（3）循环变动
通常是周期为一年以上的，由非季节因素一起的起伏波相似的波动，记为Ct；
（4）不规则变动
通常分为突然变动和随机扰动（变动），记为Rt。
常见的时间序列模型有以下几类
- 加法模型 yt=Tt+St+Ct+Rt；（常用）
- 乘法模型 yt=Tt×St×Ct×Rt；
- 混合模型 yt=Tt×St+Rt；yt=St+Tt×Ct×Rt；
其中，yt为观测值，随机变动Rt满足
如果在预测时间范围内，无突然变动或者随机波动的方差σ2较小，并且有理由认为现在的演变趋势将持续发展到未来，可用一些经验方法进行预测。
2、时间序列预测的具体方法
2.1 移动平均法
设观测时间序列为y1,y2,...,yT。
一次移动平均值计算公式：
二次移动平均值计算公式：
这里N<T,一般5≤N≤200.
（1）当预测目标的基本趋势在某一水平上下波动时，采用一次移动平均方法计算预测，即
（2）当预测目标的基本趋势与某一直线相吻合时，采用二次移动平均法.
以上预测标准误差为 
一般来说，N取多少为好，S越小越好。如果数据自带周期，N最好取周期值。
案例1
某企业1-11月的销售收入时间序列如表1所列，试用一次移动平均法预测12月的销售收入。
表1 1-11月销售收入记录
|--------------|-------|-------|-------|--------|--------|-------|
| 月份 t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 销售收入yt | 533.8 | 574.6 | 606.9 | 649.8 | 705.1 | 772.0 |
| 月份t | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | |
| 销售收入yt | 816.4 | 892.7 | 963.9 | 1015.1 | 1102.7 | |
【符号说明】
- t 时间变量t=1,2,...,11
- yt 销售量记录值
- n 移动平均项数
- Mt 一次移动平均值,t=n,n+1,...,11
- y(1) 预测值，t=5,6,...,12
【预测模型】
一次移动平均预测模型为：
针对n=3，4，5，都做一次移动平均预测，将计算结果和误差都反映在表2.
先编写一个时间序列为yt,移动平均项n的预测与误差的程序yd1.m，再调用此函数计算不同n值的预测与误差，存放在表2进行对比
表2 n分别取3,4,5的预测对比
|-----|--------|--------|--------|--------|--------|---------|---------|--------|
| t | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 标准误差 |
| yt | 705.10 | 772.00 | 816.40 | 892.70 | 963.90 | 1015.10 | 1102.70 | 0.00 |
| n=3 | 653.93 | 708.97 | 764.50 | 827.03 | 891.00 | 957.23 | 1027.23 | 60.73 |
| n=4 | 634.10 | 683.45 | 735.83 | 796.55 | 861.25 | 922.03 | 993.60 | 92.37 |
| n=5 | 614.04 | 661.68 | 710.04 | 767.20 | 830.02 | 892.02 | 958.16 | 124.63 |
Matlab
function [M1,s]=yd1(yt,n)
t=length(yt);
yt1=[];
for k=n:t
yr=yt(k-n+1:k);
yr1=mean(yr);
yt1=[yt1,yr1];
end
M1=[zeros(1,n-1),yt1];
yt21=yt(n+1:t);
yt22=M1(n+1:t);
yts=yt22-yt21;
s=(sum(yts.^2)/(t-n))^0.5;
Matlab
yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
n=5;
[m1,s1]=yd1(yt,3);
[m2,s2]=yd1(yt,4);
[m3,s3]=yd1(yt,5);
S=[0,s1,s2,s3];
Y=[yt;m1;m2;m3];
B=[Y,S'];
xlswrite('d:\yidong1.xlsx',B);由表2可见，n=3比n=4预测效果好，n=4比n=5预测效果好。用n=3的计算作预测，12月份销售量为1027.23.
2.2 一次指数平滑预测法
（1）预测模型
设时间序列为y1,y2,...,yt,...，α为加权系数，0<α<1，一次指数平滑公式为
预测模型为
（2）加权系数的选择
（1）如果时间序列波动不大，比较平稳，则α取小一点，0.1-0.5，减小修正幅度，使预测模型包含较长的序列信息；
（2）如果序列具有迅速增加的变动趋势，α取大一点，0.6-0.8，使得预测模型灵敏度高一些，以便迅速跟上数据的变化。
（3）初始值的确定
一般选取最初几期实际值的平均值作为初始值。
案例2
就案例1中问题，用指数平滑预测法预测12月销售量。
就α=0.2,0.5,0.8分别作一次指数平滑预测，初始值为
即
按照预测模型
计算不同α预测结果与误差，计入表3，进行对比做出决策。
Matlab
function [s1,s]=expph1(yt,a)
n=length(yt);
s1(1)=mean(yt(1:2));
for k=2:n
s1(k)=a*yt(k)+(1-a)*s1(k-1);
end
y11=s1-yt;
s=std(y11);
Matlab
yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
[m1,s1]=expph1(yt,0.2);
[m2,s2]=expph1(yt,0.5);
[m3,s3]=expph1(yt,0.8);
s=[0,s1,s2,s3];
m=[yt;m1;m2;m3];
B=[m,s'];
xlswrite('d:\yd1.xlsx',B);表3 不同权系数的指数平滑预测及其标准误差
|-------|--------|--------|--------|---------|---------|--------|
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| yt | 533.80 | 574.60 | 606.90 | 649.80 | 705.10 | 772.00 |
| a=0.2 | 554.20 | 558.28 | 568.00 | 584.36 | 608.51 | 641.21 |
| a=0.5 | 554.20 | 564.40 | 585.65 | 617.73 | 661.41 | 716.71 |
| a=0.8 | 554.20 | 570.52 | 599.62 | 639.76 | 692.03 | 756.01 |
| 月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 误差 |
| yt | 816.40 | 892.70 | 963.90 | 1015.10 | 1102.70 | 0.00 |
| a=0.2 | 676.25 | 719.54 | 768.41 | 817.75 | 874.74 | 81.82 |
| a=0.5 | 766.55 | 829.63 | 896.76 | 955.93 | 1029.32 | 28.33 |
| a=0.8 | 804.32 | 875.02 | 946.12 | 1001.30 | 1082.42 | 11.20 |
由表3可以看出，α=0.8误差最小，选择系数α=0.8进行预测，12月份的销售量为 
图2 预测值与实际值对比
从表2、表3和图2可以看出，预测值总是滞后于实际值。原因就是数据不满足模型要求（平稳型）。
3、差分指数平滑法
差分是改变数据趋势的根本方法（就像导数改变幂函数阶数一样）。如果数据呈现直线吻合型，差分后就呈现平稳性。
一阶差分指数平滑预测模型公式如下
【1】
公式【1】的第三个表示是就相当于：预测值=原值+差分(微分)的预测值.
案例3
对案例1问题用差分指数平滑法预测第12月的销售量。（取α=0.5）.
（1）先计算原始数据xt的差分，得到yt；
（2）对数据yt，取α=0.5做一次指数平滑预测，得到St；
（3）作预测
先编制一个给定时间序列和α的计算差分指数平滑预测的m函数，再调用m这个函数将计算结果汇总到表4.将预测结果与实测值对比如图3.差分指数平滑预测当α=0.5时，误差较小。
Matlab
function [yc,err]=diffexpph(yt,a)
y=diff(yt);
[ym,s]=expph1(y,a);
y=[0,y];
ym=[0,ym];
n=length(y);
r=a*y(n)+(1-a)*ym(n);
ym=[ym,r];
for k=1:n
yc(k+1)=ym(k+1)+yt(k);
end
xy=yc(2:end-1)-yt(2:end);
err=(sum(xy.^2)/10)^0.5;
Matlab
yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7]; a=0.5;
[yc,err]=diffexpph(yt,a);
plot(2:11,yt(2:end),'*',2:11,yc(2:end-1),'+'),
legend('实测值','预测值')
>> A1=[yt,0];
>> A=[A1;yc];
>> xlswrite('d:\diffexpph.xlsx',A)
图3 差分指数平滑预测于实测对比
|------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 实测yt | 533.8 | 574.6 | 606.9 | 649.8 | 705.1 | 772 |
| 预测yc | | 570.35 | 609.025 | 645.5625 | 696.7813 | 762.0406 |
| 月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 实测yt | 816.4 | 892.7 | 963.9 | 1015.1 | 1102.7 | |
| 预测yc | 822.6703 | 879.8852 | 960.0426 | 1023.171 | 1088.536 | 1183.218 |
表4 案例3差分指数平滑预测有关数据
由表4可以得到预测值，第12月销售量为1183.218.将不同α取值(0.1,0.3,0.6,0.9)计算结果汇总到表5，对比显示，差分指数平滑对线性吻合型数据，α取值越大，预测越准确。
Matlab
yt=[533.8 574.6 606.9 649.8 705.1 772 816.4 892.7 963.9 1015.1 1102.7];
[yc1,s1]=diffexpph(yt,0.1);
[yc2,s2]=diffexpph(yt,0.3);
[yc3,s3]=diffexpph(yt,0.6);
[yc4,s4]=diffexpph(yt,0.9);
A1=[0,yt(2:end),0];
A2=[0,s1,s2,s3,s4];
A=[A1;yc1;yc2;yc3;yc4]';
B=[A;A2];
xlswrite('d:\diffexpph1.xlsx',B)|-------|--------|----------|----------|----------|----------|
| 月份\α | | 0.1 | 0.3 | 0.6 | 0.9 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 574.6 | 570.35 | 570.35 | 570.35 | 570.35 |
| 3 | 606.9 | 610.725 | 609.875 | 608.6 | 607.325 |
| 4 | 649.8 | 643.7025 | 644.4625 | 646.24 | 648.7825 |
| 5 | 705.1 | 688.4523 | 692.6838 | 698.716 | 703.7583 |
| 6 | 772 | 746.577 | 755.1886 | 764.8064 | 770.7058 |
| 7 | 816.4 | 813.7693 | 820.382 | 822.5226 | 818.5206 |
| 8 | 892.7 | 861.6224 | 873.1574 | 882.389 | 889.7221 |
| 9 | 963.9 | 940.5202 | 953.7902 | 961.8156 | 964.1122 |
| 10 | 1015.1 | 1012.058 | 1022.023 | 1022.266 | 1017.121 |
| 11 | 1102.7 | 1067.202 | 1082.066 | 1091.006 | 1099.262 |
| 12 | 0 | 1158.352 | 1175.856 | 1185.623 | 1189.956 |
| 误差 | 0 | 19.44747 | 12.10722 | 6.799773 | 2.281841 |
表5 指数平滑不同α预测对比
4、具有季节性特点的时间序列的预测
具有季节特性的时间序列预测方法很多，这里介绍季节系数法，步骤如下：
（1）收集m年的每年各个季度或者各个月份（n个季度）的时间序列aij,i表示年份,i=1,2,...,m;j表示季度,j=1,2,...,n；
（2）计算所有数据的平均值
（3）计算同季度的算数平均数
（4）计算季度系数
（5）预测计算
当时间序列是按季度给出，先求初预测年份（下一年）的年加权平均
再计算预测年份季度平均
最后预测当年第j季度的预测值
案例4
某商店某类商品1999-2000年各季度销售额如表6所示，预测2004年各季度销售额。
表6 1999-2003各季度销售额 （单位：元）
|----------------------|--------|--------|--------|--------|
| 年份 \ 季度 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1999 | 137920 | 186742 | 274561 | 175422 |
| 2000 | 142814 | 198423 | 265419 | 183512 |
| 2001 | 131002 | 193987 | 247556 | 169847 |
| 2002 | 157436 | 200144 | 283002 | 194319 |
| 2003 | 149827 | 214301 | 276333 | 185204 |
| 2004 | 145573 | 201170 | 272696 | 183901 |
模型求解：按照上面的规范步骤，2004年个季度销售额预测填入表6最后一行
Matlab
B=xlsread('d:\jidu.xlsx');
A=B(:,2:end);
[m,n]=size(A);
a=sum(sum(A))/m/n;
aj=mean(A);
bj=aj/a;
yi=sum(A');
w=1:m;
yc=sum(yi.*w)/sum(w)/n;
ycj=yc*bj