四边形不等式

区间dp问题,状态转移方程:

dp[i][j] = min( dp[i][k] + dp[k+1][j] +w[i][j] ) //w[i][j]是从i到j的,一个定值 不随k改变,而且w的值只和i j有关,是它们的二元函数。

其中i<=k<=j ,初始值dp[i][i]已知。

含义:

dp[i][j]是状态i到j的最小花费。

dp[i][k] + dp[k+1][j]体现递推关系,k在i和j之间滑动,k有一个最优值使dp最小。

w[i][j]的性质很重要!w[i][j]是和题目有关的费用,如果满足四边形不等式和单调性,那么用DP计算dp时,就可以用四边形不等式进行优化。

看w函数,

单调性:【如果大区间包含小区间,那么大区间的w值也大于】

四边形不等式:

i,i',j,j' w[i,j]+w[i',j']<=w[i,j']+w[i',j] 交叉区间的和<=大区间和小区间的和

如果w满足单调性和四边形不等式的话,dp也满足。

dp[i][j]的最优分割点记为s[i][j],那么 s[i][j-1] <= s[i][j] <=s[i+1][j]

打表观察是否满足:

复制代码
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
int w(int i,int j)
{
	//具体问题具体分析 
} 
int main()
{
	bool flag=true;
	//验证单调性 
	for(int l=1;l<=n;l++)
	for(int r=l+2;r<=n;r++)
	for(int i=l;i<=r;i++)
	for(int j=i;j<=r;j++)
		if(w(i,j)>w(l,r)) flag=false;
	//验证四边形不等式 
	for(int l=1;l<=n;l++)
	for(int r=l+2;r<=n;r++)
		if(w(l,r-1)+w(l+1,r)>w(l,r)+w(l+1,r-1)) flag=false;
	if(flag) //符合单调性以及四边形不等式
	else   //不符合单调性以及四边形不等式
	return 0; 
} 
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