问题：半球体的容器中盛满水，容器底部有一个小孔，水从小孔流出。给出水体积的变化量 V 随水面高度 h 变化的微分关系式。
在微小的时间间隔 t , t + d t t, t+\\mathrm{d}t t,t+dt 内，水面高度由 h h h 降至 h + d h , ( d h < 0 ) h+\mathrm{d}h, (\mathrm{d}h<0) h+dh,(dh<0)，水的体积变化量近似一个扁平的圆柱，所以可以利用圆柱的体积公式( V = π r 2 h V=\pi r^2h V=πr2h)写出 d V \mathrm{d}V dV 和 d h \mathrm{d}h dh 的关系：
d V = − π r 2 d h \mathrm{d}V=-\pi r^2\mathrm{d}h dV=−πr2dh
体积变化量 d V > 0 \mathrm{d}V>0 dV>0，高度变化量 d h < 0 \mathrm{d}h<0 dh<0，所以前面加负号。
假设半球的高度为 1 m 1m 1m，底部小孔横截面的面积为 1 c m 2 1cm^2 1cm2，则可以推出水面高度 h h h 随时间 t t t 变化的规律，并计算水流完所需的时间：
由流体力学水从孔口流出的流量(水的体积 V V V 对时间 t t t 的变化率) Q = d V d t = k S 2 g h Q=\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=kS\sqrt{2gh} Q=dtdV=kS2gh . （ k k k 为流量系数， k = 0.62 k=0.62 k=0.62， S S S 为孔口横截面积， g g g 为重力加速度。）
t t t 时刻水面半径： r = 1 2 − ( 1 − h 2 ) = 2 h − h 2 r=\sqrt{1^2-(1-h^2)}=\sqrt{2h-h^2} r=12−(1−h2) =2h−h2 ，代入以上微分关系式：
d V = − π ( 2 h − h 2 ) d h \mathrm{d}V=-\pi(2h-h^2)\mathrm{d}h dV=−π(2h−h2)dh
整合流量公式得：
k S 2 g h d t = − π ( 2 h − h 2 ) d h kS\sqrt{2gh}\mathrm{d}t=-\pi(2h-h^2)\mathrm{d}h kS2gh dt=−π(2h−h2)dh
上式即未知函数 h = h ( t ) h=h(t) h=h(t) 满足的微分方程，分离变量得：
d t = − π k S 2 g ( 2 h 1 2 − h 3 2 ) d h \mathrm{d}t=-\dfrac{\pi}{kS\sqrt{2g}}(2h^{\frac{1}{2}}-h^{\frac{3}{2}})\mathrm{d}h dt=−kS2g π(2h21−h23)dh
等式两端同时求积分得：
t = − π k S 2 g ( 4 3 h 3 2 − 2 5 h 5 2 + C ) t=-\dfrac{\pi}{kS\sqrt{2g}}\Big(\dfrac{4}{3}h^\frac{3}{2}-\dfrac{2}{5}h^\frac{5}{2}+\mathrm{C}\Big) t=−kS2g π(34h23−52h25+C)
代入初值条件： h ∣ t = 0 = 1 h|_{t=0}=1 h∣t=0=1 得： C = − 14 15 \mathrm{C}=-\dfrac{14}{15} C=−1514.
于是有：
t = 14 π 15 k S 2 g ( 1 − 10 7 h 3 2 + 3 7 h 5 2 ) t=\dfrac{14\pi}{15kS\sqrt{2g}}\Big(1-\dfrac{10}{7}h^\frac{3}{2}+\dfrac{3}{7}h^\frac{5}{2}\Big) t=15kS2g 14π(1−710h23+73h25)
代入 k = 0.62 , S = 1 0 − 4 m 2 , g = 9.8 m / s 2 k=0.62,\ \ S=10^{-4}m^2,\ \ \ g=9.8m/s^2 k=0.62, S=10−4m2, g=9.8m/s2 得：
t = 1.068 × 1 0 4 ( 1 − 10 7 h 3 2 + 3 7 h 5 2 ) t=1.068\times10^4\Big(1-\dfrac{10}{7}h^\frac{3}{2}+\dfrac{3}{7}h^\frac{5}{2}\Big) t=1.068×104(1−710h23+73h25)
当水全部流出时， h = 0 h=0 h=0，代入上式便可得水流完所需得时间为： t = 1.068 × 1 0 4 s = 2 h 58 m i n t=1.068\times10^4\mathrm{s}=2\mathrm{h}\ 58\mathrm{min} t=1.068×104s=2h 58min.