【笔记分享】集合的基数、群、环、域

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[§1 集合的基数](#§1 集合的基数)
[§2 群、环、域](#§2 群、环、域)

§1 集合的基数

一、集合的基数概念

集合的基数（Cardinality）表示集合中元素的数量。对于有限集合，基数就是集合元素的个数。对于无限集合，基数用来比较不同无限集合的"大小"。基数用符号 ∣ A ∣ |A| ∣A∣表示集合A的基数。

两个集合A和B的基数相同，当且仅当存在一个双射（bijection）f: A → B，即A和B之间存在一一对应关系。

二、映射（Mapping）与基数关系

映射在基数理论中扮演重要角色，尤其是双射、单射和满射：

单射（Injection）：如果存在单射f: A → B，则|A| ≤ |B|。
满射（Surjection）：如果存在满射f: A → B，则|A| ≥ |B|。
双射（Bijection）：如果存在双射f: A → B，则|A| = |B|。

小比喻.mp4：单射好比每个x只有一个老婆，换了x就换了y，每个y也只有一个老公，找不到宁可单着；满射好比定义f(x)=y,每个y都有x对应，没有找不到x的y，至于y找到了几个对象（原象），反正全都找到了。这叫满射；双射就是每个y都找到了x，而且是只有一个x与之对应，一切刚刚好。

通过构造特定映射，可以证明集合基数之间的关系。

三、常见集合的基数及证明

1.有限集合的基数

有限集合的基数直接等于其元素数量。例如，集合A = {1, 2, 3}的基数|A| = 3。

2.自然数集N的基数

自然数集N = {1, 2, 3, ...}的基数为ℵ₀（阿列夫零），是最小的无限基数。

证明N与偶数集基数相同 ：

构造双射f: N → O，其中O为偶数集，定义为f(n) = 2n。由于f是双射，|N| = |O|。

3.整数集Z的基数

整数集Z的基数也是ℵ₀。

证明Z与N基数相同 ：

构造双射f: N → Z：

f(n) = n/2（若n为偶数）；

f(n) = -(n-1)/2（若n为奇数）。

此映射将自然数与整数一一对应。

4.有理数集Q的基数

有理数集Q的基数也是ℵ₀。

证明Q可数 ：

可以将有理数排列为二维表格（分子/分母），通过对角线法枚举所有有理数，构造与N的双射。

具体形式：Q={x:x=p/q} ，q∈Z, p∈Z+

5.实数集R的基数

实数集R的基数为𝔠（连续统基数），严格大于ℵ₀。

证明R不可数（康托尔对角线法） ：

假设(0,1)区间实数可列，列举为r₁, r₂, r₃, ...。

构造新实数d，其第i位与rᵢ的第i位不同。d不在列表中，矛盾。

6.幂集的基数

对于任何集合A，其幂集P(A)的基数为 2 ∣ A ∣ 2^{|A|} 2∣A∣。

证明|P(A)| > |A|（康托尔定理） ：

假设存在双射f: A → P(A)。定义B = {x ∈ A | x ∉ f(x)}。B ∈ P(A)，但不存在a ∈ A使得f(a) = B，矛盾。

四、基数运算

基数运算遵循以下规则：

|A × B| = |A| · |B|
|A ∪ B| = |A| + |B|（若A ∩ B = ∅）
∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |A^B| = |A|^{|B|} ∣AB∣=∣A∣∣B∣（ A B A^B AB表示B到A的函数集）

对于无限基数：

ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀
ℵ₀ · ℵ₀ = ℵ₀
2^ℵ₀ = 𝔠

§2 群、环、域

一、群的定义与性质

群是一个集合 ( G ) 配备一个二元运算 ( ⋅ \cdot ⋅ )，满足以下四条公理：

封闭性 ：对任意 a, b ∈ \in ∈ G ，有 a ⋅ \cdot ⋅ b ∈ \in ∈ G。
结合律 ：对任意 a, b, c ∈ \in ∈ G ，有 (a ⋅ \cdot ⋅ b) ⋅ \cdot ⋅ c = a ⋅ \cdot ⋅ (b ⋅ \cdot ⋅ c) 。
单位元 ：存在 e ∈ \in ∈ G ，使得对任意 a ∈ \in ∈ G ，有 e ⋅ \cdot ⋅ a = a ⋅ \cdot ⋅ e = a 。
逆元：对任意 a ∈ \in ∈ G ，存在 a − 1 ∈ G a^{-1} \in G a−1∈G，使得 a ⋅ a − 1 = a − 1 ⋅ a = e a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e a⋅a−1=a−1⋅a=e 。

常见群运算：

加法群（如整数集 ( Z \mathbb{Z} Z) 配加法）。
乘法群（如非零实数集 ( R ∗ \mathbb{R}^* R∗ ) 配乘法）。
置换群（对称群 ( S n S_n Sn )）。

二、环的定义与性质

环是一个集合 ( R ) 配备两个二元运算 ( + )（加法）和 ( ⋅ \cdot ⋅ )（乘法），满足：

(R, +) 是阿贝尔群（加法可交换）。
(R, ⋅ \cdot ⋅) 是半群（乘法封闭且结合）。
分配律 ：对任意 a, b, c ∈ \in ∈ R ，有 a ⋅ \cdot ⋅ (b + c) = a ⋅ \cdot ⋅ b + a ⋅ \cdot ⋅ c 和 (a + b) ⋅ \cdot ⋅ c = a ⋅ \cdot ⋅ c + b ⋅ \cdot ⋅ c 。

常见环运算：

整数环 ( Z \mathbb{Z} Z ) 配标准加法和乘法。
多项式环 ( R $x$ R $x$ R $x$ )。
矩阵环 ( M n ( R ) M_n(R) Mn(R) )。

三、域的定义与性质

域是一个交换环 ( F ) 配备加法 ( + ) 和乘法 ( ⋅ \cdot ⋅ )，且满足：

(F, +) 是阿贝尔群。
( F ∖ { 0 } F \setminus \{0\} F∖{0}, ⋅ \cdot ⋅) 是阿贝尔群（乘法可交换且非零元有逆）。
分配律成立。

常见域运算：

有理数域 ( Q \mathbb{Q} Q )。
实数域 ( R \mathbb{R} R ) 和复数域 ( C \mathbb{C} C)。
有限域 ( F p \mathbb{F}_p Fp )（p 为素数）。

四、直积与直和

直积（Direct Product） ：

对群 ( G 1 G_1 G1, G 2 G_2 G2 )，其直积 ( G 1 × G 2 G_1 \times G_2 G1×G2 ) 定义为笛卡尔积配备逐点运算：
( g 1 , g 2 ) ⋅ ( h 1 , h 2 ) = ( g 1 ⋅ h 1 , g 2 ⋅ h 2 ) . (g_1, g_2) \cdot (h_1, h_2) = (g_1 \cdot h_1, g_2 \cdot h_2). (g1,g2)⋅(h1,h2)=(g1⋅h1,g2⋅h2).

适用于无限或有限多个群的构造。

直和（Direct Sum） ：

对阿贝尔群（或模），直和 ( ⨁ i ∈ I G i \bigoplus_{i \in I} G_i ⨁i∈IGi) 定义为直积的子集，其中仅有限个分量非单位元。直和在无限情况下与直积不同，但有限时两者等价。

关键区别：

直积允许无限个非单位元分量，直和仅允许有限个。
在非阿贝尔群中通常只讨论直积。