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- [§1 集合的基数](#§1 集合的基数)
- [§2 群、环、域](#§2 群、环、域)
§1 集合的基数
一、集合的基数概念
集合的基数 （Cardinality）表示集合中元素的数量。对于有限集合，基数就是集合元素的个数。对于无限集合，基数用来比较不同无限集合的"大小"。基数用符号 ∣ A ∣ |A| ∣A∣表示集合A的基数。
两个集合A和B的基数相同，当且仅当存在一个双射 （bijection）f: A → B，即A和B之间存在一一对应关系。
二、映射（Mapping）与基数关系
映射在基数理论中扮演重要角色，尤其是双射、单射和满射：
- 单射（Injection）：如果存在单射f: A → B，则|A| ≤ |B|。
- 满射（Surjection）：如果存在满射f: A → B，则|A| ≥ |B|。
- 双射（Bijection）：如果存在双射f: A → B，则|A| = |B|。
小比喻.mp4：单射好比每个x只有一个老婆，换了x就换了y，每个y也只有一个老公，找不到宁可单着；满射好比定义f(x)=y,每个y都有x对应，没有找不到x的y，至于y找到了几个对象（原象），反正全都找到了。这叫满射；双射就是每个y都找到了x，而且是只有一个x与之对应，一切刚刚好。
通过构造特定映射，可以证明集合基数之间的关系。
三、常见集合的基数及证明
1.有限集合的基数
有限集合的基数直接等于其元素数量。例如，集合A = {1, 2, 3}的基数|A| = 3。
2.自然数集N的基数
自然数集N = {1, 2, 3, ...}的基数为ℵ₀（阿列夫零），是最小的无限基数。
证明N与偶数集基数相同 ：
构造双射f: N → O，其中O为偶数集，定义为f(n) = 2n。由于f是双射，|N| = |O|。
3.整数集Z的基数
整数集Z的基数也是ℵ₀。
证明Z与N基数相同 ：
构造双射f: N → Z：
f(n) = n/2（若n为偶数）；
f(n) = -(n-1)/2（若n为奇数）。
此映射将自然数与整数一一对应。
4.有理数集Q的基数
有理数集Q的基数也是ℵ₀。
证明Q可数 ：
可以将有理数排列为二维表格（分子/分母），通过对角线法枚举所有有理数，构造与N的双射。
具体形式：Q={x:x=p/q} ，q∈Z, p∈Z+
5.实数集R的基数
实数集R的基数为𝔠（连续统基数），严格大于ℵ₀。
证明R不可数（康托尔对角线法） ：
假设(0,1)区间实数可列，列举为r₁, r₂, r₃, ...。
构造新实数d，其第i位与rᵢ的第i位不同。d不在列表中，矛盾。
6.幂集的基数
对于任何集合A，其幂集P(A)的基数为 2 ∣ A ∣ 2^{|A|} 2∣A∣。
证明|P(A)| > |A|（康托尔定理） ：
假设存在双射f: A → P(A)。定义B = {x ∈ A | x ∉ f(x)}。B ∈ P(A)，但不存在a ∈ A使得f(a) = B，矛盾。
四、基数运算
基数运算遵循以下规则：
- |A × B| = |A| · |B|
- |A ∪ B| = |A| + |B|（若A ∩ B = ∅）
- ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |A^B| = |A|^{|B|} ∣AB∣=∣A∣∣B∣（ A B A^B AB表示B到A的函数集）
对于无限基数：
- ℵ₀ + ℵ₀ = ℵ₀
- ℵ₀ · ℵ₀ = ℵ₀
- 2^ℵ₀ = 𝔠
§2 群、环、域
一、群的定义与性质
群是一个集合 ( G ) 配备一个二元运算 ( ⋅ \cdot ⋅ )，满足以下四条公理：
- 封闭性 ：对任意 a, b ∈ \in ∈ G ，有 a ⋅ \cdot ⋅ b ∈ \in ∈ G。
- 结合律 ：对任意 a, b, c ∈ \in ∈ G ，有 (a ⋅ \cdot ⋅ b) ⋅ \cdot ⋅ c = a ⋅ \cdot ⋅ (b ⋅ \cdot ⋅ c) 。
- 单位元 ：存在 e ∈ \in ∈ G ，使得对任意 a ∈ \in ∈ G ，有 e ⋅ \cdot ⋅ a = a ⋅ \cdot ⋅ e = a 。
- 逆元 ：对任意 a ∈ \in ∈ G ，存在 a − 1 ∈ G a^{-1} \in G a−1∈G，使得 a ⋅ a − 1 = a − 1 ⋅ a = e a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e a⋅a−1=a−1⋅a=e 。
常见群运算：
- 加法群（如整数集 ( Z \mathbb{Z} Z) 配加法）。
- 乘法群（如非零实数集 ( R ∗ \mathbb{R}^* R∗ ) 配乘法）。
- 置换群（对称群 ( S n S_n Sn )）。
二、环的定义与性质
环是一个集合 ( R ) 配备两个二元运算 ( + )（加法）和 ( ⋅ \cdot ⋅ )（乘法），满足：
- (R, +) 是阿贝尔群（加法可交换）。
- (R, ⋅ \cdot ⋅) 是半群（乘法封闭且结合）。
- 分配律 ：对任意 a, b, c ∈ \in ∈ R ，有 a ⋅ \cdot ⋅ (b + c) = a ⋅ \cdot ⋅ b + a ⋅ \cdot ⋅ c 和 (a + b) ⋅ \cdot ⋅ c = a ⋅ \cdot ⋅ c + b ⋅ \cdot ⋅ c 。
常见环运算：
- 整数环 ( Z \mathbb{Z} Z ) 配标准加法和乘法。
- 多项式环 ( R [ x ] R[x] R[x] )。
- 矩阵环 ( M n ( R ) M_n(R) Mn(R) )。
三、域的定义与性质
域是一个交换环 ( F ) 配备加法 ( + ) 和乘法 ( ⋅ \cdot ⋅ )，且满足：
- (F, +) 是阿贝尔群。
- ( F ∖ { 0 } F \setminus \{0\} F∖{0}, ⋅ \cdot ⋅) 是阿贝尔群（乘法可交换且非零元有逆）。
- 分配律成立。
常见域运算：
- 有理数域 ( Q \mathbb{Q} Q )。
- 实数域 ( R \mathbb{R} R ) 和复数域 ( C \mathbb{C} C)。
- 有限域 ( F p \mathbb{F}_p Fp )（p 为素数）。
四、直积与直和
直积（Direct Product） ：
对群 ( G 1 G_1 G1, G 2 G_2 G2 )，其直积 ( G 1 × G 2 G_1 \times G_2 G1×G2 ) 定义为笛卡尔积配备逐点运算：
( g 1 , g 2 ) ⋅ ( h 1 , h 2 ) = ( g 1 ⋅ h 1 , g 2 ⋅ h 2 ) . (g_1, g_2) \cdot (h_1, h_2) = (g_1 \cdot h_1, g_2 \cdot h_2). (g1,g2)⋅(h1,h2)=(g1⋅h1,g2⋅h2).
适用于无限或有限多个群的构造。
直和（Direct Sum） ：
对阿贝尔群（或模），直和 ( ⨁ i ∈ I G i \bigoplus_{i \in I} G_i ⨁i∈IGi) 定义为直积的子集，其中仅有限个分量非单位元。直和在无限情况下与直积不同，但有限时两者等价。
关键区别：
- 直积允许无限个非单位元分量，直和仅允许有限个。
- 在非阿贝尔群中通常只讨论直积。