了解二叉树和二叉树快速查询

了解二叉树

二叉树是一个树形结构，每个节点最多有两个叉，及最多有两个子节点分别是左子节点和右子节点。左右两个子节点也分别有其对应的左右子节点。

一些相关术语

• 节点：包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息。
• 节点的度：一个节点含有的字节点的个数，二叉树的节点的度最大为2。
• 根节点：第一个节点。根节点不存在父节点。
• 叶子节点：也称为终端节点，没有子树的节点或者度为零的节点。
• 分支节点：也称为非终端节点，度不为零的节点称为非终端节点。

js模拟二叉树的简单实现

class TreeNode {
  val: any;
  left: TreeNode | null;
  right: TreeNode | null;
  constructor(val?: any, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
    this.val = val;
    this.left = left === undefined ? null : left;
    this.right = right === undefined ? null : right;
  }
}

满二叉树和完全二叉树

每层节点个数都达到了最大的二叉树就是满二叉树

最后一层叶子节点都靠左排列，且除了最后一层，其他层的节点个数都达到了最大的二叉树是完全二叉树。

💡 找规律：满二叉树一定是是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

二叉树的三种遍历方式

二叉树中一个很重要的操作就是如何遍历树中所有的节点，按照深度优先原则，二叉树有三种经典的遍历方法：前序遍历、中序遍历和后序遍历。

前序遍历指的是：对于树中的任意节点，先遍历当前节点、再遍历当前节点的左子树，最后遍历当前节点的右子树，按照这个顺序直到遍历完整棵树。上面这个二叉树遍历完成之后的顺序：A,B,D,E,C,F,G。

中序遍历指的是：对于树中的任意节点，先遍历当前节点的左子树、再遍历当前节点，最后遍历当前节点的右子树，按照这个顺序直到遍历完整棵树。上面这个二叉树遍历完成之后的顺序：D,B,E,A,F,C,G。

后序遍历指的是：对于树中的任意节点，先遍历当前节点的左子树、再遍历当前节点的右子树，最后遍历当前节点，按照这个顺序直到遍历完整棵树。上面这个二叉树遍历完成之后的顺序：D,E,B,F,G,C,A。

因为整个遍历过程天然具有递归的性质，我们一般直接用递归函数来模拟这一过程，遇到空节点后终止递归。时间复杂度为O(n)。

function preorderTraversal(root: TreeNode | null): number[] {
    const res: number[] = [];
    // preOrderTraversal(root, res);
		// middleOrderTraversal(root, res);
		// postOrderTraversal(root, res);
    return res;
};

// 二叉树的前序遍历
const preOrderTraversal = (node: TreeNode | null, res: number[]) => {
    if (!node) return;
    // 按照中、左、右的顺序循序遍历
    res.push(node.val);
    traversal(node.left, res);
    traversal(node.right, res);
}

// 二叉树的中序遍历
const middleOrderTraversal = (node: TreeNode | null, res: number[]) => {
    if (!node) return;
    // 按照左、中、右的顺序循序遍历
    traversal(node.left, res);
    res.push(node.val);
    traversal(node.right, res);
}

// 二叉树的后序遍历
const postOrderraversal = (node: TreeNode | null, res: number[]) => {
    if (!node) return;
    // 按照左、右、中的顺序循序遍历
    traversal(node.left, res);
    traversal(node.right, res);
    res.push(node.val);
}

二叉搜索树（Binary Search Tree）

二叉搜索树是二叉树中最常见的一种类型，二叉搜索树是为了快速查询而生的，它要求在树中的任意一个节点，若其左子树不为空，则其左子树的每一个节点的节点值，都要小于当前节点的节点值。若其右子树不为空，则其右子树的每一个节点的节点值，都要大于当前节点的节点值。所以当对二叉搜索树进行中序遍历后，可以输出有序的数据序列。由于它的有序性，二叉搜索树可以在O（logn）的时间复杂度内进行查找操作。

实现二叉搜索树查询、插入、删除

二叉搜索树的查询

类似于数组中的二分查找，先取根节点，比较要查询值和根节点值。当查询值小于根节点值时，那就在左子树中递归查找，当查询值大于根节点值时，那就在右子树中递归查找，直至相等。时间复杂度一般为O(logn)。
💡 二叉搜索树虽然是一个天然的二分结构，能很好的利用二分查找快速定位数据，但是它存在极端场景比如根节点是最小值，之后每次插入的元素都是树内最大元素，就会导致整个二叉树就全都只有右子节点，从二叉搜索树退化成一个链表，此时时间复杂度为O(n)

function searchBST(root: TreeNode | null, val: number): TreeNode | null {
  if (!root || root.val === val) return root;
  if (val < root.val) {
    return searchBST(root.left, val);
  } else {
    return searchBST(root.right, val);
  }
}

二叉搜索树的插入

新插入的数据一般都在叶子节点上，基于二叉树的查询，我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点值的大小关系。

• 如果要插入的数据比当前节点值大且当前节点的右子树为空，就将新数据插入到当前节点的右子节点。
• 如果要插入的数据比当前节点值小且当前节点的左子树为空，就将新数据插入到当前节点的左子节点。

时间复杂度为O(logn)

function insertIntoBST(root: TreeNode | null, val: number): TreeNode | null {
  if (!root) return new TreeNode(val);
  if (val > root.val) {
    if (root.right) {
      insertIntoBST(root.right, val);
    } else {
      root.right = new TreeNode(val);
    }
  }
  if (val < root.val) {
    if (root.left) {
      insertIntoBST(root.left, val);
    } else {
      root.left = new TreeNode(val);
    }
  }
  return root;
}

二叉搜索树的删除

不同于二叉搜索树的查询和插入，删除操作需要考虑要删除节点的子节点个数，所以相对比较复杂，需要分三种情况处理

• 要删除节点不存在子节点：直接将父节点中指向要删除节点的指针指向null。
• 要删除节点只存在一个子节点（左或右）：将要删除节点的父节点指向要删除节点的子节点。
• 要删除节点的两个子节点都存在：找到要删除节点的右子树中最小节点，把它替换到要删除节点的位置上。

function deleteNode(root: TreeNode | null, key: number): TreeNode | null {
  if (!root) return null;
  if (key < root.val) {
    root.left = deleteNode(root.left, key);
  } else if (key > root.val) {
    root.right = deleteNode(root.right, key);
  } else {
    if (root.left) {
      let node = root.left;
      while (node.right) {
        node = node.right;
      }
      node.right = root.right;
      return root.left;
    } else {
      return root.right;
    }
  }
  return root;
}

简单拓展一下-数据库索引

在关系型数据库系统中，索引用于加快查询操作。二叉搜索树可以用作索引结构，其中每个节点包含一个索引键和指向对应数据行的指针。利用二叉搜索树的有序性，在树中进行查找操作，可以在O(logn)的时间复杂度内找到满足查询条件的数据行，而不需要遍历整个数据库表。 不过显然，只是简单的二叉搜索树还不够。还需要解决几个问题：二叉树退化问题和查询效率问题。同时还需要考虑范围查询的问题，毕竟查询一个范围的数据这个场景还是很常见的。

自平衡二叉树

为了解决二叉搜索树退化成链表的问题，就出现了自平衡二叉树。自平衡树在二叉搜索树上增加了一些约束，每个节点的左子树和右子树高度差不能超过1，这样，我的查询操作的时间复杂度才能维持在O(logn); 我们需要在数据插入或删除的时候进行特定平衡操作，当插入/删除操作导致树不平衡时通过旋转来调整节点的位置，使树重新平衡。

B树

二叉搜索树虽然可以保持查询操作的时间复杂度，但因为他每个节点只有两个子节点，那么当节点个数越多的时候，树的层数就越多，这样就会增加磁盘的I/O次数，从而影响数据查询的效率，为了减少树的层数，B树就出现了，B树允许每个节点存在多个子节点从而降低树的层数。B树的每个节点可以有M个子节点，M称为B树的阶。 假设M = 3，那就是一个3阶的B树，特点就是每个节点最多有2个（M-1个）数据和最多有3（M）个子节点。在插入的时候，超过要求的话，就会分裂节点。

💡 关于M阶B树最多有（M-1）个数据和M个子节点：就像一条绳子，切一刀会分成两段，切两刀，会分成三段。（M-1）个数据，可以把数据范围分成M个。
💡 磁盘I/O（Input/Output）是指计算机系统与磁盘存储设备之间进行的数据读取和写入操作。磁盘I/O是计算机系统中常见的一种I/O操作类型，用于从磁盘读取数据到内存或将数据从内存写入磁盘。磁盘I/O是一种相对较慢的操作，而磁盘 I/O 次数越多，所消耗的时间也就越大。所以一般索引的数据结构能狗在尽可能少的磁盘的 I/O 操作中完成查询工作。

B+数

而B+ 树是基于 B 树的一个升级，他将所有的数据都放到了叶子结点上，并将叶子结点连接起来，组成了一个有序链表。这种设计对范围查找非常有帮助，比如说我们想知道 12 月 1 日和 12 月 12 日之间的订单，这个时候可以先查找到 12 月 1 日所在的叶子节点，然后利用链表向右遍历，直到找到 12 月12 日的节点，这样就不需要从根节点查询了，进一步节省查询需要的时间。

总结

二叉搜索树是一个天然的二分结构，可以很好的利用二分查找快速查询，但在某些极端场景下，二叉树会退化成链表，为了解决这个问题，就有了自平衡二叉树，他会在插入/删除之后进行自旋转操作以维持树的平衡。

而树的高度决定了磁盘I/O的次数，为了降低磁盘I/O和提高查询效率，B树增加了叉数，以降低树的高度，而B+树则是将数据都存放到叶子节点，并将叶子节点连接成链表，以便于范围查询。感兴趣的可以深入了解一下。