什么是优化器
优化器就是在深度学习反向传播过程中，指引损失函数（目标函数）的各个参数往正确的方向更新合适的大小，使得更新后的各个参数让损失函数（目标函数）值不断逼近全局最小 。
优化器不计算梯度，它只是梯度的更新者，他决定了以什么样的形式更新参数
深度学习模型通过引入损失函数，用来计算目标预测的错误程度。根据损失函数计算得到的误差结果，需要对模型参数（即权重和偏差）进行很小的更改，以期减少预测错误。但问题是如何知道何时应更改参数，如果要更改参数，应更改多少？这就是引入优化器的时候了。简单来说，优化器可以优化损失函数，优化器的工作是以使损失函数最小化的方式更改可训练参数，损失函数指导优化器朝正确的方向移动。 优化器即优化算法是用来求取模型的最优解的，通过比较神经网络自己预测的输出与真实标签的差距，也就是Loss函数。为了找到最小的loss（也就是在神经网络训练的反向传播中，求得局部的最优解），通常采用的是梯度下降(Gradient Descent)的方法，而梯度下降，便是优化算法中的一种。
总的来说可以分为三类，一类是梯度下降法（Gradient Descent），一类是动量优化法（Momentum），另外就是自适应学习率优化算法。
梯度下降算法（Gradient Descent）
梯度下降法是最基本的优化算法之一。梯度下降法就是沿着梯度下降最快的方向求极小值。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> w i = w i − α α L α w i w_i = w_i - α \frac{αL}{αw_i} </math>wi=wi−ααwiαL
顾名思义，梯度下降法的计算过程就是沿梯度下降的方向求解极小值，也可以沿梯度上升方向求解最大值。梯度下降法是最基本的优化算法之一。梯度下降法就是沿着梯度下降最快的方向求极小值。
标准的梯度下降主要有两个缺点
训练速度慢：每走一步都要计算调整下一步的方向，下山的速度变慢。在应用于大型数据集中，每输入一个样本都要更新一次参数，且每次迭代都要遍历所有的样本。会使得训练过程及其缓慢，需要花费很长时间才能得到收敛解。
容易陷入局部最优解：由于是在有限视距内寻找下山的方向。当陷入平坦的洼地，会误以为到达了山地的最低点，从而不会继续往下走。所谓的局部最优解就是鞍点。落入鞍点，梯度为0，使得模型参数不在继续更新。"鞍部" 如下图所示
BGD、SGD、mini-batch GD
| 算法 | 优缺点 |
|---|---|
| 批量梯度下降法 (Batch Gradient Descent,BGD) 在全部训练集上计算精确的梯度。 | 优点 ： 由于每一步迭代使用了全部样本 ，每次下降的方向为总体的平均梯度，因此损失函数收敛过程会比较稳定。对于凸函数可以收敛到全局最小值，对于非凸函数可以收敛到局部最小值。 缺点 : 为了获取准确的梯度，批量梯度下降法的每一步都把整个训练集载入进来进行计算，时间花费和内存开销都非常大，无法应用于大数据集、大模型的场景。 |
| 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent,SGD ) 采样单个样本来估计的当前梯度。 | 优点 ： 随机梯度下降法则放弃了对梯度准确性的追求，每步仅仅随机采样一个样本 来估计当前梯度，计算速度快，内存开销小。 缺点：但由于每步接受的信息量有限，随机梯度下降法对梯度的估计常常出现偏差，造成目标函数曲线收敛得很不稳定，伴有剧烈波动，有时甚至出现不收敛的情况。 |
| 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent,mini-batch GD) 使用batch的一个子集来计算梯度。 | 经实践证明，该方法一方面可以降低参数更新时的方差，收敛更稳定，另一方面可以充分地利用深度学习库中高度优化的矩阵操作来进行更有效的梯度计算。 |
结论 鉴于 BGD 和 SGD 各自的局限性，目前的训练采用 Mini-Batch GD，每次对batch_size的数据进行梯度计算，更新参数。
动量优化器(Momentum)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> v t = γ v t − 1 + η g t v_t = γv_{t-1} + ηg_t </math>vt=γvt−1+ηgt
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> θ t + 1 = θ t − v t θ_{t+1} = θ_t - v_t </math>θt+1=θt−vt
动量优化法引入了物理之中的概念。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p = m v p=mv </math>p=mv 当一个小球从山顶滚下，速度越来越快，动量越来越大，开始加速梯度下降，当跨越了山谷，滚到对面的坡上时，速度减小，动量减小。带动量的小球不仅可以加速梯度；还可以借着积累的动量，冲过小的山坡，以避免落入局部最优点。
Momentum 引入惯性保持 （动量 ）思想 ， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> v t v_t </math>vt由两部分组成，一是学习率 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> η ∗ g t η * g_t </math>η∗gt；二是带衰减的前一次步伐 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> V t 1 V_{t_1} </math>Vt1。 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> V t V_t </math>Vt 直接依赖于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> V t − 1 V_{t-1} </math>Vt−1和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g t g_t </math>gt, 而不仅仅是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> g t g_t </math>gt。 另外，衰减系数 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> γ γ </math>γ扮演了阻力的作用。
动量主要解决SGD的两个问题
- 随机梯度的方法（引入的噪声）
- Hessian矩阵病态问题（可以理解为SGD在收敛过程中和正确梯度相比来回摆动比较大的问题
优点：前后梯度一致的时候能够加速学习；前后梯度不一致的时候能够抑制震荡，越过局部极小值（加速收敛，减小震荡）
缺点：增加了一个超参数
自适应学习率优化算法
传统的优化算法要么将学习率设置为常数要么根据训练次数调节学习率。往往忽视了学习率其他变化的可能性。然而，学习率对模型的性能有着显著的影响，因此需要采取一些策略来想办法更新学习率，从而提高训练速度。
自适应学习率算法主要有：AdaGrad算法，RMSProp算法，Adam算法以及AdaDelta算法等
本文主要介绍前三种。
AdaGrad
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> θ t + 1 , i = θ t , i − η ∑ k = 1 n + ε 2 ∗ g k , i θ_{t+1,i} = θ_{t,i} - \frac{η}{\sqrt[2]{\sum_{k=1}^n + ε}} * g_{k,i} </math>θt+1,i=θt,i−2∑k=1n+ε η∗gk,i
AdaGrad引入自适应思想，训练过程中，学习速率逐渐衰减，经常更新的参数其学习速率衰减更快。
Adagrad自适应思路其实是对学习率进行了一个约束：
- 对于经常更新 的参数，我们已经积累了大量关于它的知识，不希望被单个样本影响太大，希望学习速率小一些；
- 对于偶尔更新 的参数，我们了解的信息太少，希望能从每个偶然出现的样本（稀疏特征的样本）身上多学一些，即学习速率大一些。
而该方法中开始使用二阶动量，才意味着"自适应学习率"优化算法时代的到来。
优点：自适应的学习率，无需人工调节 缺点：AdaGrad方法采用所有历史梯度平方和的平方根 做分母，分母随时间单调递增，产生的自适应学习速率随时间衰减的速度过于激进。
分母平方和方式，会存在参数还没更新几次，梯度累积就已经较大，导致梯度几率不更新，因此该算法并没有被广泛使用
RMSProp算法
RMSprop 是 Hinton 在课程中提到的一种方法，是对 Adagrad 算法的改进，主要是解决学习速率过快衰减的问题 。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> S t = γ . s t − 1 + ( 1 − γ ) . g t − 1 2 S_t = γ.s_{t-1} + (1 - γ).g^2_{t-1} </math>St=γ.st−1+(1−γ).gt−12
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> θ t + 1 = θ t + 1 , i − η s t + ε 2 θ_{t+1} = θ_{t+1,i} - \frac{η}{\sqrt[2]{s_t + ε}} </math>θt+1=θt+1,i−2st+ε η
采用梯度平方的指数加权移动平均值，其中一般取值0.9，有助于避免学习速率很快下降的问题，学习率建议取值为0.001。
优点：RMSprop算是Adagrad的一种发展，是另外一种自适应学习率(Adadelta)算法的变体，效果趋于二者之间。处理非平稳目标(包括季节性和周期性)------对于RNN效果很好。
缺点：其实RMSprop依然依赖于全局学习率
Adam ------ 目前被广泛应用于机器学习、深度学习与大模型中
Adam方法将惯性保持 （动量）和自适应这两个优点集于一身。
Adam 结合了前面方法的一阶动量和二阶动量，相当于 Ada + Momentum，SGD-M和NAG在SGD基础上增加了一阶动量，AdaGrad和AdaDelta在SGD基础上增加了二阶动量。
Adam记录梯度的一阶矩（first moment），即过往梯度与当前梯度的平均，这体现了惯性保持：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> m t = β 1 m t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t m_t = β_1m_{t-1} + (1 - β_1)g_t </math>mt=β1mt−1+(1−β1)gt
Adam还记录梯度的二阶矩（second moment），即过往梯度平方与当前梯度平方的平均，这类似AdaGrad方法，体现了自适应能力，为不同参数产生自适应的学习速率:
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> v t = β 2 v t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t 2 v_t = β_2v_{t-1} + (1 - β_2)g^2_t </math>vt=β2vt−1+(1−β2)gt2
一阶矩和二阶矩采用类似于滑动窗口内求平均的思想进行融合，即当前梯度和近一段时间内梯度的平均值，时间久远的梯度对当前平均值的贡献呈指数衰减。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> m t = β 1 m t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t m_t = β_1m_{t-1} + (1 - β_1)g_t </math>mt=β1mt−1+(1−β1)gt
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> m t = β 2 v t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t 2 m_t = β_2v_{t-1} + (1 - β_2)g^2_t </math>mt=β2vt−1+(1−β2)gt2
其中， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β 1 β_1 </math>β1, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β 2 β_2 </math>β2为衰减系数， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β 1 β_1 </math>β1通常取值为0.9， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β 2 β_2 </math>β2通常取值为0.999， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m t m_t </math>mt是一阶矩， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> v t v_t </math>vt是二阶矩。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> θ t + 1 = θ t − η . m t ^ v t ^ + ε 2 θ_{t+1} = θ_t - \frac{η.\hat{m_t}}{\sqrt[2]{\hat{v_t} + ε}} </math>θt+1=θt−2vt^+ε η.mt^
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> m t ^ = m t 1 − β 1 t \hat{m_t} = \frac{m_t}{1 - β^t_1} </math>mt^=1−β1tmt
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> v t ^ = v t 1 − β 2 t \hat{v_t} = \frac{v_t}{1 - β^t_2} </math>vt^=1−β2tvt
其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m t ^ \hat{m_t} </math>mt^和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> v t ^ \hat{v_t} </math>vt^ 是 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> m t m_t </math>mt 、 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> v t v_t </math>vt偏差矫正之后的结果。
优点：
- Adam梯度经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有一个固定范围，使得参数比较平稳。
- 结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点
- 为不同的参数计算不同的自适应学习率
- 也适用于大多非凸优化问题------适用于大数据集和高维空间。
缺点： Adam 使用动量的滑动平均，可能会随着训练数据变化而抖动比较剧烈，在online场景可能波动较大，在广告场景往往效果不如 AdaGrad
Adam ------ 目前被广泛应用于机器学习、深度学习与大模型中.
【参考】