Peter算法小课堂—正整数拆分

大家可能会想：正整数拆分谁不会啊，2年级就会了，为啥要学啊

例题

正整数拆分有好几种，这里我们列举两种讲。

关系

我们看着第一幅图，头向左转90°，记住你看到的图，再来看第二幅图，你会惊奇的发现：第一幅图向左转90°就变成了第二幅图！因此，我们做出来一道题，就能推出另外一题。这种情况我们称之为Ferrers图

例2

我们先思考状态定义：f $i$ $j$ 表示把i恰好分成j个正整数的方案数

后面考虑状态转移方程，第一步先列表格。

我相信聪明的你们已经发现了规律：f $9$ $4$ =1+2+2+1（i=5那行）f $8$ $3$ =1+2+1（i=5那行的前4个）

后面，我们用数学方法推导一下规律：

因此得到状态转移方程：f $i$ $j$ =f $i-j$ $1$ +f $i-j$ $2$ +......+f $i-j$ $j$ ，但是时间复杂度为O(n^3)。于是我们进行优化。

我们看到f $i-j$ $1$ +f $i-j$ $2$ +......+f $i-j$ $j-1$ =f $i-1$ $j-1$ ，为什么因为根据前面的状态转移方程，f $i-1$ $j-1$ 等于f $i-j$ $1$ +f $i-j$ $2$ +......+f $i-j$ $j-1$ 。最后，我们的状态转移方程变为f $i$ $j$ =f $i-1$ $j-1$ +f $i-j$ $j$ ！

最后给个代码，

cpp 复制代码

cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=1;
for(int j=2;j<=m;j++)
	for(int i=j;i<=n;i++)
		f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
cout<<f[n][n]<<endl;

变种

太戈编程习题

456. 数的划分

题目描述

将整数n分成k份，且每份不能为空。任意两个方案不能相同(不考虑顺序)。例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。 1,1,5;1,5,1;5,1,1; 问有多少种不同的分法。

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 210
#define K 16
int n,k,f[N][K];
int main(){
	freopen("partition.in","r",stdin);
	freopen("partition.out","w",stdout);
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][1]=1;
	for(int j=2;j<=k;j++)
		for(int i=j;i<=n;i++)
			f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
	cout<<f[n][k]<<endl;
	return 0;
}

457. 训练计划

题目描述

要想成为编程高手，必须独立编程n个小时。作为编程教练，你希望为孩子们设计一套训练计划，将n个小时拆分成若干天完成。已知每天最多安排不能超过k小时，你的训练计划要求每天的训练量不能出现下降。请问一共有多少种训练方案？

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 350
#define K 34
long long n,k,f[N][K];
int main(){
	freopen("training.in","r",stdin);
	freopen("training.out","w",stdout);
	cin>>n>>k;
	for(long long i=1;i<=n;i++) f[i][1]=1;
	for(long long j=2;j<=k;j++)
		for(long long i=j;i<=n;i++)
			f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
	long long ans=0;
	for(long long i=1;i<=k;i++)
		ans+=f[n][i];
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

希望大家可以点个赞、关个住，谢谢o(*^＠^*)o