提高和降低张量索引
同样，使用的是非标准的符号。
我们对V和
熟悉，一个是向量所在的空间，一个是协向量所在的 对偶空间 ，
有一个问题：
有何办法能在V的向量与 的协向量之间 建立对应的关系？
换句话说， 有何方法可以让我们在V中获取一个向量 并在 中找到它的"伙伴"(partner)？
首先尝试的方法是利用基底，（但是该方法不行）
会存在问题。
原因： 考虑改变基底的情况，
问题在于，虽然基向量是协变的，
所以当我们从旧基转到新基时，
我们使用正向变换来变换基向量，
而基协向量是逆变的，
因此，
从新基 转换到旧基 ，
使用的是反向变换来转，
这个系数匹配就不好，不是相同的。
尝试方法2：
用一个向量v点乘另一个向量， 得到一个协向量？？？？？
v·v = 协向量？ 两向量点乘是把对应位置的分量相乘再求和， 得到一个实数， 实数怎么是协向量(长得跟行向量一样)？？
事实证明，确实是
首先，若横线是输入向量，毫无疑问是输出数，那就是一个从V到R的函数。
但是的成员不能只是从向量到标量的任何旧函数， 它们还必须是线性的，
所以，需要利用点积的性质，证明该函数是线性的，。
上图左侧就证明了
__ 是线性的， 这意味着 它确实是
？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？不明所以
难道是： 协向量是像个行向量一样， 协向量 · 向量 = 实数， 且服从缩放、加法规则。
上图左侧是 协向量的使用， 右侧是 __ 的使用， 它们在使用上是一样的。
原来使用基底的方法， 无法实现变化时只改变向量或协向量， 系数的变换不一致；
而新方法，其变化时， 系数的变化是一致的。向量及其协向量伙伴将始终以相同的量增大或缩小。
既然有这种归属关系，那么我们就能将该协向量 用对偶基的线性组合来表示。
x究竟是多少？？？？
要弄清楚x，
回顾之前的内容：
v·w是通过向量 传递给 度量张量"g" 来给出的。
（因为度量张量g是对称的，所以那个计算顺序无所谓）
对__ 作相同的事，
于是，我们就知道如何获取协向量__ 的分量，
因此，作为一种替代表示法，
不将"g"与下标 j 写一起，*********就是如图：
就是这两边相等，可以选择其中一种表达式。
总而言之，向量V可以写为： 
它的伙伴协向量__可以写为：
与
之间的转换方式是对度量张量进行求和：
、 
需要注意的一点是：
只有在极其特殊的情况下，与
才会相等 。 上标跟下标的意义是不同的。
上面我们找到了从向量V找到其对应的伙伴协向量V*的方法，
如果我们要反过来呢？ 怎么找？
从左往右可以通过度量张量g ， 而 从右往左呢？
我们现在对度量张量定义其 逆。
对上面的所有 式子进行归总：
升高、降低索引的操作 就是 指 将变量的上下标之间的转化，
对于
， 就是利用度量张量(协变度量张量，因其分量是协变的)，将 变为了 ，也就是降低索引操作。
对于
， 就是利用逆度量张量(逆变度量张量， 因其分量是逆变的)，将
变为了 ， 也就是升高索引操作。
这种升高和降低操作不仅适用于向量和协向量分量，也可升高和降低其他张量分量的索引，
以下面张量Q为例：
事实证明，可在任何的张量分量上进行降低和升高索引操作，
向量的对应伙伴 协向量除了__这种表示方法 ， 还有其他的表示方法，
最后总结：
就那么