废话不多说，喊一句号子鼓励自己：程序员永不失业，程序员走向架构！本篇Blog的主题是【动态规划】，使用【数组】这个基本的数据结构来实现，这个高频题的站点是：CodeTop，筛选条件为：目标公司+最近一年+出现频率排序，由高到低的去牛客TOP101去找，只有两个地方都出现过才做这道题（CodeTop本身汇聚了LeetCode的来源），确保刷的题都是高频要面试考的题。
明确目标题后，附上题目链接，后期可以依据解题思路反复快速练习，题目按照题干的基本数据结构分类，且每个分类的第一篇必定是对基础数据结构的介绍。
编辑距离【HARD】
终于又来到一道看了很久的高频题目这里
题干
搞定了一系列的简单题，来个编辑距离练练手
解题思路
原题解地址，解决两个字符串的动态规划问题，一般都是用两个指针 i, j 分别指向两个字符串的最后，然后一步步往前移动，缩小问题的规模
设两个字符串分别为 rad 和 apple ，为了把 s1 变成 s2，算法会这样进行
暴力递归
base case 是 i 走完 s1 或 j 走完 s2，可以直接返回另一个字符串剩下的长度。对于每对儿字符 s1[i] 和 s2[j]，可以有四种操作：
java
if s1[i] == s2[j]:
啥都别做（skip）
i, j 同时向前移动
else:
三选一：
插入（insert）
删除（delete）
替换（replace）有这个框架，问题就已经解决了。读者也许会问，这个「三选一」到底该怎么选择呢？很简单，全试一遍，哪个操作最后得到的编辑距离最小，就选谁
java
int minDistance(String s1, String s2) {
int m = s1.length(), n = s2.length();
// i，j 初始化指向最后一个索引
return dp(s1, m - 1, s2, n - 1);
}
// 定义：返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离
int dp(String s1, int i, String s2, int j) {
// base case
if (i == -1) return j + 1;
if (j == -1) return i + 1;
if (s1.charAt(i) == s2.charAt(j)) {
return dp(s1, i - 1, s2, j - 1); // 啥都不做
}
return min(
dp(s1, i, s2, j - 1) + 1, // 插入
dp(s1, i - 1, s2, j) + 1, // 删除
dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1 // 替换
);
}
int min(int a, int b, int c) {
return Math.min(a, Math.min(b, c));
}情况一：什么都不做
java
if s1[i] == s2[j]:
return dp(s1, i - 1, s2, j - 1); # 啥都不做
# 解释：
# 本来就相等，不需要任何操作
# s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离等于
# s1[0..i-1] 和 s2[0..j-1] 的最小编辑距离
# 也就是说 dp(i, j) 等于 dp(i-1, j-1)如果 s1[i] != s2[j]，就要对三个操作递归了
情况二：插入操作
java
dp(s1, i, s2, j - 1) + 1, # 插入
# 解释：
# 我直接在 s1[i] 插入一个和 s2[j] 一样的字符
# 那么 s2[j] 就被匹配了，前移 j，继续跟 i 对比
# 别忘了操作数加一
插入操作
情况三：删除操作
java
dp(s1, i - 1, s2, j) + 1, # 删除
# 解释：
# 我直接把 s[i] 这个字符删掉
# 前移 i，继续跟 j 对比
# 操作数加一
情况四：替换操作
java
dp(s1, i - 1, s2, j - 1) + 1 # 替换
# 解释：
# 我直接把 s1[i] 替换成 s2[j]，这样它俩就匹配了
# 同时前移 i，j 继续对比
# 操作数加一
a字符被替换为p字符
java
int dp(i, j) {
dp(i - 1, j - 1); // #1
dp(i, j - 1); // #2
dp(i - 1, j); // #3
}对于子问题 dp(i-1, j-1)，如何通过原问题 dp(i, j) 得到呢？有不止一条路径，比如 dp(i, j) -> #1 和 dp(i, j) -> #2 -> #3。一旦发现一条重复路径，就说明存在巨量重复路径，也就是重叠子问题
动态规划
接下来用DP table来优化一下，降低重复子问题，首先明确 dp 数组的含义，dp 数组是一个二维数组，长这样
有了之前递归解法的铺垫，应该很容易理解。dp[..][0] 和 dp[0][..] 对应 base case，dp[i][j] 的含义和之前的 dp 函数类似
- 替换操作 ：word1的
0~i-1位置与word2的0~j-1位置的字符都相同,只是当前位置的字符不匹配,进行替换操作后两者变得相同dp[i-1][j-1]表示需要进行替换操作才能转到dp[i][j] ， 所以此时dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1(这个加1代表执行替换操作) - 删除操作 : 若此时word1的
0~i-1位置与word2的0~j位置已经匹配了,此时多出了word1的i位置字符,应把它删除掉,才能使此时word1的0~i(这个i是执行了删除操作后新的i)和word2的0~j位置匹配,因此此时dp[i][j]=dp[i-1][j]+1(这个加1代表执行删除操作) - 插入操作 :若此时word1的
0~i位置只是和word2的0~j-1位置匹配，此时只需要在原来的i位置后面插入一个和word2的j位置相同的字符使得此时的word1的0~i(这个i是执行了插入操作后新的i)和word2的0~j匹配得上,所以此时dp[i][j]=dp[i][j-1]+1(这个加1代表执行插入操作)
有了之前递归解法的铺垫，应该很容易理解。dp[..][0] 和 dp[0][..] 对应 base case，dp[i][j] 的含义和之前的 dp 函数类似
java
int dp(String s1, int i, String s2, int j)
// 返回 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离dp 函数的 base case 是 i, j 等于 -1，而数组索引至少是 0，所以 dp 数组会偏移一位
java
dp[i-1][j-1]
// 存储 s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离既然 dp 数组和递归 dp 函数含义一样，也就可以直接套用之前的思路写代码，唯一不同的是，DP table 是自底向上求解，递归解法是自顶向下求解
java
int minDistance(String s1, String s2) {
int m = s1.length(), n = s2.length();
// 定义：s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离是 dp[i+1][j+1]
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// base case
for (int i = 1; i <= m; i++)
dp[i][0] = i;
for (int j = 1; j <= n; j++)
dp[0][j] = j;
// 自底向上求解
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = min(
dp[i - 1][j] + 1,
dp[i][j - 1] + 1,
dp[i - 1][j - 1] + 1
);
}
}
}
// 储存着整个 s1 和 s2 的最小编辑距离
return dp[m][n];
}
int min(int a, int b, int c) {
return Math.min(a, Math.min(b, c));
}代码实现
给出代码实现基本档案
基本数据结构 ：数组
辅助数据结构 ：无
算法 ：动态规划
技巧 ：无
其中数据结构、算法和技巧分别来自：
- 10 个数据结构：数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie 树
- 10 个算法：递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法
- 技巧：双指针、滑动窗口、中心扩散
当然包括但不限于以上
java
import java.util.*;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
class Solution
{
// 编辑距离，返回两个字符串操作的最小距离
public int minDistance(String word1, String word2)
{
// 1 入参校验
if(word1.length() < 1 && word2.length() < 1)
{
return 0;
}
// 2 定义行列长度，word1作为竖，word2作为行
int m = word1.length();
int n = word2.length();
// 定义：s1[0..i] 和 s2[0..j] 的最小编辑距离是 dp[i+1][j+1]
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 4 初始化base case
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
dp[i][0] = i;
}
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
dp[0][j] = j;
}
// 5 状态转移方程:自底向上求解，从头开始比较，i=0和j=0的位置初始化为基本操作数
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
if(word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1))
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}else
{
dp[i][j] = minCompare(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
private int minCompare(int a, int b, int c)
{
return Math.min(a, Math.min(b, c));
}
}
- 第一行，是 word1 为空，变成 word2 最少步数，就是插入操作
- 第一列，是 word2 为空，word1要变为word2(也就是空)需要的最少步数，就是删除操作
java
(一)、当word1[i]==word2[j]时,由于遍历到了i和j,说明word1的0~i-1和word2的0~j-1的匹配结果已经生成,
由于当前两个字符相同,因此无需做任何操作,dp[i][j]=dp[i-1][j-1]
(二)、当word1[i]!=word2[j]时,可以进行的操作有3个:
① 替换操作:可能word1的0~i-1位置与word2的0~j-1位置的字符都相同,
只是当前位置的字符不匹配,进行替换操作后两者变得相同,
所以此时dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1(这个加1代表执行替换操作)
②删除操作:若此时word1的0~i-1位置与word2的0~j位置已经匹配了,
此时多出了word1的i位置字符,应把它删除掉,才能使此时word1的0~i(这个i是执行了删除操作后新的i)
和word2的0~j位置匹配,因此此时dp[i][j]=dp[i-1][j]+1(这个加1代表执行删除操作)
③插入操作:若此时word1的0~i位置只是和word2的0~j-1位置匹配,
此时只需要在原来的i位置后面插入一个和word2的j位置相同的字符使得
此时的word1的0~i(这个i是执行了插入操作后新的i)和word2的0~j匹配得上,
所以此时dp[i][j]=dp[i][j-1]+1(这个加1代表执行插入操作)
④由于题目所要求的是要最少的操作数:所以当word1[i] != word2[j] 时,
需要在这三个操作中选取一个最小的值赋格当前的dp[i][j]
(三)总结:状态方程为:
if(word1[i] == word2[j]):
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
else:
min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1])+1
PS:大佬的代码中word1.charAt(i-1)==word2.charAt(j-1)的原因是:
初始化DP Table时dp[i][0]和dp[0][j]已经填写完成,所以接下来填表需要从1开始,
但是字符的比较需要从0开始,因此才这样子写复杂度分析
时间复杂度：O(N^2) ，这里 N 是数组的长度，我们写了两个 for 循环，每个 for 循环的时间复杂度都是线性的；
空间复杂度：O(N)，要使用和输入数组长度相等的状态数组，因此空间复杂度是 O(N)。