链表
链表是一种常见的数据结构，用于存储线性序列。与数组不同，链表中的元素在内存中不是连续存储的，而是通过指针相连。链表由一个头指针指向链表的第一个节点，每个节点包含两个部分：数据域和指针域。数据域存储节点的数据，指针域指向下一个节点的地址。
链表有多种类型：
- 单向链表中每个节点只有一个指针域，指向下一个节点；
- 双向链表中每个节点有两个指针域，一个指向前一个节点，一个指向后一个节点；
- 环形链表中最后一个节点的指针域指向头节点，形成一个环。
环形链表
环形链表问题是一类非常经典的链表问题，给定一个单向链表，判断这个链表是否存在环或者环的状态。
这类问题通常有两种解法。
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快慢指针法：使用两个指针，一个快指针和一个慢指针，快指针每次移动两个节点，慢指针每次移动一个节点，如果链表中存在环，则快指针最终会追上慢指针，否则快指针会到达链表末尾结束。这个算法的时间复杂度是 O(n)，其中 n 是链表的长度。
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哈希表法：遍历链表中的每个节点，每访问一个节点就将它存储到哈希表中，如果访问到了哈希表中已经存在的节点，说明链表中存在环。这个算法的时间复杂度也是 O(n)，其中 n 是链表的长度，但需要额外的空间来存储哈希表。
快慢指针法其实就是 Floyd 判圈算法，接下来我们详细介绍一下：
Floyd判圈算法
Floyd判圈算法（又称龟兔赛跑算法）是一种快速检测链表中是否存在环的算法。该算法使用两个指针，一个慢指针和一个快指针，从链表头部开始同时向后遍历链表，每次快指针比慢指针多走一步，直到快指针走到链表末尾或者两个指针相遇。
如果链表中不存在环，那么快指针最终会走到链表的末尾，算法结束。如果链表中存在环，那么快指针最终会在环内与慢指针相遇，算法会返回存在环的结论。
该算法的时间复杂度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O ( n ) O(n) </math>O(n)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> n n </math>n 是链表的长度。由于该算法使用的是常数级别的额外空间，因此它是一种空间复杂度比较优秀的算法。
Floyd 判圈算法的正确性可以通过数学归纳法来证明。
假设链表中存在环，且环的长度为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k k </math>k。设慢指针走了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x x </math>x 步后进入环，快指针走了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 2 x 2x </math>2x 步后进入环。设快指针比慢指针多走了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y y </math>y 圈（ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y ≥ 1 y\geq 1 </math>y≥1），则有：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 2 x = x + k y + z 2x=x+ky+z </math>2x=x+ky+z
其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z z </math>z 表示慢指针在环内走的步数。因为快指针的速度是慢指针的两倍，所以可以得到：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> z = k − x % k z=k − x \% k </math>z=k−x%k
也就是说，慢指针在环内走了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k − x % k k - x \% k </math>k−x%k 步。由于 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 ≤ x % k < k 0\leq x \% k < k </math>0≤x%k<k，因此 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 ≤ k − x % k < k 0\leq k - x \% k < k </math>0≤k−x%k<k，所以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z > 0 z > 0 </math>z>0 且 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z < k z < k </math>z<k。
因为快指针每次走两步，所以 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z z </math>z 的取值只有 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k k </math>k 种可能。当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z = 0 z=0 </math>z=0 时，表示快指针与慢指针相遇，此时算法会返回存在环的结论；当 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z ≠ 0 z\neq 0 </math>z=0 时，表示快指针和慢指针在环内继续前进，由于快指针比慢指针多走了一圈，因此可以将 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x x </math>x 的值更新为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k − z k - z </math>k−z，这样快指针和慢指针都在环内距离环入口的距离为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k − z k - z </math>k−z，再次相遇的位置就是环的入口。
由此可见，Floyd 判圈算法的正确性是得到了保证的。