文章目录
- 一、参数估计量的评价标准
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- [1.1 无偏性](#1.1 无偏性)
- [1.2 有效性](#1.2 有效性)
- [1.3 一致性](#1.3 一致性)
- 二、一个正态总体参数的双侧区间估计
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- [2.1 对参数 μ \mu μ 的双侧区间估计](#2.1 对参数 μ \mu μ 的双侧区间估计)
- 三、一个正态总体的单侧置信区间
- 四、两个正态总体的双侧置信区间
- 写在最后
一、参数估计量的评价标准
1.1 无偏性
设 X X X 为总体， ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots ,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本， θ \theta θ 为未知参数，设 θ ^ = φ ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) \widehat{\theta}=\varphi(X_1,X_2,\cdots,X_n) θ =φ(X1,X2,⋯,Xn) 为参数 θ \theta θ 的一个点估计量，若 E ( θ ^ ) = θ E(\widehat{\theta})=\theta E(θ )=θ ，称 θ ^ \widehat{\theta} θ 为参数 θ \theta θ 的无偏估计量。
【例】 设总体 X X X 的密度函数为 f ( x ) = { 2 x / θ 2 0 < x < θ 0 e l s e f(x)=\begin{cases} 2x/\theta^2 & 0<x<\theta \\ 0 &else\end{cases} f(x)={2x/θ200<x<θelse ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本。
（1）求参数 θ \theta θ 的矩估计量；（2）求参数 θ \theta θ 的最大似然估计量；（3）矩估计量是否为无偏估计。
解： （1） E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = 2 θ / 3 E(X)=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx=2\theta/3 E(X)=∫−∞∞xf(x)dx=2θ/3 ，令 2 θ / 3 = X ‾ 2\theta/3=\overline{X} 2θ/3=X ，则可得矩估计量 θ ^ = 3 X ‾ 2 . \widehat{\theta}=\frac{3\overline{X}}{2}. θ =23X. （2）构造似然函数 L ( θ ) = f ( x 1 ) f ( x 2 ) ⋯ f ( x n ) = 2 n θ 2 n x 1 x 2 ⋯ x n ( 0 < x i < θ , i = 1 , 2 , ⋯ , n ) . d ln L d θ = − 2 n θ < 0. L(\theta)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)=\frac{2^n}{\theta^{2n}}x_1x_2\cdots x_n(0<x_i<\theta,i=1,2,\cdots,n).\\ \frac{d\ln L}{d\theta}=-\frac{2n}{\theta}<0. L(θ)=f(x1)f(x2)⋯f(xn)=θ2n2nx1x2⋯xn(0<xi<θ,i=1,2,⋯,n).dθdlnL=−θ2n<0. 可知 L ( θ ) L(\theta) L(θ) 是 θ \theta θ 的减函数，因此最大似然估计量 θ ^ = max { X 1 , X 2 , ⋯ , X n } \widehat{\theta}=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} θ =max{X1,X2,⋯,Xn} 。
（3） E ( θ ^ ) = 3 / 2 ⋅ E ( X ‾ ) = 3 / 2 ⋅ 2 θ / 3 = θ E(\widehat{\theta})=3/2\cdot E(\overline{X})=3/2\cdot2\theta/3=\theta E(θ )=3/2⋅E(X)=3/2⋅2θ/3=θ ，故是无偏估计量。
1.2 有效性
设 X X X 为总体， ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots ,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本， θ \theta θ 为未知参数，设 θ ^ 1 , θ ^ 2 \widehat{\theta}_1,\widehat{\theta}_2 θ 1,θ 2 都是参数 θ \theta θ 的无偏估计量，若 D ( θ ^ 1 ) < D ( θ ^ 2 ) D(\widehat{\theta}_1)<D(\widehat{\theta}_2) D(θ 1)<D(θ 2) ，称 θ ^ 1 \widehat{\theta}_1 θ 1 为更有效的参数估计量。
1.3 一致性
设 X X X 为总体， ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots ,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本， θ \theta θ 为未知参数，设 θ ^ = φ ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) \widehat{\theta}=\varphi(X_1,X_2,\cdots,X_n) θ =φ(X1,X2,⋯,Xn) 为参数 θ \theta θ 的一个估计量，若对任意 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0 ，有 lim n → ∞ P { ∣ θ ^ − θ ∣ < ϵ } = 1 \lim_{n\to\infty}P\{|\widehat{\theta}-\theta|<\epsilon\}=1 n→∞limP{∣θ −θ∣<ϵ}=1 称 θ ^ \widehat{\theta} θ 作为 θ \theta θ 的估计量具有一致性（或相合性）。
二、一个正态总体参数的双侧区间估计
前面我们所学的两种方法为点估计法，即只能得到一个值，但实际上我们并非需要那么精确，况且点估计出来也不一定好，因此我们最好是估计一个区间范围。
2.1 对参数 μ \mu μ 的双侧区间估计
设 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2) 为总体， ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) (X_1,X_2,\cdots ,X_n) (X1,X2,⋯,Xn) 为来自总体 X X X 的简单随机样本， 0 < α < 1 0<\alpha<1 0<α<1 ，求参数的置信度为 1 − α 1-\alpha 1−α 的双侧置信区间。
1. 参数 σ 2 \sigma^2 σ2 已知
对 X ‾ \overline{X} X 标准化为标准正态分布，令其在 − z α 2 -z_{\alpha\over 2} −z2α 和 z α 2 z_{\alpha\over 2} z2α 内的概率为 1 − α 1-\alpha 1−α，可求出置信区间为 ( X ‾ − σ n z α 2 , X ‾ + σ n z α 2 ) \bigg(\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2},\overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2}\bigg) (X−n σz2α,X+n σz2α) 2. 参数 σ 2 \sigma^2 σ2 未知
则利用 t t t 分布，即取 X ‾ − μ S n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\sim t(n-1) n SX−μ∼t(n−1) 令其在 ( − t α 2 ( n − 1 ) , t α 2 ( n − 1 ) ) (-t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)) (−t2α(n−1),t2α(n−1)) 的概率为 1 − α 1-\alpha 1−α ，可计算出置信区间为 ( X ‾ − S n t α 2 ( n − 1 ) , X ‾ + S n t α 2 ( n − 1 ) ) \bigg(\overline{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha\over2}(n-1),\overline{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha\over2}(n-1)\bigg) (X−n St2α(n−1),X+n St2α(n−1)) 此外还有对 σ 2 \sigma^2 σ2 的区间估计，汇总成下表：
三、一个正态总体的单侧置信区间
其实单侧也就是双侧的区间取一端，如估计 μ \mu μ 且 σ 2 \sigma^2 σ2 已知，单侧置信区间为： ( X ‾ − σ n z α 2 , + ∞ ) , ( − ∞ , X ‾ + σ n z α 2 ) \bigg(\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2},+\infty\bigg),\bigg(-\infty,\overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha\over2}\bigg) (X−n σz2α,+∞),(−∞,X+n σz2α) 其余以此类推。
四、两个正态总体的双侧置信区间
汇总成表：
其中 S w = ( m − 1 ) S 1 2 + ( n − 1 ) S 2 2 m + n − 2 S_w=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2} Sw=m+n−2(m−1)S12+(n−1)S22
写在最后
看了下大纲，对区间估计的概念和一个、两个正态总体的置信区间公式作了理解要求，后期抽时间记忆记忆。