博主首次发布于CSDN，禁止转载！（CSDN：汉密士2025）
文章目录
一、缘起
该篇博文中所有的线性代数习题均来自哔哩哔哩的UP主自制公开课《俗说矩阵》，UP名为"晓之车高山老师"。该课程本人于2023年一集集看完，后续又将视频中的题目收录到个人习题本上，于今日正式上传个人CSDN博文内，望后来的读者无需再为线性代数的学习资料而忧心。
在我心中共有两门神课是最适合大一新生入门学习线性代数的网络课程：
- 《线性代数的本质》，UP主：3Blue1Brown；
- 《俗说矩阵》 ，UP主：晓之车高山老师。（注：我学的是2023年的老课程，高山老师的俗说矩阵课已经在出下一代更新体系的课程，他也即将为这套课程出书了！！！）
前者为初学者建立几何直观，后者为初学者为工科学生和考研学子打下扎实的基础，两者相辅相成。我刚刚又去哔哩哔哩看了一下《线性代数的本质》系列的发布日期，原来第一集是2016年8月24日发布的，还有4个月14天就要九年了，时间过得真快呀......
｜《俗说矩阵》课程目录照片存档
｜线性代数学习脉络
注：该图来自上述课程图片中的"第49集、总结与展望"。
｜线代习题集封面存档
｜未来------我与线性代数的纠缠
我和线性代数的事还没结束，后面就是标准数学系的高等代数的内容了。个人的《线性代数的本质》与《微积分的本质》两个系列的笔记，书籍《线性代数的几何意义》、《高等代数简明教程（三册）》、《高等代数典型问题与方法》，还有那一套清华大学的线性代数网络公开课（我现在感觉那套课分明是"矩阵论"）......一切的一切我会在未来一点一点慢慢解决！
高等代数是数学系大一、大二的基础重点课，为后续高阶的数理课打下了基础，但这并不代表它简单。下面是我个人收录的脉络文章，它们全部都收集到了我个人的"线性代数【精品】"专栏里，愿为后来者开辟学习道路。
- 线代[12]｜《高等几何》陈绍菱（1984.9）（文末有对三大空间的分析及一个合格数学系毕业生的要求）
- 线代[11]｜《高等代数》刘云英（1984.9）
- 线代[10]｜《空间解析几何》陈绍菱（1984.9）
- 线代[9]｜线性代数主要内容及其发展简史（任广千《线性代数的几何意义》的附录1）
- 线代[8]｜北大丘维声教授《怎样学习线性代数？》（红色字体为博主本人注释）
二、线性代数习题37道
1、已知 x + 5 y + 3 z = 3 , 2 x + 8 y + 5 z = 9 x+5y+3z=3,2x+8y+5z=9 x+5y+3z=3,2x+8y+5z=9，求 x + y + z x+y+z x+y+z 的值？（《俗说矩阵》第5节：矩阵求解线性方程组）
解： 由题意可知，存在 x 、 y 、 z x、y、z x、y、z 使题目中两个等式成立，设 x + y + z = k x+y+z=k x+y+z=k ，则以下的非齐次线性方程组必然有解，对于非齐次线性方程组有解的条件是增广矩阵的秩和系数矩阵的秩(rank)相等，即 { x + 5 y + 3 z = 3 2 x + 8 y + 5 z = 9 x + y + z = k \begin{cases}x+5y+3z=3\\2x+8y+5z=9\\x+y+z=k\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x+5y+3z=32x+8y+5z=9x+y+z=k根据该方程组写出增广矩阵形式并进行初等行变换化为阶梯形矩阵，即 A ∣ b = [ 1 5 3 3 2 8 5 9 1 1 1 k ] → [ 1 5 3 3 0 2 1 − 3 0 0 0 9 − k ] {A|b=\left[\begin{array}{ccc|c}1&5&3&3\\2&8&5&9\\1&1&1&k\end{array}\right]}\rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1&5&3&3\\0&2&1&-3\\0&0&0&{9-k}\end{array}\right] A∣b= 12158135139k → 1005203103−39−k 若 9 − k ≠ 0 9-k\ne 0 9−k=0，则 r ( A ∣ b ) ≠ r ( A ) r(A|b)\ne r(A) r(A∣b)=r(A)，非齐次线性方组程无解，与题意中所设的方程组有解矛盾，故必有 9 − k = 0 9-k=0 9−k=0，有 k = 9 k=9 k=9，即 x + y + z = 9 x+y+z=9 x+y+z=9 。
2、求证3个不共线且横坐标两两不同的点 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 、 ( x 3 , y 3 ) (x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3) (x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3) 可以确定唯一的二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^{2}+bx+c(a \ne 0) y=ax2+bx+c(a=0) ？（《俗说矩阵》第5节：矩阵求解线性方程组）
3、请计算矩阵 B = ( 1 2 1 − 1 0 1 ) B=\begin{pmatrix}1\\ 2 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} B= 12−1101 ( 5 0 3 0 1 1 0 0 0 ) \begin{pmatrix}5 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} 500010310 的四个子空间，同时将其各自代数化表达？
点击博主的博文《线代[3]｜从增广矩阵漫谈矩阵转置的代数与几何意义------四个子空间的基底相互转化》阅读文章"五、以MIT线性代数习题公开课第11题为串联脉络"。对于四个基本子空间的代数表达请阅读"四、向量子空间（subspace）"。
4、 R n → R m R^{n} \rightarrow R^{m} Rn→Rm ，线性变换 ⇌ \rightleftharpoons ⇌ 矩阵变换，这个对应关系的笼统表达是什么？（任广千《线性代数的几何意义》P130。）
T ( α + β ) = T ( α ) + T ( β ) , ( α , β ∈ V ) T(\alpha+\beta)=T(\alpha)+T(\beta),(\alpha,\beta\in V) T(α+β)=T(α)+T(β),(α,β∈V)， T ( k α ) = k T ( α ) T(k\alpha)=kT(\alpha) T(kα)=kT(α)
I、线性变换的和对应矩阵的和；
II、线性变换的乘积对应矩阵的乘积；
III、线性变换的数量积对应矩阵的数量乘积；
IV、线性变换的逆对应矩阵的逆。
5、 A A A 是二阶方阵，矩阵 P = ( α , A α ) , α ≠ 0 P=(\alpha,A\alpha),\alpha \ne0 P=(α,Aα),α=0 且不是 A A A 的特征向量，证明 P P P 是可逆矩阵？（ ∗ \ast ∗提示：矩阵 P 可逆的充要条件是 P 的列向量线性无关，即 r ( p ) = n r(p)=n r(p)=n，即证明 α \alpha α 和 A α A\alpha Aα线性无关。（《俗说矩阵》第40节：特征值于特征向量<应用篇>。）
反证法： 假设矩阵 P P P 不可逆，则 α \alpha α 和 A α A\alpha Aα 线性相关，故设 k 1 、 k 2 k_1、k_2 k1、k2 不全为零使 k 1 α + k 2 A α = 0 k_1\alpha+k_2A\alpha=0 k1α+k2Aα=0 。若 k 2 = 0 k_2=0 k2=0，则 k 1 ≠ 0 k_1\ne0 k1=0，代入 k 2 = 0 k_2=0 k2=0，故 k 1 α = 0 k_1\alpha=0 k1α=0，即只能是 α = 0 \alpha=0 α=0，与题目中 α = 0 \alpha=0 α=0 矛盾，所以 k 2 ≠ 0 k_2\ne0 k2=0。
在 k 2 ≠ 0 k_2\ne0 k2=0 的条件下，对等式 k 1 α + k 2 α = 0 k_1\alpha+k_2\alpha=0 k1α+k2α=0 变形 A α = − k 1 k 2 α . A\alpha=-\frac{k_1}{k_2}\alpha . Aα=−k2k1α. 等式表明矩阵 A A A 对向量 α \alpha α 的映射呈现出对向量 α \alpha α 伸缩变换，故 α \alpha α 是 A A A 的特征向量，与题中 α \alpha α 不为 A A A 的特征向量矛盾，与证明开头时设 P P P 为不可逆矩阵相矛盾，故 P P P 必为可逆矩阵，证毕。
6、 一组基为 C 1 = ( 1 , 1 , 2 ) T , C 2 = ( 1 , 2 , 4 ) T , C 3 = ( 2 , 3 , 5 ) T C_1=(1,1,2)^{T},C_2=(1,2,4)^{T},C_3=(2,3,5)^{T} C1=(1,1,2)T,C2=(1,2,4)T,C3=(2,3,5)T，另一组基为 d 1 = ( 0 , 1 , 1 ) T , d 2 = ( 1 , 1 , 1 ) T , d 3 = ( 3 , 0 , 1 ) T d_1=(0,1,1)^{T},d_2=(1,1,1)^{T},d_3=(3,0,1)^{T} d1=(0,1,1)T,d2=(1,1,1)T,d3=(3,0,1)T。已知某个线性变换在基 C C C 下的矩阵为 A = ( 1 2 3 1 3 4 2 3 0 ) A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 0\end{pmatrix} A= 112233340 ，求该线性变换在基 D D D下的矩阵 B B B ？（来源《俗说矩阵》第41节：相似矩阵。）
解： 对于基矩阵 C = ( 1 1 2 1 2 3 2 4 5 ) C=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&2&3\\2&4&5\end{pmatrix} C= 112124235 与基矩阵 D = ( 0 1 3 1 1 0 1 1 1 ) D=\begin{pmatrix}0&1&3\\1&1&0\\1&1&1\end{pmatrix} D= 011111301 之间必然存在一个过渡矩阵 P P P ，使得 D = C P D=CP D=CP ，且 P = C − 1 D P=C^{-1}D P=C−1D。求矩阵 C C C 的逆矩阵 C − 1 C^{-1} C−1 ，三步走：
- 一、行列式 ∣ C ∣ = 1 × ∣ 2 3 4 5 ∣ − 1 × ∣ 1 3 2 5 ∣ + 2 × ∣ 1 2 2 4 ∣ = − 1 ≠ 0 \left|C\right|=1\times\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&3\\2&5\end{vmatrix}+2\times\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}=-1\ne 0 ∣C∣=1× 2435 −1× 1235 +2× 1224 =−1=0，因矩阵 C C C 的行列式不为零，故存在逆矩阵 C − 1 C^{-1} C−1 。
- 二、求矩阵 C C C 的伴随矩阵。 C ∗ = ( A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33 ) = ( − 2 3 − 1 1 1 − 1 0 − 2 1 ) C^{\ast}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&{A_{31}}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&3&-1\\1&1&-1\\0&-2&1\end{pmatrix} C∗= A11A12A13A21A22A23A31A32A33 = −21031−2−1−11
- 三、求逆矩阵 C − 1 = 1 ∣ C ∣ C ∗ = ( 2 − 3 1 − 1 − 1 1 0 − 2 − 1 ) C^{-1}=\frac{1}{\left|C\right|}C^{\ast}=\begin{pmatrix}2&-3&1\\-1&-1&1\\0&-2&-1\end{pmatrix} C−1=∣C∣1C∗= 2−10−3−1−211−1
过渡矩阵 P = C − 1 D = ( − 2 0 7 0 − 1 − 2 1 1 − 1 ) P=C^{-1}D=\begin{pmatrix}-2&0&7\\0&-1&-2\\1&1&-1\end{pmatrix} P=C−1D= −2010−117−2−1 ，有逆矩阵 P − 1 = ( 3 7 7 − 2 − 5 − 4 1 2 2 ) P^{-1}=\begin{pmatrix}3&7&7\\-2&-5&-4\\1&2&2\end{pmatrix} P−1= 3−217−527−42 ，故 B = P − 1 A P = ( − 11 − 11 35 4 5 − 17 − 3 − 3 10 ) B=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}-11&-11&35\\4&5&-17\\-3&-3&10\end{pmatrix} B=P−1AP= −114−3−115−335−1710 。
博主：现在是数学软件和人工智能的时代了，你仅仅只需了解算法原理，其余的交给计算机的吧。考试躲避不了，那是考察筛选的方式太落后了。（2025.4.7 23:16）
7、请验证以下方程 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + 3 x 2 2 = 1 x_1^{2}+2x_{1}x_{2}+3x_2^{2}=1 x12+2x1x2+3x22=1 表示一个椭圆，并求出长半轴、短半轴的长度？（《俗说矩阵》第46节：二次型和圆锥曲线。）
解： a = 1 、 c = 3 、 b 2 − 4 a c = − 8 < 0 、 a + c > 0 a=1、c=3、b^{2}-4ac=-8\lt0、a+c\gt0 a=1、c=3、b2−4ac=−8<0、a+c>0 。根据 ++判别式的分类++ 可知，方程 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + 3 x 2 2 = 1 x_1^{2}+2x_{1}x_{2}+3x_2^{2}=1 x12+2x1x2+3x22=1 表示一个椭圆，可化为 ( x 1 x 2 ) ( 1 1 1 3 ) ( x 1 x 2 ) = 1 \begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=1 (x1x2)(1113)(x1x2)=1。
求中间矩阵的特征值 ∣ λ − 1 − 1 − 1 λ − 3 ∣ = λ 2 − 4 λ + 2 = 0 \begin{vmatrix}\lambda-1&-1\\-1&\lambda-3\end{vmatrix}=\lambda^2-4\lambda+2=0 λ−1−1−1λ−3 =λ2−4λ+2=0，解得 { λ 1 = 2 − 2 λ 2 = 2 + 2 \begin{cases}\lambda_1=2-\sqrt{2}\\\lambda_2=2+\sqrt{2}\end{cases} {λ1=2−2 λ2=2+2 。
以 y 1 、 y 2 y_1、y_2 y1、y2 为坐标，将椭圆化成标准方程，因正交变换不改变曲线的形状和伸缩比值，故方程的结果仍旧是 1，即 ( 2 − 2 ) y 1 2 + ( 2 + 2 2 ) y 2 2 = 1 (2-\sqrt{2})y_1^2+(2+2\sqrt{2})y_2^2=1 (2−2 )y12+(2+22 )y22=1，将其凑成椭圆方恒形式，即 y 1 2 ( 1 2 − 2 2 ) 2 + y 2 2 ( 1 2 + 2 2 ) 2 = y 1 2 a 0 2 + y 2 2 b 0 2 = 1 \frac{y_1^{2}}{(\sqrt{\frac{1}{2-2\sqrt{2}}})^2}+\frac{y_2^{2}}{(\sqrt{\frac{1}{2+2\sqrt{2}}})^2}=\frac{y_1^2}{a_0^2}+\frac{y_2^2}{b_0^2}=1 (2−22 1 )2y12+(2+22 1 )2y22=a02y12+b02y22=1。
注：长半轴为 a 0 = 1 2 − 2 a_0=\sqrt{\frac{1}{2-\sqrt{2}}} a0=2−2 1 ，短半轴 b 0 = 1 2 + 2 b_0=\sqrt{\frac{1}{2+\sqrt{2}}} b0=2+2 1 。
8、写出笛卡尔坐标系公式，极坐标系公式下，极坐标系下向量与角度的计算公式？
- 笛卡尔坐标公式 { r 1 = r cos θ r 2 = r sin θ \begin{cases}r_1=r\cos\theta\\r_2=r\sin\theta\end{cases} {r1=rcosθr2=rsinθ
- 极坐标公式 { r = a 2 + b 2 tan θ = r 2 r 1 \begin{cases}r=\sqrt{a^2+b^2}\\\tan\theta=\frac{r_2}{r_1}\end{cases} {r=a2+b2 tanθ=r1r2
- 极坐标下向量的模长与辐角计算 { r = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ( 18 0 ∘ − α ) θ = arctan ( r 1 sin θ 1 + r 2 sin θ 2 r 1 cos θ 1 + r 2 cos θ 2 ) \begin{cases}r=r_1^{2}+r_2^{2}-2r_1r_2\cos(180^{\circ}-\alpha)\\\theta=\arctan(\frac{r_1\sin\theta_1+r_2\sin\theta_2}{r_1\cos\theta_1+r_2\cos\theta_2})\end{cases} {r=r12+r22−2r1r2cos(180∘−α)θ=arctan(r1cosθ1+r2cosθ2r1sinθ1+r2sinθ2)
9、验证以下反比例函数和双勾函数的图像是双曲线，并使用二次型的合同相似变换法求出原点到两条曲线的最短距离？（《俗说矩阵》第46节：二次型和圆锥曲线）
I. y = 1 x y=\frac{1}{x} y=x1
II. y = x + 1 x y=x+\frac{1}{x} y=x+x1
解： 上述两个方程可化为 I. x 1 x 2 = 1 x_1x_2=1 x1x2=1，II、 − x 1 2 + x 1 x 2 -x_1^2+x_1x_2 −x12+x1x2=1
- 二次曲线类型判断 ：
- 方程 I 中 a = 0 , c = 0 , b = 1 a=0,c=0,b=1 a=0,c=0,b=1，故 Δ 1 = b 2 − 4 a c = 1 > 0 \Delta_1=b^2-4ac=1\gt0 Δ1=b2−4ac=1>0。
- 方程 II 中 a = − 1 , b = 1 , c = 0 a=-1,b=1,c=0 a=−1,b=1,c=0，故 Δ 2 = b 2 − 4 a c = 1 > 0 \Delta_2=b^2-4ac=1\gt0 Δ2=b2−4ac=1>0。
综上，因 Δ 1 、 Δ 2 \Delta_1、\Delta_2 Δ1、Δ2 均为正数，故两个方程均表示为双曲线。- 方程 I、 x 1 x 2 = 1 x_1x_2=1 x1x2=1 化为二次曲线形式 ( x 1 x 2 ) ( 0 1 2 1 2 0 ) ( x 1 x 2 ) = x T A x = 1 , \begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=x^{T}Ax=1, (x1x2)(021210)(x1x2)=xTAx=1, 其特征多项式为 ∣ λ − 1 2 − 1 2 λ ∣ = λ 2 − 1 4 = 0 \begin{vmatrix}\lambda&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-\frac{1}{4}=0 λ−21−21λ =λ2−41=0，解得 λ 1 = 1 2 , λ 2 = − 1 2 \lambda_1=\frac{1}{2},\lambda_2=-\frac{1}{2} λ1=21,λ2=−21。以 ( y 1 , y 2 ) (y_1,y_2) (y1,y2) 为坐标的标准方程： y 1 2 2 − y 2 2 2 = y 1 2 a 0 2 − y 2 2 b 0 2 ， \frac{y_1^2}{2}-\frac{y_2^2}{2}=\frac{y_1^2}{a_0^2}-\frac{y_2^2}{b_0^2}， 2y12−2y22=a02y12−b02y22， 即原点到曲线的最短距离就是半实轴长度 a 0 = 2 a_0=\sqrt{2} a0=2 。
- 方程 II、 − x 1 2 + x 1 x 2 = 1 -x_1^2+x_1x_2=1 −x12+x1x2=1 化为二次曲线形式 ( x 1 x 2 ) ( − 1 1 2 1 2 0 ) ( x 1 x 2 ) = x T A x = 1 \begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=x^TAx=1 (x1x2)(−121210)(x1x2)=xTAx=1 其特征多项式为 ∣ λ + 1 − 1 2 − 1 2 λ ∣ = λ 2 + λ − 1 4 = 0 \begin{vmatrix}\lambda+1&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2+\lambda-\frac{1}{4}=0 λ+1−21−21λ =λ2+λ−41=0，解得 λ 1 = 2 − 1 2 , λ 2 = − 2 + 1 2 \lambda_1=\frac{\sqrt{2}-1}{2},\lambda_2=-\frac{\sqrt{2}+1}{2} λ1=22 −1,λ2=−22 +1。以 ( y 1 , y 2 ) (y_1,y_2) (y1,y2) 为坐标的标准方程，： y 1 2 ( 2 2 − 1 ) 2 − y 2 2 ( 2 2 + 1 ) 2 = y 1 2 a 0 2 − y 2 2 b 0 2 ， \frac{y_1^2}{(\sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}-1}})^2}-\frac{y_2^2}{(\sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}+1}})^2}=\frac{y_1^2}{a_0^2}-\frac{y_2^2}{b_0^2}， (2 −12 )2y12−(2 +12 )2y22=a02y12−b02y22， 即原点到曲线的最短距离就是半实轴长度 a 0 = 2 2 − 1 = 2 2 + 2 a_0=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}-1}}=\sqrt{2\sqrt{2}}+2 a0=2 −12 =22 +2 。
博主：对于二次曲线和二次曲面的类型判别以后也许会单开一篇博文，但也许也不会，这些问题读者可以直接去问大模型。（2025.4.8 20:01）
10、求解齐次线性方程组 A x = 0 Ax=0 Ax=0 。（《俗说矩阵》第2节：求解齐次线性方程组）
- I. { x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 4 x 2 + 5 x 3 = 0 0 = 0 \begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\\ 4x_2+5x_3=0\\ 0=0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+3x3=04x2+5x3=00=0（注："0=0"意为存在一个非零行。）
解： 由方程组可得 x = ( − 1 2 x 3 − 5 4 x 3 x 3 ) = ( − 1 2 − 5 4 1 ) x 3 = k ( 2 5 − 4 ) x=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}x_3\\-\frac{5}{4}x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}\\1\end{pmatrix}x_3=k\begin{pmatrix}2\\5\\-4\end{pmatrix} x= −21x3−45x3x3 = −21−451 x3=k 25−4
- II. { x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 2 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 = 0 3 x 1 + 6 x 2 + 9 x 3 = 0 \begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\\ 2x_1+4x_2+6x_3=0\\ 3x_1+6x_2+9x_3=0 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+3x3=02x1+4x2+6x3=03x1+6x2+9x3=0
解： 由方程组可得 { x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 0 = 0 0 = 0 , \begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\\0=0\\0=0\end{cases}, ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+3x3=00=00=0, 得 x = ( − 2 x 2 − 3 x 3 x 2 x 3 ) = ( − 2 x 2 x 2 0 ) + ( − 3 x 3 0 x 3 ) = x 2 ( − 2 1 0 ) + x 3 ( − 3 0 1 ) = k 1 ( − 2 1 0 ) + k 2 ( − 3 0 1 ) x=\begin{pmatrix}-2x_2-3x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2\\x_2\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3x_3\\0\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix} x= −2x2−3x3x2x3 = −2x2x20 + −3x30x3 =x2 −210 +x3 −301 =k1 −210 +k2 −301
注：该线性方程组的几何意义是三维空间被压缩成为一个平面，这个个平面上的向量变成了零向量，其基础解系为 k 1 v 1 ⃗ + k 2 v ⃗ = 0 k_1\vec{v_1}+k_2\vec{v}=0 k1v1 +k2v =0，线性相关。
- III. A = ( 1 2 3 1 1 − 4 − 1 − 1 2 1 4 1 1 − 1 1 0 ) A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1\\ 1 & -4 & -1 & -1\\ 2 & 1 & 4 & 1\\ 1 &-1 & 1 & 0 \end{pmatrix} A= 11212−41−13−1411−110
解： 原矩阵化为 A = ( 1 2 3 1 0 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A=\begin{pmatrix}1&2&3&1\\0&3&2&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} A= 1000230032001100 ，可看出化为最简行阶梯形矩阵中只有两个主列，即该矩阵的秩为 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2，故 t = n − r ( A ) = 2 t=n-r(A)=2 t=n−r(A)=2（意为两个自由变量），得出 { x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 = 0 3 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0 0 = 0 0 = 0 \begin{cases}x_1+2x_2+3x_3+x_4=0\\3x_2+2x_3+x_4=0\\0=0\\0=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2+3x3+x4=03x2+2x3+x4=00=00=0
对该方程组进行正交赋值：
- 1、令 x 3 = 1 ， x 4 = 0 , x_3=1，x_4=0, x3=1，x4=0, 故 { x 1 = − 5 3 x 2 = − 2 3 \begin{cases}x_1=-\frac{5}{3}\\x_2=-\frac{2}{3}\end{cases} {x1=−35x2=−32，得 ξ 1 = ( 5 2 − 3 0 ) \xi_1=\begin{pmatrix}5\\2\\-3\\0\end{pmatrix} ξ1= 52−30
- 2、令 x 3 = 0 ， x 4 = 1 , x_3=0，x_4=1, x3=0，x4=1, 故 { x 1 = − 1 3 x 2 = − 1 3 \begin{cases}x_1=-\frac{1}{3}\\x_2=-\frac{1}{3}\end{cases} {x1=−31x2=−31，得 ξ 2 = ( 1 1 0 3 ) \xi_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\3\end{pmatrix} ξ2= 1103
综上所述，通解为 x = k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 = k 1 ( 5 2 − 3 0 ) + k 2 ( 1 1 0 3 ) x=k_1\xi_1+k_2\xi_2=k_1\begin{pmatrix}5\\2\\-3\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\\3\end{pmatrix} x=k1ξ1+k2ξ2=k1 52−30 +k2 1103 。
11、证明逆矩阵的唯一性？
证明： 设矩阵A的逆矩阵不唯一，有 A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E， A C = C A = E AC=CA=E AC=CA=E 。因 B = B E = B ( A C ) = ( B A ) C = E C = C B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C，证毕。
12、二阶矩阵 A = ( a b c d ) A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix} A=(acbd) 的速算法则？
解： A = ( a b c d ) ⇒ A − 1 = 1 a d − c b ( d − b − c a ) = 1 ∣ A ∣ A ∗ A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{ad-cb}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}=\frac{1}{|A|}A^{\ast} A=(acbd)⇒A−1=ad−cb1(d−c−ba)=∣A∣1A∗
13、计算 D = ∣ 4 3 2 5 5 5 18 13 9 ∣ D=\begin{vmatrix}4&3&2\\5&5&5\\18&13&9\end{vmatrix} D= 45183513259 （第13、14题来自《俗说矩阵》第17节：行列式化简。）
14、 计算 D = ∣ a 0 1 1 0 a 1 − 1 − 1 1 a 0 1 − 1 0 a ∣ D=\begin{vmatrix}a&0&1&1\\0&a&1&-1\\-1&1&a&0\\1&-1&0&a\end{vmatrix} D= a0−110a1−111a01−10a ?
15、求矩阵 A = ( 1 2 4 1 1 3 2 3 5 ) A=\begin{pmatrix}1&2&4\\1&1&3\\2&3&5\end{pmatrix} A= 112213435 的伴随矩阵 A ∗ A^{\ast} A∗ ？（第15、16题来自《俗说矩阵》第22节：伴随矩阵。）
16、求矩阵 A = ( 1 2 1 1 3 3 2 5 4 ) A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&3\\2&5&4\end{pmatrix} A= 112235134 的伴随矩阵 A ∗ A^{\ast} A∗ ？
注：行列式本质上是线性映射的比例系数。
17、列举伴随矩阵的十大公式？（《俗说矩阵》第23节：伴随矩阵就九大公式、第25节：伴随矩阵的秩）
I. A A ∗ = ∣ A ∣ E = ( ∣ A ∣ ∣ A ∣ ⋱ ∣ A ∣ ) AA^{\ast}=|A|E=\begin{pmatrix}\left|A\right|& \\ &\left|A\right|\\ & &\ddots\\ & & &\left|A\right|\end{pmatrix} AA∗=∣A∣E= ∣A∣∣A∣⋱∣A∣
II. A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A^{\ast}=|A|A^{-1} A∗=∣A∣A−1
III. A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{\ast} A−1=∣A∣1A∗
IV. ( A − 1 ) ∗ = ( A ∗ ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A (A^{-1})^{\ast}=(A^{\ast})^{-1}=\frac{1}{|A|}A (A−1)∗=(A∗)−1=∣A∣1A
V. ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ (AB)^{\ast}=B^{\ast}A^{\ast} (AB)∗=B∗A∗、 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
VI. ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ( n ≥ 2 ) (A^{\ast})^{\ast}=|A|^{n-2}A(n \geq 2) (A∗)∗=∣A∣n−2A(n≥2)
VII. ( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ (A^{\ast})^{T}=(A^{T})^{\ast} (A∗)T=(AT)∗
VIII. ( K A ) ∗ = K n − 1 A ∗ (KA)^{\ast}=K^{n-1}A^{\ast} (KA)∗=Kn−1A∗
IX. ∣ A ∗ ∣ = ∣ A n − 1 ∣ |A^{\ast}|=|A^{n-1}| ∣A∗∣=∣An−1∣
X. r ( A ∗ ) = { n r ( A ) = n 1 r ( A ) = n − 1 0 r ( A ) < n − 1 r(A^{\ast})=\begin{cases}n&r(A)=n\\1&r(A)=n-1\\0&r(A) \lt n-1\end{cases} r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧n10r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1
18、两道线性相关与线性无关的例题。（《俗说矩阵》第30节：线性无关与线性相关）
- (1) A = ( a 1 , a 2 , a 3 ) = ( 3 1 3 0 2 1 3 1 − 1 ) → 初等行变换 ( 3 1 3 0 2 1 0 0 1 ) A=(a_1,a_2,a_3)=\begin{pmatrix}3&1&3\\0&2&1\\3&1&-1\end{pmatrix}\xrightarrow{初等行变换}\begin{pmatrix}3&1&3\\0&2&1\\0&0&1\end{pmatrix} A=(a1,a2,a3)= 30312131−1 初等行变换 300120311 ，可知 r ( A ) = 3 r(A)=3 r(A)=3，即 A x = 0 Ax=0 Ax=0 只有零解，即线性方程组组合系数均为零，即线性无关。
- (2) 增加 a 4 = ( 2 1 2 ) a_4=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} a4= 212 并与 a 1 、 a 2 a_1、a_2 a1、a2 构建矩阵 A ′ A' A′，即 A ′ = ( 3 1 2 0 2 1 3 1 2 ) → 初等行变换 ( 3 1 2 0 2 1 0 0 0 ) A'=\begin{pmatrix}3&1&2\\0&2&1\\3&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow{初等行变换}\begin{pmatrix}3&1&2\\0&2&1\\0&0&0\end{pmatrix} A′= 303121212 初等行变换 300120210 ，可知 r ( A ′ ) < 3 r(A')\lt3 r(A′)<3，即 A x = 0 Ax=0 Ax=0 有非零解，即线性方程组组合系数不全为零，即线性相关。列出方程组 { 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 0 2 x 2 + x 3 = 0 0 = 0 \begin{cases}3x_1+x_2+2x_3=0\\2x_2+x_3=0\\0=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧3x1+x2+2x3=02x2+x3=00=0，有 x = x 3 ( − 5 6 − 1 2 1 ) = k ( − 5 6 − 1 2 1 ) x=x_3\begin{pmatrix}-\frac{5}{6}\\-\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}-\frac{5}{6}\\-\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix} x=x3 −65−211 =k −65−211 （注：几何表现为 a 4 a_4 a4 位于 a 1 、 a 2 a_1、a_2 a1、a2 构成的平面内。）
19、向量 a 1 、 a 2 a_1、a_2 a1、a2 与 a 3 a_3 a3 线性无关， b 1 = a 1 + a 2 ， b 2 = a 2 + a 3 ， b 3 = a 3 + a 1 b_1=a_1+a_2，b_2=a_2+a_3，b_3=a_3+a_1 b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，求证 b 1 、 b 2 、 b 3 b_1、b_2、b_3 b1、b2、b3 线性无关？（《俗说矩阵》第31节：无关与相关的拓展应用）
20、将线性空间中的一个向量 y y y 分别以不同的基表达？（《俗说矩阵》第34节：线性空间基向量）
21、如何用向量组 I = ( 1 1 1 0 2 1 2 0 2 ) I=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&1\\2&0&2\end{pmatrix} I= 102120112 和向量组 I I = ( 1 0 1 0 1 1 1 1 0 ) II=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix} II= 101011110 分别表示向量 y = ( 4 3 6 ) y=\begin{pmatrix}4\\3\\6\end{pmatrix} y= 436 ？
22、 x = ( P 1 P 2 P 3 ) ( 1 2 3 ) x=\begin{pmatrix}P_1&P_2&P_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} x=(P1P2P3) 123 ， y = ( P 1 P 2 P 3 ) ( 0 1 0 ) y=\begin{pmatrix}P_1&P_2&P_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} y=(P1P2P3) 010 ，求 x ⋅ y x \cdot y x⋅y ？（《俗说矩阵》第35节：单位正交基向量）
23、矩阵 A = ( 3 2 1 2 ) A=\begin{pmatrix}3&2\\1&2\end{pmatrix} A=(3122)，求特征值与基础解系?（《俗说矩阵》第38节：特征值和特征向量<计算篇>）
24、矩阵 A = ( 1 − 4 8 0 − 4 10 0 − 3 7 ) A=\begin{pmatrix}1&-4&8\\0&-4&10\\0&-3&7\end{pmatrix} A= 100−4−4−38107 ，求特征值与基础解系？
25、求矩阵 A = ( 1 1 1 0 0 − 1 0 1 0 ) A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix} A= 1001011−10 的所有特征值和特征向量？
26、矩阵 A = ( 0 − 2 2 0 ) A=\begin{pmatrix}0&-2\\2&0\end{pmatrix} A=(02−20) 的特征值与特征向量？（注：该题含有虚数 i i i 特征值。）
27、二阶方阵A具有2个不同的特征值， α 1 \alpha_1 α1 与 α 2 \alpha_2 α2 是 A A A 的2个线性无关的特征向量，具有 A 2 ( α 1 + α 2 ) A^{2}(\alpha_1+\alpha_2) A2(α1+α2)，求 ∣ A ∣ \left|A \right| ∣A∣ ？
28、求秩 r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1 的方阵A的特征值， A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix} A= a11⋮an1⋯⋱⋯a1n⋮ann ?
29、描述相似对角化的推导过程以 U = X − 1 A X U=X^{-1}AX U=X−1AX 为例？
30、 判断方阵 A = ( 3 − 1 1 − 1 3 1 − 1 − 1 − 5 ) A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\-1&3&1\\-1&-1&-5\end{pmatrix} A= 3−1−1−13−111−5 和 B = ( 4 2 − 2 0 5 − 1 0 2 2 ) B=\begin{pmatrix}4&2&-2\\0&5&-1\\0&2&2\end{pmatrix} B= 400252−2−12 是否相似？
31、矩阵 A = ( 3 2 4 2 0 2 4 2 3 ) A=\begin{pmatrix}3&2&4\\2&0&2\\4&2&3\end{pmatrix} A= 324202423 ，求该实对称矩阵的特征值 λ i \lambda_{i} λi 与特征向量 C i C_i Ci ？
32、函数 f = x 1 2 + 2 x 2 2 + 3 x 3 2 + 4 x 1 x 2 + 2 x 2 x 3 + 2 x 1 x 3 f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3 f=x12+2x22+3x32+4x1x2+2x2x3+2x1x3，将 f f f 化为二次型形式即 f = x T A x f=x^{T}Ax f=xTAx ？
33、化函数 f = x 1 2 + 3 x 2 2 + 2 x 1 f=x_1^{2}+3x_2^{2}+2x_1 f=x12+3x22+2x1 为二次型以及标准二次型？
34、 化函数 f f f 为标准型，函数 f = 3 x 1 2 + 3 x 3 2 + 4 x 1 x 2 + 8 x 1 x 3 + 4 x 2 x 3 f=3x_1^2+3x_3^2+4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2x_3 f=3x12+3x32+4x1x2+8x1x3+4x2x3 ?
35、 f = 4 x 1 2 + 6 x 1 x 2 + 12 x 2 2 = x T A x f=4x_1^{2}+6x_1x_2+12x_2^{2}=x^{T}Ax f=4x12+6x1x2+12x22=xTAx， A = ( 4 3 3 12 ) A=\begin{pmatrix}4&3\\3&12\end{pmatrix} A=(43312)，求标准型？（博主：这道题利用相似矩阵对角化的方法求标准型的过程，可以和我在2025年2月22日21点56分所录的文章《线代[8]｜北大丘维声教授《怎样学习线性代数？》（红色字体为博主本人注释）》里的第二节"二、学习线性代数的用处"中对照观看，也可直接去阅读本人在2020年5月21日17点37分发表的文章《线代[6]｜线代[6]｜矩阵对角化以及特征值在微分方程中的应用》。）
36、求函数 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 2 + x 2 2 + 3 x 3 2 − 2 x 1 − x 2 x 3 f(x_1,x_2,x_3)=x_1^{2}+x_2^{2}+3x_3^{2}-2x_1-x_2x_3 f(x1,x2,x3)=x12+x22+3x32−2x1−x2x3 的极值？
37、请证明哈密顿------凯莱定理：设矩阵 A n × n A_{n \times n} An×n 的特征多项式为 f ( λ ) = ∣ λ E − A ∣ f(\lambda)=\left|\lambda E-A \right| f(λ)=∣λE−A∣，则代入矩阵 A A A 有 f ( A ) = 0 f(A)=0 f(A)=0 。（注："0"代表零矩阵，其中 f ( A ) = A n − ( a 11 + a 22 + ⋯ + a n n ) A n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n ∣ A ∣ E = 0 f(A)=A^{n}-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})A^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}|A|E=0 f(A)=An−(a11+a22+⋯+ann)An−1+⋯+(−1)n∣A∣E=0 。）
三、数学分析题3道
38、是否存在连续函数 f : [ 0 , + ∞ ) f:[0, +\infty) f:[0,+∞) ⟶ \longrightarrow ⟶ ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) (0,+∞) 使得 3 4 ∫ 0 x ∣ f ( t ) ∣ 2 d t = 1 x ( ∫ 0 x f ( t ) d t ) 2 \frac{3}{4}\int_{0}^{x}\left|f(t)\right|^{2}dt=\frac{1}{x}(\int_{0}^{x}f(t)dt)^{2} 43∫0x∣f(t)∣2dt=x1(∫0xf(t)dt)2， ∀ x > 0 \forall x \gt 0 ∀x>0，如果存在，求出 f f f 得所有表达式；如果不存在，请说明理由。
这类是典型的数学系学数学分析课程学生该做的题，豆包人工智能大模型对这道题目的评价有三个方面：
- 知识点运用： 本题主要涉及到积分、函数的连续性等数学分析中的核心概念和知识。需要学生对定积分的性质、函数的连续性定义有深入的理解，并且能够熟练运用积分的运算规则和相关定理来进行推导和证明。
- 思维能力要求： 数学分析课程注重培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。本题需要学生通过对给定等式进行分析、变形和推导，运用严谨的逻辑推理来判断是否存在满足条件的函数，并进一步求出函数的表达式。这需要学生具备较强的数学思维能力和技巧，能够从复杂的数学关系中找到解题的关键线索，是数学分析课程对学生思维能力训练的典型体现。
- 问题类型常见： 在数学分析的学习过程中，经常会遇到这类关于函数性质和积分关系的问题，通过解决这类问题，学生可以加深对数学分析理论的理解，提高运用所学知识解决实际问题的能力，是数学分析课程中常见的问题类型。
39、定义 ( a n ) → a (a_n)\rightarrow a (an)→a，当且仅当 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon \gt 0 ∀ϵ>0， ∃ N ∈ N \exists N \in \mathbb{N} ∃N∈N 使得 ∀ n > N \forall n \gt N ∀n>N， ∣ a n − a ∣ < ϵ \left| a_n-a\right| \lt \epsilon ∣an−a∣<ϵ，证明定理：设 ( a n ) → a (a_n)\rightarrow a (an)→a 且 ( b n ) → b (b_n) \rightarrow b (bn)→b，则 a n b n → a b a_nb_n\rightarrow ab anbn→ab 。
40、证明定理：若 X 、 Y ⊆ R X、Y\subseteq R X、Y⊆R 都有上界，则 X ∪ Y X \cup Y X∪Y 有上界。
证明： 假设 X 、 Y X、Y X、Y 均有上界，则 ∃ M 1 ∈ R \exist M_1\in R ∃M1∈R，使得 ∀ x ∈ X \forall{x}\in X ∀x∈X， x ≤ M 1 x\leq M_1 x≤M1； 且 ∃ M 2 ∈ R \exist M_2\in R ∃M2∈R，使得 ∀ y ∈ Y \forall y \in Y ∀y∈Y， y ≤ M 2 y\leq M_2 y≤M2 。令 M = max M 1 , M 2 M=\max{M_1,M_2} M=maxM1,M2，则 ∀ x ∈ X , x ≤ M 1 ≤ M \forall x\in X,x\leq M_1\leq M ∀x∈X,x≤M1≤M，且 ∀ y ∈ Y , y ≤ M 2 ≤ M \forall{y}\in Y,y\leq M_2\leq M ∀y∈Y,y≤M2≤M，所以 X ∪ Y X\cup Y X∪Y 得所有元素都小于或等于 M M M，故 X ∪ Y X\cup Y X∪Y 有上界。（注：定理是核心，证明从属于定理。公理------定义------定理------证明。2025.4.8 20:56）
四、更新时间记录
- 收录至第10题；「2025.2.10 16:40」
- 收录至第17题；「2025.2.10 21:30」
- 收录至第24题；「2025.2.12 16:55」
- 收录至第37题；「2025.2.13 12:01」
- 收录"38、39、40"三道关于数学分析得杂题。「2025.2.13 17:33」
- 题目答案录至第7题；「2025.4.7 23:36」
- 题目答案录至第9题；「2025.4.8 8:06」
- 题目答案录至第17题；「2025.4.8 11:58」
- 题目答案录至第36题；「2025.4.8 18:01」
- "一、缘起"写完；「2025.4.10 13:22」
- 文章图片的排版问题修改。「2025.4.10 15:02」
P.S.人生是不能欠债的呀，不论什么原因，它不能欠债的呀，我就是一个血淋淋的教训！！！「2025.4.10 13:32」