第六章 树【数据结构和算法】【精致版】

日星月云2023-11-06 18:10

第六章 树【数据结构和算法】【精致版】

前言

2023-11-6 16:22:17

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第六章 树

6.1 应用实例

  1. 数据压缩问题
  2. 表达式的树形表示
  3. 等价类划分问题

6.2 树的概念

6.2.1树的定义与表示

1.树的定义

树(tree)是n(n≥0)个结点的有限集合。当n=0时,称为"空树";当n>0时,该集合满足如下条件。

①有且仅有一个称为"根"(root)的特定结点，该结点没有前驱结点，但有零个或多个直接后继结点。

②除根结点之外的n-1个结点可划分成m(m≥0)个互不相交的有限集T~1~,T~2~,T~3~,...,T~n~,

每个T~i~又是一棵树,称为"根的子树"(subtree)。每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱就是树的根结点,同时可以有零个或多个直接后继结点。

树的定义采用了递归定义的方法,即树的定义中又用到了树的概念,这正好反映了树的特性。
2.树的表示方法

①树形图表示

②嵌套集合表示法（文氏图表示法）

③广义表表示法（嵌套括号表示法）

④凹入表示法

6.2.2 树的基本术语

以下列出一些有关树的基本术语。

结点 (node):包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。如图6-5©中的树有A、B、C、 D、E等13个结点。
结点的度(degree) :结点拥有子树的个数称为该结点的"度"。如图6-5©中结点A的度为3,结点B的度为2.
树的度 :树中所有结点的度的最大值。如图6-5( c )树的度为3。
叶子结点 (leaf):度为0的结点称为"叶子结点",也称"终端结点"。如图6-5©中结点E、 K、L.G等均为叶子结点。
内部结点(internal node):度不为0的结点称为"内部结点",也称为"分支结点"或"非终端结点"。如图6-5( c )中结点B、C、D等均为内部结点

下面借助人类族谱的一些术语描述树中结点之间的关系,以便直观理解

孩子结点 (child):结点的子树的根(即直接后继)称为该结点的"孩子结点"。如图6-5© 中结点B、C、D是A结点的孩子结点,结点E、F是B结点的孩子结点。
双亲结点 (parent):结点是其子树的根的双亲,即结点是其孩子的双亲。如图6-5©中结 点A是B、C、D的双亲结点,结点D是H、I、J的双亲结点。
兄弟结点 (sibling):同一双亲的孩子结点之间互称兄弟结点。如图6-5©中结点H、I、J互 为兄弟结点。
堂兄弟 :双亲是兄弟或堂兄弟的结点间互称堂兄弟结点。如图6-5©中结点E、G、H互为 堂兄弟,结点L、M也互为堂兄弟。
祖先结点 (ancestor):结点的祖先结点是指从根结点到该结点的路径上的所有结点。如图 6-5©中结点K的祖先是A、B、F结点。
子孙结点 (descendant):结点的子孙结点是指该结点的子树中的所有结点。 结点D的子孙有H、1、J、M结点
结点的层次 (level):结点的层次从树根开始定义,根为第一层,根的孩子为第二层。若某 点在第系层,则其孩子就在第k+1层,以此米推。如图6-5©中结点C在第二层,结点M在 四层
树的深度(deph) :树中所有结点层次的最大值称为树的"深度"，也称树的"高度"。如果 6-5©中的树的深度为4。
前辈 :层号比某结点层号小的结点，都可称为该结点的"前辈"。如图6-5©中结点A、B C、D都可称为结点E的前辈。
后辈 :层号比某结点层号大的结点,都可称为该结点的"后辈"。如图6-5©中结点K、L 都可称为结点E的后辈
森林 (forest):m(m=0)棵互不相交的树的集合称为"森林"。在数据结构中,树和森林不像自然界中有明显的量的差别,可以称0棵树、1棵树为森林。任意一棵非空的树，删去根结点变成了森林;反之,给森林中各棵树增加一个统一的根结点,就变成了一棵树
有序树(ordered tree)和无序树(unordered tree):树中结点的各棵子树从左到右是有特定次序的树称为"有序树",否则称为"无序树"。

6.2.3树的抽象数据类型定义

略

6.3 二叉树

6.3.1二叉树的定义

二叉树(binary tree)是n(n20)个结点的有限集合。当n时,称为"空二叉树";当n>( 时,该集合由一个根结点及两棵互不相交的,被分别称为"左子树"和"右子树"的二叉树 组成。

以前面定义的树为基础,二叉树可 以理解为是满足以下两个条件的树形结构

① 每个结点的度不大于2。

② 结点每棵子树的位置是明确区分左右的,不能随意改变。

由上述定义可以看出:二叉树中的每个结点只能有0、1或2个孩子,而且孩子有左右之分 , 即使仅有一个孩子,也必须区分左右。位于左边的孩子(或子树)叫左孩子(左子树),位于右边 的孩子(或子树)叫右孩子(右子树)。

二叉树也是树形结构,故6.2.2小节所介绍的有关树的术语都适用于二叉树。
二叉树不是结点度不大于2的有序树，
反例：只有右子树的二叉树和只有左子树的二叉树不同

6.3.2 二叉树的性质

  1. 在二叉树的第i层上至多有2^i-1^个结点(i>=1)
  2. 深度为k的二叉树至多有2^k^-1个结点(k>=1)
  3. 对于任意一颗二叉树T,若终端结点数为n~0~,度为2的结点数为n~2~,则n~0~=n~2~+1.

下面给出两种特殊的二叉树,然后讨论其相关性质。

满二叉树 深度为k且含有2^k^-1个结占的一叉树称为"满二叉树"

满二叉树的连续编号：对含有n个结点的的满二叉树，约定从根开始,按层从上到下，每

层内从左到右,逐个对每一结点进行编号1,2,...,n。

完全二叉树 深度为k、结点数为n(n<=2^k^-1)的二叉树，当且仅当其n个结点与满二叉树

中连续编号为1至n的结点位置一一对应时，称为"完全二叉树"。

完全二叉树有两个重要特征:其一,所有叶子结点只可能出现在层号最大的两层上;其二,对

任意结点,若其右子树的层高为k,则其左子树的层高只可为k或k+1。

由定义可知,满二叉树必为完全二叉树,而完全二叉树不一定是满二叉树。

  1. 具有n个结点的完全二叉树的深度为[log~2~n」+1。向下取整

  2. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照对满二义树结点进行连续编号的方式，

    对所有结点从1开始顺序编号,则对于任意序号为的结点有以下结论。

    ① 如果i=1,则结点i为根,其无双亲结点；如果i>1,则结点i,则结点i的双亲结点为[i/2] 向下取整

    ② 如果2i<=n,则结点i的左孩子结点序号为2i,否则,结点i无左孩子。

    ③ 如果2i+1<=n,则结点i的右孩子结点序号为2i+1,否则,结点i无右孩子。

6.3.3 二叉树的存储

1.顺序存储结构

对于满二叉树和完全二叉树来说,可以按照对满二叉树结点连续编号的次序,将各结点数据

存放到一组连续的存储单元中,即用一维数组作存储结构,将二又树中编号为i的结点存放在数

组的第i号分量中、根据二叉树的性质5,可知数组中下标为i的结点的左孩子下标为2i,右孩

子下标为2i+1,双亲结点的下标为[ i/2」。

二叉树的顺序存储结构可描述如下。

c 复制代码 
#define MAX 100
typedef struct{
	datatype SqBiTree[ MAX+1];	//0号单元不用
	int nodemax;				//数组中最后一个结点的下标
}Bitree;

2.链式存储结构

二叉树的二叉链表 结点结构：

LChild域指向该结点的左孩子

Data域指向该结点的数据

RChild域指向该结点的右孩子

c 复制代码 
typedef char DataType; 

typedef struct Node{
	DataType data;
	struct Node * LChild;
	struct Node * RChild;
}BiTNode,*BiTree;

一个二叉树含有n个结点，则它的二叉链表中必含有2n个指针域，而仅有n-1个指针域指向其孩子，其余的n+1的指针域为空的链域。

可以用空链域存储其他有用的信息，便得到"线索二叉树"

二叉树的三叉链表 结点结构：

Parent域指向该结点的双亲

LChild域指向该结点的左孩子

Data域指向该结点的数据

RChild域指向该结点的右孩子

6.4 二叉树的遍历

6.4.1 二叉树的遍历及递归实现

1.二叉树的遍历

依据对根结点访问的先后次序 不同来命名二叉树的访问方式,分别称DLR为先序遍历(或

先根遍历)、LDR为中序遍历(或中根遍历),LRD为后序遍历(或后根遍历)

下面给出二叉树三种遍历方式的递归定义。

(1)先序遍历

其二叉树为空,则空操作;否则依次执行如下二个操作，

①访问根结点。

②按先序遍历左子树。

③按先序遍历右子树。

(2)中序遍历

若二叉树为空,则空操作;否则依次执行如下三个操作。

①按中序遍历左子树。

②访问根结点。

③按中序遍历右子树。

(3)后序遍历

若二叉树为空,则空操作;否则依次执行如下三个操作。

①按后序遍历左子树。

②遍历右子树。

③访问根结点。

2.二叉树遍历的递归实现

1-二叉树的递归实现.c
c 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef char DataType; 

typedef struct Node{
	DataType data;
	struct Node * LChild;
	struct Node * RChild;
}BiTNode,*BiTree;

#define FALSE 0
#define TRUE 1

#define MAXSIZE 10

//【算法6-17】用扩展先序遍历序列创建二叉链表 
void CreateBiTree( BiTree *root){
	char ch;
	ch=getchar();
	if(ch=='^') * root= NULL;
	else{
		* root = (BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));
		(*root)->data=ch;
		CreateBiTree(&((*root)->LChild));
		/*以左子树域地址为参数,可使被调用函数中建立的结点指针置于该域中*/  
		CreateBiTree(&((*root)->RChild));
		/*以右子树域地址为参数,可使被调用函数中建立的结点指针置于该域中*/
	}
}
//访问 
void Visit(DataType n){
	printf("%c",n);
}

//【算法6-1】递归 先序

void PreOrder(BiTree root){
	//先序遍历二叉树，root为根节点的指针 
	if(root){
		Visit(root->data);
		PreOrder(root->LChild);
		PreOrder(root->RChild);
	} 
} 

//【算法6-2】递归 中序
void InOrder(BiTree root){
	//中序遍历二叉树，root为根节点的指针 
	if(root){
		InOrder(root->LChild);
		Visit(root->data);
		InOrder(root->RChild);
	} 
} 
//【算法6-3】递归 后序 
void PostOrder(BiTree root){
	//后序遍历二叉树，root为结点的指针
	if(root){
		PostOrder(root->LChild);
		PostOrder(root->RChild);
		Visit(root->data);
	}
	 
}
c 复制代码 
//ABD^G^^^CE^H^^F^^
int main(){
	BiTree root; 
	BiTree *_root=&root;
	printf("输入扩展先序序列\n"); 
	//ABD^G^^^CE^H^^F^^
	CreateBiTree(_root);
	
	printf("先序序列（递归）\n"); 
	PreOrder(root);//ABDGCEHF 
	printf("\n");
	
	printf("中序序列（递归）\n"); 
	InOrder(root);//DGBAEHCF
	printf("\n");
	
	printf("后序序列（递归）\n"); 
	PostOrder(root);//GDBHEFCA
	printf("\n");

}

6.4.2 二叉树遍历的非递归实现

1.先序遍历二叉树的非递归实现
2.中序遍历二叉树的非递归实现
3.后序遍历二叉树的非递归实现

4.二叉树的层次遍历

2-二叉树的非递归实现.c
c 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>



typedef char DataType; 

typedef struct Node{
	DataType data;
	struct Node * LChild;
	struct Node * RChild;
}BiTNode,*BiTree;

//定义顺序栈 
#define MAXSIZE 10
typedef BiTree  ElemType; 
typedef struct{ 
	ElemType elem[MAXSIZE];
	int top;
}SeqStack;

//(1)置空栈
//首先建立栈空间,然后初始化栈顶指针。
SeqStack * InitStack(){
 	SeqStack *s;
	s=(SeqStack * ) malloc(sizeof( SeqStack));  
	s->top=-1;
	return s;
}


//(2)判空栈
int Empty(SeqStack *s){
	if(s->top==-1) return 1;  //代表空 
	else return 0;
}
//(3)入栈
int Push(SeqStack *s, ElemType x){
	if(s->top==MAXSIZE-1) return 0;//栈满不能入栈,否则将造成"上溢" 
	else {
		s->top++;
		s->elem[s->top]=x;
		return 1;
	} 
}
//(4)出栈
int Pop( SeqStack *s, ElemType *x){
	if(Empty(s)) return 0;	//栈空不能出栈
	else { 
		*x=s->elem[s->top];//栈顶元素存入*x,返回
		s->top--;
		return 1;
	}
}
//(5)取栈顶元素
ElemType GetTop(SeqStack *s){
	if(Empty(s)) return 0;//栈空
	else return (s->elem[s->top]);
}

#define FALSE 0
#define TRUE 1

#define MAXSIZE 10
typedef BiTree QueueDataType; 
//链队列的数据类型描述如下。
typedef struct node{ 
	QueueDataType data;
	struct node * next;
}QNode;

//链队列结点的类型
typedef struct{  
	QNode * front;
	QNode * rear;
} LQueue;//将头尾指针封装在一起的链队列


//(1)创建一个带头结点的空队
LQueue * Init_LQueue(){
	LQueue *q; QNode*p;
	q=(LQueue*)malloc( sizeof(LQueue));//申请头尾指针结点  
	p=(QNode*)malloc( sizeof(QNode));//申请链队列头结点  
	p->next=NULL;
	q->front=q->rear=p;
	return q;
}

//(2)入队
void InLQueue(LQueue *q , QueueDataType x){ 
	QNode *p;
	p=(QNode*)malloc(sizeof(QNode));//申请新结点  
	p->data=x;
	p->next=NULL; 
	q->rear->next=p;
	q->rear=p;
}

//(3)判队空
int Empty_LQueue(LQueue *q){
	if(q->front==q->rear) return 1;//代表空 
	else return 0;
}

//(4)出队
int Out_LQueue(LQueue *q, QueueDataType *x){
	QNode *p;
	if(Empty_LQueue(q)){
		printf("队空");
		return FALSE;
	}
	else{	
		p=q->front->next;
		q->front->next=p->next;
		*x=p->data;//队头元素放x中
		free(p);
		if(q->front->next==NULL)//只有一个元素时,出队后队空,修改队尾指针
			q->rear=q->front;
			
		return TRUE;
	}
}



//【算法6-17】用扩展先序遍历序列创建二叉链表 
void CreateBiTree( BiTree *root){
	char ch;
	ch=getchar();
	if(ch=='^') * root= NULL;
	else{
		* root = (BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));
		(*root)->data=ch;
		CreateBiTree(&((*root)->LChild));
		/*以左子树域地址为参数,可使被调用函数中建立的结点指针置于该域中*/  
		CreateBiTree(&((*root)->RChild));
		/*以右子树域地址为参数,可使被调用函数中建立的结点指针置于该域中*/
	}
}
//访问 
void Visit(DataType n){
	printf("%c",n);
}


//【算法6-4】非递归 先序
void PreOrderN(BiTree root){
	SeqStack *S;
	BiTree p;
	S=InitStack();
	p=root;
	while(p!=NULL||!Empty(S)){//当前结点指针及栈均空,则结束
		while (p!=NULL){//访问根结点,根指针进栈,进入左子树
			Visit(p->data);
			Push(S,p);
			p=p->LChild;
		}
		
		if(!Empty(S)){//根指针退栈,进入其右子树
			Pop(S,&p);
			p=p->RChild;
		}
		 
	}
}
//【算法6-5】非递归 中序-1
void InOrderN1(BiTree root){
	SeqStack *S;
	BiTree p;
	S=InitStack();
	p=root;
	while(p!=NULL||!Empty(S)){//当前结点指针及栈均空,则结束
		while (p!=NULL){//访问根结点,根指针进栈,进入左子树
			
			Push(S,p);
			p=p->LChild;
		}
		
		if(!Empty(S)){//根指针退栈,进入其右子树
			Pop(S,&p);
			Visit(p->data);
			p=p->RChild;
		}
		 
	}
}	
//【算法6-6】非递归 中序-2
void InOrderN2(BiTree root){
	SeqStack *S;
	BiTree p;
	S=InitStack();
	p=root;
	while(p!=NULL||!Empty(S)){//当前结点指针及栈均空,则结束
		if (p!=NULL){//访问根结点,根指针进栈,进入左子树
			
			Push(S,p);
			p=p->LChild;
		}else{//根指针退栈,进入其右子树
			Pop(S,&p);
			Visit(p->data);
			p=p->RChild;
		}
		 
	}
}
//【算法6-7】非递归 后序
void PostOrderN(BiTree root){
	SeqStack *S;
	BiTree p,q;
	S=InitStack();
	p=root;
	q=NULL;
	while(p!=NULL||!Empty(S)){//当前结点指针及栈均空,则结束
		while (p!=NULL){//访问根结点,根指针进栈,进入左子树			
			Push(S,p);
			p=p->LChild;
		}
		if(!Empty(S)){
			p=GetTop(S);
			if((p->RChild==NULL)||(p->RChild==q)){
				//判断栈顶结点的有子树是否为空，右子树是否刚访问过 
				Pop(S,&p);
				Visit(p->data);
				q=p;
				p=NULL;
			}else{
				p=p->RChild;
			}
		}
		
		
		
		 
	}
}

//【算法6-8】二叉树的层次遍历 
void LevelOrder(BiTree root){
	LQueue *Q;
	BiTree p;
	Q=Init_LQueue();
	InLQueue(Q,root);
	while(!Empty_LQueue(Q)){
		Out_LQueue(Q,&p);
		Visit(p->data);
		if(p->LChild!=NULL){
			InLQueue(Q,p->LChild);
		}
		if(p->RChild!=NULL){
			InLQueue(Q,p->RChild);
		}
	}
}
c 复制代码 
//ABD^G^^^CE^H^^F^^
int main(){
	BiTree root; 
	BiTree *_root=&root;
	printf("输入扩展先序序列\n"); 
	//ABD^G^^^CE^H^^F^^
	CreateBiTree(_root);
	
	printf("先序序列（非递归）\n"); 
	PreOrderN(root);//ABDGCEHF 
	printf("\n");
	
	printf("中序序列-1（非递归）\n"); 
	InOrderN1(root);//DGBAEHCF
	printf("\n");
	
	printf("中序序列-2（非递归）\n"); 
	InOrderN2(root);//DGBAEHCF
	printf("\n");
		
	printf("后序序列（非递归）\n"); 
	PostOrderN(root);//GDBHEFCA
	printf("\n");
	
	printf("层次遍历\n");
	LevelOrder(root);//ABCDEFGH
	printf("\n");
		
}

6.4.3 遍历算法的应用

1.统计二叉树的结点数

2.输出二叉树的叶子结点

3.统计二叉树的叶子结点数目

4.求二叉树的高度

5.求结点的双亲

6.二叉树相似性判定

7.按树状打印二叉树

8.创建二叉链表存储的二叉树

3-二叉树的遍历算法应用.c
c 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef char DataType; 

typedef struct Node{
	DataType data;
	struct Node * LChild;
	struct Node * RChild;
}BiTNode,*BiTree;


//【算法6-17】用扩展先序遍历序列创建二叉链表 
void CreateBiTree( BiTree *root){
	char ch;
	ch=getchar();
	if(ch=='^') * root= NULL;
	else{
		* root = (BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));
		(*root)->data=ch;
		CreateBiTree(&((*root)->LChild));
		/*以左子树域地址为参数,可使被调用函数中建立的结点指针置于该域中*/  
		CreateBiTree(&((*root)->RChild));
		/*以右子树域地址为参数,可使被调用函数中建立的结点指针置于该域中*/
	}
}
//访问 
void Visit(DataType n){
	printf("%c",n);
}

//【算法6-1】递归 先序

void PreOrder(BiTree root){
	//先序遍历二叉树，root为根节点的指针 
	if(root){
		Visit(root->data);
		PreOrder(root->LChild);
		PreOrder(root->RChild);
	} 
} 

// 【算法6-9】先序遍历统计二叉树的结点数
int Count=0;
void CountWithPreOrder(BiTree root){
	//Count为统计结点数目的全局变量，调用前初始值为0
	if(root){
		Count++;//统计结点数
		CountWithPreOrder(root->LChild);//先序遍历左子树 
		CountWithPreOrder(root->RChild);//先序遍历右子树 
	}
} 
 
// 【算法6-10】中序遍历输出二叉树的叶子结点
void PrintTNWithInOrder(BiTree root){
	if(root){
		PrintTNWithInOrder(root->LChild);
		if(root->LChild==NULL&&root->RChild==NULL){
			Visit(root->data);
		}
		PrintTNWithInOrder(root->RChild);
	}
} 
 
// 【算法6-11】后序遍历输出二叉树的叶子结点数目 
int leaf(BiTree root){
	int nl,nr;
	if(root==NULL){
		return 0;
	} 
	if((root->LChild==NULL)&&(root->RChild==NULL)){
		return 1;
	}
	nl=leaf(root->LChild);//递归求左子树的叶子数
	nr=leaf(root->RChild);//递归求右子树的叶子数 
	return(nl+nr); 
} 
 
//【算法6-12】全局变量法求二叉树的高度
int depth=0; 
void TreeDepth(BiTree root,int h){
	//h为root结点所在的层次，首次调用前初始值为1
	//depth为记录当前求得的最大层次的全局变量,调用前初始值为0
	
	if(root){
		if(h>depth) {
		 	depth=h;//当前结点层大于depth,则更新 
		} 		
		TreeDepth(root->LChild,h+1);//遍历左子树,子树根层次为h+1
		
		TreeDepth(root->RChild,h+1);//遍历右子树,子树根层次为h+1		
		
 	} 
} 
//【算法6-13】求二叉树的高度
int PostTreeDepth(BiTree root){

	int hl,hr,h;
	if(root== NULL) return 0;
	else{
		hl = PostTreeDepth(root->LChild);//递归求左子树的高度
		hr= PostTreeDepth (root->RChild);//递归求右子树的高度
		h=(hl>hr? hl:hr)+1;				//计算树的高度
		return h;
	}
	
	
}
 
//【算法6-14】求二叉树中某一结点的双亲 
BiTree parent( BiTree root, BiTree current){
	//在以root为根的二叉树中找结点current的双亲
	BiTree p;
	if(root == NULL) return NULL;
	if(root->LChild== current||root->RChild ==current)
		return root;		//root即为current的双亲
	
	p=parent(root->LChild,current);//递归在左子树中找
	
	if (p!=NULL) return p;
	else return(parent (root->RChild,current));//递归在右子树中找
	
} 
 
//【算法6-15】二叉树相似性判定 
int like(BiTree t1, BiTree t2){
	int like1, like2;
	if(t1==NULL && t2==NULL) return 1;//t1,t2均空,则相似
	if(t1==NULL||t2==NULL)return 0;//t1、t2仅一棵空,则不相似  
	like1=like(t1->LChild,t2->LChild);//递归判左子树是否相似
	like2=like(t1->RChild,t2->RChild);//递归判右子树是否相似
	return (like1 && like2); 
}
//【算法6-16】按树状打印二叉树 
void PrintTree( BiTree root,  int h){
	if(root == NULL) return;
	PrintTree(root->RChild, h+1);  //先打印右子树
	int i;
	for(i=0;i<h;i++) printf(" ");//层次决定结点的左右位置  
	printf("%c\n",root->data);//输出结点
	PrintTree(root->LChild,h+1);  //后打印左子树
}
c 复制代码 
//ABD^G^^^CE^H^^F^^
int main(){
	BiTree root; 
	BiTree *_root=&root;
	printf("输入扩展先序序列\n"); 
	//ABD^G^^^CE^H^^F^^
	CreateBiTree(_root);
	
	if(Count!=0){
		Count=0;
	}
	printf("统计结点数\n");
	CountWithPreOrder(root);
	printf("%d",Count); 
	printf("\n");


	printf("输出叶子结点\n");	
	PrintTNWithInOrder(root); 
	printf("\n");
	
	printf("统计叶子结点数\n");	
	int leafCount=leaf(root); 
	printf("%d",leafCount);
	printf("\n");

	if(depth!=0){
		depth=0;
	}
	printf("二叉树的高度\n");	
	TreeDepth(root,1); 
	printf("%d",depth);
	printf("\n");
	
	printf("二叉树的高度\n");	
	int dpth=PostTreeDepth(root); 
	printf("%d",dpth);
	printf("\n");

	printf("求双亲\n"); 
	BiTree current=(root->LChild)->LChild;
	BiTree pt=parent(root,current);
	Visit(pt->data);
	printf("\n");

	BiTree rt; 
	BiTree *_rt=&rt;
	printf("输入rt扩展先序序列\n"); 
	//ABD^G^^^CE^H^^F^^
	fflush(stdin); //清一下输入的\n 
	CreateBiTree(_rt);
	
	printf("先序序列（递归）\n"); 
	PreOrder(rt);
	printf("\n");
	
	printf("root和rt是否相似\n"); 
	int lk=like(root,rt);
	printf("%d",lk);
	printf("\n");
	
	printf("树状打印\n"); 
	int depth=PostTreeDepth(root);
	PrintTree(root,depth);
}

6.4.4由遍历序列确定二叉树

1.由先序和中序确定二叉树
思想：

先序确定根结点

中序确定左右结点
2.由中序和后序确定二叉树
思想：

后序确定根结点

中序确定左右结点

6.5线索二叉树

6.5.1 线索二叉树的基本概念

在线索二叉树中，为了正确区分指向左右孩子的指针和指向前驱后驱的指针，将结点结构改为5个域，原二又链表中的左孩子域、数据域和右孩子域依战保持不变,增加左标志域Ltag和右标志域它们是两个布尔型的数据城。

线索二叉树的结点结构如下 ：

LChild Ltag Data Rtarg RChild

①若结点有左子树,则LChild城仍指向其左孩子；否则，LChild域指向其遍历序列中的直接前驱结点

②若结点有右子树,则RChild域仍指向其右孩子；否则，RChild域指向其遍历序列中的直接后继结点

③ Lag和Rtag的定义如下:

		{ 	0	LChild域指示结点的左孩子
Ltag =  {
		{	1	LChild域指示结点的遍历前驱
		
		{	0	RChild域指示结点的右孩子
Rtag =  {
		{	1	RChid域指示结点的遍历后继

在上述存储结构中,指向前驱和后继结点的指针称为"线索",对二叉树以某种次序进行遍历并且将空指针改为线索的过程叫做"线索化",经过线索化的一叉树称为"线索二叉树";以上述结点结构存储的含有线索的二叉链表称为"线索链表"

依据二叉树遍历策略的不同,存在三种不同的线索二叉树。依据二叉树的先序、中序、后序 遍历策略,分别对应有先序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树。

6.5.2 二叉树的线索化

略

6.5.3 线索二叉树的遍历

略

6.6 树和森林

6.6.1 树的存储

1.双亲表示法

双亲表示法的存储结构定义如下。

c 复制代码 
define MAX 100
typedef struct TNode{  /*顺序表结点结构定义。/  
	DataType data;
	int parent;
}TNode;
typedef struct{			/*树的定义*/
	TNode tree[MAX];
	int root;			/*树的根结点在表中的位置*/
	int num;			/*树的结点个数*/
 }PTree;

2.孩子表示法

孩子表示法的存储结构定义如下。

c 复制代码 
typedef struct ChildNode{	//孩子链表结点结构定义
	int Child;
	Struct ChildNode * next;
}ChildNode;
typedef struct{				//顺序表结点结构定义
	DataType data;
	ChildNode w FirstChild;
| DataNode;
typedef struct{				//树的定义
	DataNode nodes[ MAX];
	int root;				//树的根结点在顺序表中的位置
	int num;				//树的结点个数
| CTree;

3.孩子兄弟表示法

孩子兄弟表示法的存储结构定义如下。

c 复制代码 
typedef struet CSNode{
	DataType data;					/*结点信息*/
	Struct CSNode * FirstChild;		/*第一个孩子指针*/
	Struct CSNode * NextSibling;	/*右兄弟指针*/
}CSNode.* CSTree;

6.6.2 树、森林与二叉树的转换

略

6.6.3 树和森林的遍历

二叉树 树 森林
先序 先根 先序
中序 后根 中序
中序 \ 中序

6.7哈夫曼树及其应用

哈夫曼(Hufman)树,又称最优二叉树,是带权路径长度最短的树，来构造最优编码,用于信息传输、数据压缩等方面,是一种应用广泛的二叉树。

6.7.1哈夫曼树

在介绍哈夫量树之前,先介绍几个与哈夫曼树相关的基本概念

路径 ;树中个结点到另一个结点之间的分支序列构成两个结点间的路径,
路径长度 :路径上分支的条数称为"路径长度"。
树的路径长度 :从树根到每个结点的路径长度之和称为"树的路径长度"。

6.3节介绍的完全二叉树,是结点数给定的情况下路径长度最短的二叉树。
带权路径长度 :结点到树根间的路径长度与结点的权的乘积,称为该结点的"带机
结点的权 :给树中结点赋予一个数值,该数值称为"结点的权"。
树的带权路径长度 :树中所有叶子结点的带权路径长度之和,称为"树的带权路径长度"，常记为WPL:

WPL = ∑^n^~k=1~ W~k~x,L~k~

其中,n为叶子数,W~k~为第k个叶子的权值,L~k~为第k个叶子到树根的路径长度。
最优二叉树:在叶子个数n以及各叶子的权值W,确定的条件下,树的带权路径长度W 最小的二叉树称为"最优二叉树"。

1.哈夫曼树的建立

略
2.哈夫曼算法的实现

6.7.2哈夫曼编译码

1.哈夫曼编码的概念

信息压缩达到最短的前缀编码
2.哈夫曼编码的算法实现

3.哈夫曼编码的译码

6.8 实例分析与实现

6.8.1表达式树

略

6.8.2树与等价类的划分

略

6.8.3回溯法与N皇后问题

略

6.9 算法总结

略

实验

哈夫曼编码的实现

习题

1.单项选择题

(1)树最适合用来表示的结构是B 。

A.元素间的有序结构

B.元素间具有分支及层次关系的结构

C.元素间的无序结构

D.元素间无联系的结构

(2)设一棵二叉树的结点个数为18,则它的高度至少为B

A.4

B.5

C.6

D.18

(3)任意一棵二叉树的叶子结点在其先序、中序、后序序列中的相对位置C

A.肯定发生变化

B.有时发生变化

C.肯定不发生变化

D.无法确定

4)判断线索二叉树中某结点P有左孩子的条件是C

A. p!=NULL

B.p->lchild!=NULL

C.p->LTag=0

D.p->LTag=1

(5)二叉树在线索化后,仍不能有效求解的问题是C

A.先序线索二叉树中求后继

B.中序线索二叉树中求后继

C.中序线索二叉树中求前驱

D.后序线索二叉树中求后继

(6)设森林T中有4棵树,其结点个数分别为n、nz、ng、ng,那么当森林T转换成一棵二叉树后,则根结点 的右子树上有 D 个结点。

A.n~1~-1

B.n~1~

C.n~1~+n~2~+n~3~

D.n~2~+n~3~+n~4~

(7)由权值分别为925.7的4个叶子结点构造一棵哈夫曼树,则该树的带权路径长度WPL为C

A.23

B.37

C.44

D.46

(8)设T是一棵哈夫曼树,有8个叶结点,则树T的高度最高可以是C

A.4

B.6

C.8

D.10

3.完成题

3完成题

(1)已知一棵二叉树的后序序列为ABCDEFG,中序序列为ACBCEDF。试完成下列操作。

①画出该二叉树的树形图。

G(C(A,B),F(E(^,D),^))

②给出该二叉树的先序序列。

GCABFED

③画出该二叉树的顺序存储结构示意图。

0 1 2 3 4 5 6 ... 13 ...
  G C F A B E      D

(2)已知一棵树的双亲表示法如下所示,试完成下列操作。

①画出该树的树形图。

A----------------------------------
 	B----------------------------------
 		E----------------------------------
 			K--------------------------
 		F----------------------------------
 			C--------------------------
 			M--------------------------
 	C--------------------------
 		G--------------------------
 			N--------------------------
 		H--------------------------
 			O--------------------------
 	D--------------------------
 		I--------------------------
 		J--------------------------

②画出该树的孩子兄弟二叉链表存储结构示意图。

      			 			A
      			     B     		   ^
  		E   				        C
	K 	     F         	   G                   D
  ^	 ^		C 	^  		 N     H    		  I  ^
   		  ^   M         ^ ^  O   ^           ^ J
   		  				    ^ ^				  ^ ^

③画出对应二叉树的中序线索二叉树。

中序：KELMFBNGOHCIJDA

(3)假设某通信报文的字符集由A、B、C、D、E、F共6个字符组成,它们在报文中出现的次数分别为16、12、9、30、3、6。试构造一棵哈夫曼树,并完成如下操作。

				（76）
			30 		  （46）
				  （18）   （28）
				（9） 9     12 16
	             3 6

①计算哈夫曼树的带权路径长度。

177

②写出各叶子结点对应字符的哈夫曼编码。

A   B    C   D  E    F
111 110  101 0  1000 1001

4.算法设计题

（1）编写算法,在以二叉链表存储的二叉树中,求度为2的结点的个数。

c 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef char DataType; 
typedef struct Node{
	DataType data;
	struct Node * LChild;
	struct Node * RChild;
}BiTNode,*BiTree;


int Node2(BiTree T){
	if(!T){
		return 0;
	}else if(T->LChild&&T->RChild){
		return Node2(T->LChild)+Node2(T->RChild)+1;
	}else{
		return Node2(T->LChild)+Node2(T->RChild);
	}
	
}
c 复制代码 
int main(){
	BiTNode e={'E'};
	BiTNode f={'F'};
	BiTNode d={'D',&e,&f};
	
	BiTNode b={'B'};
	BiTNode c={'C'};
	BiTNode a={'A',&b,&c};
	BiTNode root={'0',&a,&d};
		
	int res=Node2(&root);
	printf("%d",res);//3
	
	
}

（2）编写算法,在以二叉链表存储的二叉树中,交换二叉树各结点的左右子树。

c 复制代码 
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef char DataType; 
typedef struct TreeNode{
	DataType data;
	struct TreeNode * left;
	struct TreeNode * right;
}BiTNode,*BiTree;

struct TreeNode* invertTree(struct TreeNode *root){
	struct TreeNode* temp=NULL;
	if(root==NULL){
		return NULL;
	}
	temp=root->left;
	root->left=root->right;
	root->right=temp;
	
	invertTree(root->left);
	invertTree(root->right);
	return root;
} 

//访问 
void Visit(DataType n){
	printf("%c",n);
}

//【算法6-1】递归 先序
void PreOrder(BiTree root){
	//先序遍历二叉树，root为根节点的指针 
	if(root){
		Visit(root->data);
		PreOrder(root->left);
		PreOrder(root->right);
	} 
}
c 复制代码 
int main(){
	BiTNode e={'E'};
	BiTNode f={'F'};
	BiTNode d={'D',&e,&f};
	
	BiTNode b={'B'};
	BiTNode c={'C'};
	BiTNode a={'A',&b,&c};
	BiTNode root={'0',&a,&d};
	
	//翻转前 
	PreOrder(&root);
	printf("\n"); 
	BiTree r=invertTree(&root);
	//翻转后 
	PreOrder(r);
}

最后

2023-11-6 17:03:04

我们都有光明的未来
不必感谢我，也不必记得我

祝大家考研上岸
祝大家工作顺利
祝大家得偿所愿
祝大家如愿以偿
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