题目大意
给定一个非负整数 n n n，请构造出一个不超过 40 × 40 40\times 40 40×40的矩阵，每个位置填 r r r、 y y y、 x x x三者之一，使得连续的三个格子按顺序构成字符串 r y x ryx ryx恰好 n n n个。
这里连续的是指同一行、同一列或者同一 4 5 ∘ 45^{\circ} 45∘度斜线，方向任意（共 8 8 8个方向）。
0 ≤ n ≤ 2222 0\leq n\leq 2222 0≤n≤2222
题解
我们先考虑如何构造能使得字符串 r y x ryx ryx能达到 2222 2222 2222个。对于一个 40 × 40 40\times 40 40×40的矩阵，我们可以先每一行放满 r y x y ryxy ryxy。
r y x y r y x y ⋯ r y x y r y x y ⋯ r y x y r y x y ⋯ r y x y r y x y ⋯ ryxyryxy\cdots \\ ryxyryxy\cdots \\ ryxyryxy\cdots \\ ryxyryxy\cdots ryxyryxy⋯ryxyryxy⋯ryxyryxy⋯ryxyryxy⋯
这样每一行按从前往后的顺序有 10 10 10个字符串 r y x ryx ryx，从后往前的顺序有 9 9 9个字符串 r y x ryx ryx。每列 r r r往右上能有 38 38 38个字符串 r y x ryx ryx，往右下能有 38 38 38个字符串 r y x ryx ryx。除了第一列 r r r，每列 r r r往左上能有 38 38 38个字符串 r y x ryx ryx，往左下能有 38 38 38个字符串 r y x ryx ryx。那么总共有 ( 10 + 9 ) × 40 + ( 38 + 38 ) × 10 + ( 38 + 38 ) × 9 = 2204 (10+9)\times 40+(38+38)\times 10+(38+38)\times 9=2204 (10+9)×40+(38+38)×10+(38+38)×9=2204个字符串 r y x ryx ryx，还差 18 18 18个。
我们发现，最后一列的 y y y是没有用到的，那么我们把这一列全部改为 r y x y ryxy ryxy，那么从上往下有 10 10 10个字符串 r y x ryx ryx，从下往上有 9 9 9个字符串 r y x ryx ryx，那么这样的话，总共就有 2204 + 10 + 9 = 2223 2204+10+9=2223 2204+10+9=2223个字符串 r y x ryx ryx，我们用这个方法能够取到题目中 n n n的最大值。
令矩形的长和宽为 k = 40 k=40 k=40，我们可以先打一个能够 O ( k 2 ) O(k^2) O(k2)判断矩形中字符串 r y x ryx ryx的个数的函数 g t ( ) gt() gt()。先将整个矩形的每个位置视为空的，然后依次在每一行中从第一个为空的位置开始放入一行 r y x y ryxy ryxy。如果每一行都放完一次之后 g t ( ) ≤ n gt()\leq n gt()≤n，则继续从第一行开始在每一行中从第一个为空的位置开始放入一行 r y x y ryxy ryxy，直到 g t ( ) > n gt()>n gt()>n，就把当前放的 r y x y ryxy ryxy删去。此时， g t ( ) gt() gt()不一定等于 n n n，所以我们还要用最后一列来进行调整。同样地，从上往下不断放入 r y x y ryxy ryxy，直到 g t ( ) > n gt()>n gt()>n就将当前放入的 r y x y ryxy ryxy删去。注意每次放入一个 r y x y ryxy ryxy最多会使 g t ( ) gt() gt()增加 2 2 2，那么最后 g t ( ) gt() gt()要么等于 n n n，要么等于 n − 1 n-1 n−1。如果等于 n − 1 n-1 n−1，就在最后一列的末尾从下往上放入 r y x ryx ryx。因为 n ≤ 2222 < 2223 n\leq 2222<2223 n≤2222<2223，所以 r y x y ryxy ryxy不会放到最后一列的最后三个位置，那么最后放的 r y x ryx ryx对之前放的字母不会有任何影响。
对于为空的部分，我们全部填上 y y y。因为左边部分结尾的都是 y y y，而右边只有一列不全为 y y y，所以将为空的部分填上 y y y不会增加 r y x ryx ryx的数量。
这样就可以构造出满足题意的矩阵了。
时间复杂度为 O ( k 4 ) O(k^4) O(k4)。
code
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,fl;
char a[45][45];
int gt(){
int re=0;
for(int i=1;i<=40;i++){
for(int j=1;j<=40;j++){
if(a[i][j]=='r'){
if(i-2>=1){
if(a[i-2][j]=='x'&&a[i-1][j]=='y') ++re;
}
if(i+2<=40){
if(a[i+2][j]=='x'&&a[i+1][j]=='y') ++re;
}
if(j-2>=1){
if(a[i][j-2]=='x'&&a[i][j-1]=='y') ++re;
}
if(j+2<=40){
if(a[i][j+2]=='x'&&a[i][j+1]=='y') ++re;
}
if(i-2>=1&&j-2>=1){
if(a[i-2][j-2]=='x'&&a[i-1][j-1]=='y') ++re;
}
if(i-2>=1&&j+2<=40){
if(a[i-2][j+2]=='x'&&a[i-1][j+1]=='y') ++re;
}
if(i+2<=40&&j-2>=1){
if(a[i+2][j-2]=='x'&&a[i+1][j-1]=='y') ++re;
}
if(i+2<=40&&j+2<=40){
if(a[i+2][j+2]=='x'&&a[i+1][j+1]=='y') ++re;
}
}
}
}
return re;
}
int main()
{
// freopen("ryx.in","r",stdin);
// freopen("ryx.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=40;i++){
for(int j=1;j<=40;j++){
a[i][j]='y';
}
}
for(int j=1;j<=40;j+=4){
fl=0;
for(int i=1;i<=40;i++){
a[i][j]='r';
a[i][j+1]='y';
a[i][j+2]='x';
a[i][j+3]='y';
if(gt()>n){
a[i][j]='y';
a[i][j+1]='y';
a[i][j+2]='y';
a[i][j+3]='y';
fl=1;break;
}
}
if(fl) break;
}
for(int i=1;i<=40;i+=4){
a[i][40]='r';
a[i+1][40]='y';
a[i+2][40]='x';
a[i+3][40]='y';
if(gt()>n){
a[i][40]='y';
a[i+1][40]='y';
a[i+2][40]='y';
a[i+3][40]='y';
break;
}
}
n-=gt();
if(n){
a[40][40]='r';
a[39][40]='y';
a[38][40]='x';
}
printf("40 40\n");
for(int i=1;i<=40;i++){
for(int j=1;j<=40;j++){
printf("%c",a[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}