NOIP2023模拟12联测33 构造

题目大意

给定一个非负整数 n n n,请构造出一个不超过 40 × 40 40\times 40 40×40的矩阵,每个位置填 r r r、 y y y、 x x x三者之一,使得连续的三个格子按顺序构成字符串 r y x ryx ryx恰好 n n n个。

这里连续的是指同一行、同一列或者同一 4 5 ∘ 45^{\circ} 45∘度斜线,方向任意(共 8 8 8个方向)。

0 ≤ n ≤ 2222 0\leq n\leq 2222 0≤n≤2222

题解

我们先考虑如何构造能使得字符串 r y x ryx ryx能达到 2222 2222 2222个。对于一个 40 × 40 40\times 40 40×40的矩阵,我们可以先每一行放满 r y x y ryxy ryxy。

r y x y r y x y ⋯ r y x y r y x y ⋯ r y x y r y x y ⋯ r y x y r y x y ⋯ ryxyryxy\cdots \\ ryxyryxy\cdots \\ ryxyryxy\cdots \\ ryxyryxy\cdots ryxyryxy⋯ryxyryxy⋯ryxyryxy⋯ryxyryxy⋯

这样每一行按从前往后的顺序有 10 10 10个字符串 r y x ryx ryx,从后往前的顺序有 9 9 9个字符串 r y x ryx ryx。每列 r r r往右上能有 38 38 38个字符串 r y x ryx ryx,往右下能有 38 38 38个字符串 r y x ryx ryx。除了第一列 r r r,每列 r r r往左上能有 38 38 38个字符串 r y x ryx ryx,往左下能有 38 38 38个字符串 r y x ryx ryx。那么总共有 ( 10 + 9 ) × 40 + ( 38 + 38 ) × 10 + ( 38 + 38 ) × 9 = 2204 (10+9)\times 40+(38+38)\times 10+(38+38)\times 9=2204 (10+9)×40+(38+38)×10+(38+38)×9=2204个字符串 r y x ryx ryx,还差 18 18 18个。

我们发现,最后一列的 y y y是没有用到的,那么我们把这一列全部改为 r y x y ryxy ryxy,那么从上往下有 10 10 10个字符串 r y x ryx ryx,从下往上有 9 9 9个字符串 r y x ryx ryx,那么这样的话,总共就有 2204 + 10 + 9 = 2223 2204+10+9=2223 2204+10+9=2223个字符串 r y x ryx ryx,我们用这个方法能够取到题目中 n n n的最大值。

令矩形的长和宽为 k = 40 k=40 k=40,我们可以先打一个能够 O ( k 2 ) O(k^2) O(k2)判断矩形中字符串 r y x ryx ryx的个数的函数 g t ( ) gt() gt()。先将整个矩形的每个位置视为空的,然后依次在每一行中从第一个为空的位置开始放入一行 r y x y ryxy ryxy。如果每一行都放完一次之后 g t ( ) ≤ n gt()\leq n gt()≤n,则继续从第一行开始在每一行中从第一个为空的位置开始放入一行 r y x y ryxy ryxy,直到 g t ( ) > n gt()>n gt()>n,就把当前放的 r y x y ryxy ryxy删去。此时, g t ( ) gt() gt()不一定等于 n n n,所以我们还要用最后一列来进行调整。同样地,从上往下不断放入 r y x y ryxy ryxy,直到 g t ( ) > n gt()>n gt()>n就将当前放入的 r y x y ryxy ryxy删去。注意每次放入一个 r y x y ryxy ryxy最多会使 g t ( ) gt() gt()增加 2 2 2,那么最后 g t ( ) gt() gt()要么等于 n n n,要么等于 n − 1 n-1 n−1。如果等于 n − 1 n-1 n−1,就在最后一列的末尾从下往上放入 r y x ryx ryx。因为 n ≤ 2222 < 2223 n\leq 2222<2223 n≤2222<2223,所以 r y x y ryxy ryxy不会放到最后一列的最后三个位置,那么最后放的 r y x ryx ryx对之前放的字母不会有任何影响。

对于为空的部分,我们全部填上 y y y。因为左边部分结尾的都是 y y y,而右边只有一列不全为 y y y,所以将为空的部分填上 y y y不会增加 r y x ryx ryx的数量。

这样就可以构造出满足题意的矩阵了。

时间复杂度为 O ( k 4 ) O(k^4) O(k4)。

code

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,fl;
char a[45][45];
int gt(){
	int re=0;
	for(int i=1;i<=40;i++){
		for(int j=1;j<=40;j++){
			if(a[i][j]=='r'){
				if(i-2>=1){
					if(a[i-2][j]=='x'&&a[i-1][j]=='y') ++re;
				}
				if(i+2<=40){
					if(a[i+2][j]=='x'&&a[i+1][j]=='y') ++re;
				}
				if(j-2>=1){
					if(a[i][j-2]=='x'&&a[i][j-1]=='y') ++re;
				}
				if(j+2<=40){
					if(a[i][j+2]=='x'&&a[i][j+1]=='y') ++re;
				}
				if(i-2>=1&&j-2>=1){
					if(a[i-2][j-2]=='x'&&a[i-1][j-1]=='y') ++re;
				}
				if(i-2>=1&&j+2<=40){
					if(a[i-2][j+2]=='x'&&a[i-1][j+1]=='y') ++re;
				}
				if(i+2<=40&&j-2>=1){
					if(a[i+2][j-2]=='x'&&a[i+1][j-1]=='y') ++re;
				}
				if(i+2<=40&&j+2<=40){
					if(a[i+2][j+2]=='x'&&a[i+1][j+1]=='y') ++re;
				}
			}
		}
	}
	return re;
}
int main()
{
//	freopen("ryx.in","r",stdin);
//	freopen("ryx.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=40;i++){
		for(int j=1;j<=40;j++){
			a[i][j]='y';
		}
	}
	for(int j=1;j<=40;j+=4){
		fl=0;
		for(int i=1;i<=40;i++){
			a[i][j]='r';
			a[i][j+1]='y';
			a[i][j+2]='x';
			a[i][j+3]='y';
			if(gt()>n){
				a[i][j]='y';
				a[i][j+1]='y';
				a[i][j+2]='y';
				a[i][j+3]='y';
				fl=1;break;
			}
		}
		if(fl) break;
	}
	for(int i=1;i<=40;i+=4){
		a[i][40]='r';
		a[i+1][40]='y';
		a[i+2][40]='x';
		a[i+3][40]='y';
		if(gt()>n){
			a[i][40]='y';
			a[i+1][40]='y';
			a[i+2][40]='y';
			a[i+3][40]='y';
			break;
		}
	}
	n-=gt();
	if(n){
		a[40][40]='r';
		a[39][40]='y';
		a[38][40]='x';
	}
	printf("40 40\n");
	for(int i=1;i<=40;i++){
		for(int j=1;j<=40;j++){
			printf("%c",a[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}
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