2.3 矩阵消元

一、消元矩阵

消元矩阵 执行消元步骤用到的矩阵。从第 i i i 个方程减去 l i j l_{ij} lij 乘第 j j j 个方程（将 x j x_j xj 从第 i i i 行中消去）。我们需要很多个简单的矩阵 E i j E_{ij} Eij，每一个对应一个主对角线下方要消除的非零数字。

后面我们会把所有的 E i j E_{ij} Eij 结合成一个矩阵 E E E，一次性完成消元。最简洁的方法是将所有的逆矩阵 ( E i j ) − 1 (E_{ij})^{-1} (Eij)−1 结合成一个整体的矩阵 L = E − 1 L=E^{-1} L=E−1。本节的内容：

1. 了解每一个步骤都是一次矩阵乘法。
2. 将所有步骤的 E i j E_{ij} Eij 结合成一个消元矩阵 E E E。
3. 了解每一个 E i j E_{ij} Eij 如何变成逆矩阵 ( E i j ) − 1 (E_{ij})^{-1} (Eij)−1。
4. 组合所有的逆矩阵 ( E i j ) − 1 (E_{ij})^{-1} (Eij)−1 （右序）变成 L L L。

L L L 的特殊性质是其所有的乘数 l i j l_{ij} lij 都是有序的，这些乘数在 E E E 中是混乱的（从 A A A 到 U U U 的前向消元），在 L L L 中（撤销消元，从 U U U 返回到 A A A）会变得有序。反向可以让这些步骤与矩阵 ( E i j ) − 1 (E_{ij})^{-1} (Eij)−1 落在反向序列中，防止混乱。

二、矩阵乘向量 Ax = b

上节的例题 3 × 3 3\times3 3×3 的方程组可以简写乘矩阵的形式 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b： 2 x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 = 2 4 x 1 + 9 x 2 − 3 x 3 = 8 − 2 x 1 − 3 x 2 + 7 x 3 = 10 等价于 [ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 ] [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 2 8 10 ] ( 2.3.1 ) \begin{matrix}2x_1+4x_2-2x_3=2\\4x_1+9x_2-3x_3=8\\-2x_1-3x_2+7x_3=10\end{matrix}\kern 6pt等价于\kern 6pt\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2\\\kern 7pt4&\kern 7pt9&-3\\-2&-3&\kern 7pt7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}\kern 10pt(2.3.1) 2x1+4x2−2x3=24x1+9x2−3x3=8−2x1−3x2+7x3=10等价于 24−249−3−2−37 x1x2x3 = 2810 (2.3.1)左侧的 9 9 9 个数字组成矩阵 A A A，矩阵 A A A 乘 x \boldsymbol x x 得到三个方程。
A A A 乘 x \boldsymbol x x 复习：矩阵乘向量得到向量。当方程的数目和未知数的数目相等时，矩阵为方阵。方阵通常表示为 n × n n\times n n×n。向量 x \boldsymbol x x 在 n n n 维空间。 未知数是 x = [ x 1 x 2 x 3 ] 解是 x = [ − 1 2 2 ] 未知数是\kern 5pt\boldsymbol x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\kern 10pt解是\kern 5pt\boldsymbol x=\begin{bmatrix}-1\\\kern 7pt2\\\kern 7pt2\end{bmatrix} 未知数是x= x1x2x3 解是x= −122 重点： A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 表示方程的行形式 ，也表示列形式 ： 列形式 A x = ( − 1 ) [ 2 4 − 2 ] + 2 [ 4 9 − 3 ] + 2 [ − 2 − 3 7 ] = [ 2 8 10 ] = b ( 2.3.2 ) 列形式\kern 10ptA\boldsymbol x=(-1)\begin{bmatrix}\kern 7pt2\\\kern 7pt4\\-2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}\kern 7pt4\\\kern 7pt9\\-3\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-2\\-3\\\kern 7pt7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}=\boldsymbol b\kern 10pt(2.3.2) 列形式Ax=(−1) 24−2 +2 49−3 +2 −2−37 = 2810 =b(2.3.2) A x A\boldsymbol x Ax 是 A A A 列的线性组合，要计算 A x A\boldsymbol x Ax 的分量时，可以使用矩阵乘法的行形式， A x A\boldsymbol x Ax 的分量就是 x \boldsymbol x x 与 A A A 每行的点积。可以使用累加表示： A x   的第一分量： ( − 1 ) ( 2 ) + ( 2 ) ( 4 ) + ( 2 ) ( − 2 ) A x   第   i   分量： ( row    i ) ⋅ x = a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + ⋯ + a i n x n A\boldsymbol x\,的第一分量：(-1)(2)+(2)(4)+(2)(-2)\kern 48pt\\A\boldsymbol x\,第 \,i\,分量：(\textrm{row}\,\,i)\cdot\boldsymbol x=a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n Ax的第一分量：(−1)(2)+(2)(4)+(2)(−2)Ax第i分量：(rowi)⋅x=ai1x1+ai2x2+⋯+ainxn符号记为： ∑ j = 1 n a i j x j \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j ∑j=1naijxj
∑ \sum ∑ 表示累加，从 j = 1 j=1 j=1 开始到 j = n j=n j=n 结束，从 a i 1 x 1 a_{i1}x_1 ai1x1 开始一直累加到 a i n x n a_{in}x_n ainxn，得到点积 ( row    i ) ⋅ x (\textrm{row}\,\,i)\cdot\boldsymbol x (rowi)⋅x 。

矩阵表示法：第 1 行第 1 列的元素（左上角）是 a 11 a_{11} a11，第 1 行第 3 列的元素是 a 13 a_{13} a13，第 3 行第 1 列的元素是 a 31 a_{31} a31（行数在前，列数在后）。一般规则： a i j = A ( i , j ) a_{ij}=A(i,j) aij=A(i,j)，位置在第 i i i 行 j j j 列。

【例1 】矩阵有 a i j = 2 i + j a_{ij}=2i+j aij=2i+j，则 a 11 = 3 , a 12 = 4 , a 21 = 5 a_{11}=3,a_{12}=4,a_{21}=5 a11=3,a12=4,a21=5。下面是由行得到 A x A\boldsymbol x Ax，分别用数字和字母表示： [ 3 4 5 6 ] [ 2 1 ] = [ 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 1 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 1 ] [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] [ x 1 x 2 ] = [ a 11 x 1 + a 12 x 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 ] \begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\cdot2+4\cdot1\\5\cdot2+6\cdot1\end{bmatrix}\kern 15pt\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2\\a_{21}x_1+a_{22}x_2\end{bmatrix} [3546][21]=[3⋅2+4⋅15⋅2+6⋅1][a11a21a12a22][x1x2]=[a11x1+a12x2a21x1+a22x2]

三、一个消元步骤的矩阵形式

方程 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b，从第二个式子中减去 2 2 2 乘第一个式子，在右侧， b \boldsymbol b b 的第二个分量减去 2 2 2 乘第一个分量： 第一步 b = [ 2 8 10 ] 变为 b new = [ 2 4 10 ] 第一步\kern 10pt\boldsymbol b=\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}\kern 10pt变为\kern 10pt\boldsymbol b_{\textrm {new}}=\begin{bmatrix}2\\4\\10\end{bmatrix} 第一步b= 2810 变为bnew= 2410 若使用矩阵形式实现上述步骤，则需要一个消元矩阵 E E E 乘 b \boldsymbol b b 得到 b new = E b \boldsymbol b_{\textrm{new}}=E\boldsymbol b bnew=Eb，从 b 2 b_2 b2 减去 2 b 1 2b_1 2b1： 消元矩阵 E = [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] 消元矩阵\kern 10ptE=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix} 消元矩阵E= 1−20010001 用 E E E 乘的结果是使得第 2 2 2 行减去 2 2 2 乘第 1 1 1 行，而第 1 、 3 1、3 1、3 行保持不变： [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 8 10 ] = [ 2 4 10 ] [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ b 1 b 2 b 3 ] = [ b 1 b 2 − 2 b 1 b 3 ] \begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\8\\10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\10\end{bmatrix}\kern 10pt\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2-2b_1\\b_3\end{bmatrix} 1−20010001 2810 = 2410 1−20010001 b1b2b3 = b1b2−2b1b3 E E E 的第 1 、 3 1、3 1、3 行是来自于单位矩阵 I I I，它们不会改变第一和第三分量，新的第二个分量 4 4 4 是消元之后出现的，即 b 2 − 2 b 1 b_2-2b_1 b2−2b1。

消元矩阵 E E E 是将单位矩阵 I I I 其中的一个 0 0 0 变为乘数 − l -l −l。

单位矩阵 对角线上的元素都是 1 1 1，其余的元素全为 0 0 0。对于任意的 b \boldsymbol b b 都有 I b = b I\boldsymbol b=\boldsymbol b Ib=b。消元矩阵 E i j E_{ij} Eij 在 i , j i,j i,j 位置处多了一个非零元素 − l -l −l，被 E i j E_{ij} Eij 乘会使得第 i i i 行减去 l l l 乘第 j j j 行。

【例2 】矩阵 E 31 E_{31} E31 的位置 3 , 1 3,1 3,1 是 − l -l −l： 单位矩阵 I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 消元矩阵 E 31 = [ 1 0 0 0 1 0 − l 0 1 ] 单位矩阵\kern 10ptI=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\kern 10pt消元矩阵\kern 5ptE_{31}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\\kern 7pt0&1&0\\-l&0&1\end{bmatrix} 单位矩阵I= 100010001 消元矩阵E31= 10−l010001 I I I 乘 b \boldsymbol b b 仍然得到 b \boldsymbol b b，但是 E 31 E_{31} E31 乘 b \boldsymbol b b 会从 b \boldsymbol b b 的第三分量减去 l l l 乘第一分量。当 l = 4 l=4 l=4 时，第三分量为 9 − 4 = 5 9-4=5 9−4=5： I b = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ 1 3 9 ] = [ 1 3 9 ] E 31 b = [ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 ] [ 1 3 9 ] = [ 1 3 5 ] I\boldsymbol b=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}\kern 10ptE_{31}\boldsymbol b=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-4&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix} Ib= 100010001 139 = 139 E31b= 10−4010001 139 = 135 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 进行消元时，两侧都会被 E 31 E_{31} E31 乘， E 31 E_{31} E31 的目的是在矩阵 ( 3 , 1 ) (3,1) (3,1) 位置处产生 0 0 0。

进行消元时，从矩阵 A A A 开始，需要使用多个 E E E 使得主元下方位置都产生 0 0 0，第一个 E E E 是 E 21 E_{21} E21，最终得到三角形 U U U。

消元过程中，向量 x \boldsymbol x x 不会变化，解 x \boldsymbol x x 也不会因消元而改变。只有系数矩阵会改变。若 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b，则 E A x = E b EA\boldsymbol x=E\boldsymbol b EAx=Eb，新矩阵 E A EA EA 是 E E E 乘 A A A 的结果。

四、矩阵乘法

两个矩阵如何相乘？若第一个矩阵是 E E E，目标是 E A EA EA， E E E 会使得 A A A 的行 2 2 2 减去 2 2 2 乘行 1 1 1，乘数是 2 2 2： E A = [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 4 − 2 4 9 − 3 − 2 − 3 7 ] = [ 2 4 − 2 0 1 1 − 2 − 3 7 ] ( 得到一个零 ) ( 2.3.3 ) EA=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2\\\kern 7pt4&\kern 7pt9&-3\\-2&-3&\kern 7pt7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2\\\kern 7pt\textbf0&\kern 7pt\textbf1&\kern 7pt\textbf1\\-2&-3&\kern 7pt7\end{bmatrix}\kern 5pt(得到一个零)\kern 10pt(2.3.3) EA= 1−20010001 24−249−3−2−37 = 20−241−3−217 (得到一个零)(2.3.3)这个步骤没有改变 A A A 的行 1 1 1 和行 3 3 3，它们在 E A EA EA 中保持不变，只改变了行 2 2 2，行 2 2 2 减去了行 1 1 1 的 2 2 2 倍。矩阵乘法与消元法达成了相同的目的，新的系统为 E A x = E b EA\boldsymbol x=E\boldsymbol b EAx=Eb。
E A x EA\boldsymbol x EAx 虽然简单，确含有一个巧妙的思想。从 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b 开始，两边同时用 E E E 乘得到 E ( A x ) = E b E(A\boldsymbol x)=E\boldsymbol b E(Ax)=Eb。使用矩阵乘法，也是 ( E A ) x = E b (EA)\boldsymbol x=E\boldsymbol b (EA)x=Eb。

第一个是 E E E 乘 A x A\boldsymbol x Ax，第二个是 E A EA EA 乘 x \boldsymbol x x，它们是相同的。

括号不需要了，可直接写成 E A x EA\boldsymbol x EAx。

这个规律可以扩展至有多个列向量的矩阵 C C C，计算 E A C EAC EAC 可以先算 A C AC AC，也可以先算 E A EA EA，这个规律就是结合律 。

注意通常情况下 E A EA EA 不等于 A E AE AE。当 E E E 乘在右侧时，它作用于 A A A 的列而不是行。 A E AE AE 会使得 A A A 的列 1 1 1 减去 2 2 2 乘列 2 2 2 结合律正确 A ( B C ) = ( A B ) C 交换律错误 通常 A B ≠ B A 结合律正确\kern 10ptA(BC)=(AB)C\\交换律错误\kern 10pt通常AB\neq BA\kern 12pt 结合律正确A(BC)=(AB)C交换律错误通常AB=BA矩阵乘法还有另外一个要求，假设 B B B 只有一列（列 b \boldsymbol b b），矩阵 - 矩阵相乘 E B EB EB 应和矩阵 - 向量相乘的法则一致。甚至矩阵乘法 E B EB EB 可以一次乘一列：
如果 B B B 有多个列 b 1 , b 2 , b 3 b_1,b_2,b_3 b1,b2,b3，则 E B EB EB 的列为 E b 1 , E b 2 , E b 3 Eb_1,Eb_2,Eb_3 Eb1,Eb2,Eb3。 矩阵乘法 E B = E [ b 1 , b 2 , b 3 ] = [ E b 1 , E b 2 , E b 3 ] ( 2.3.4 ) 矩阵乘法\kern 10ptEB=E[b_1,b_2,b_3]=[Eb_1,Eb_2,Eb_3]\kern 15pt(2.3.4) 矩阵乘法EB=E[b1,b2,b3]=[Eb1,Eb2,Eb3](2.3.4)对于式（2.3.3），也可以使用这项性质。 E E E 乘 A A A 的列 3 3 3，也可以得到正确的 E A EA EA 的列 3 3 3： [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ − 2 − 3 7 ] = [ − 2 1 7 ] E ( A 的列 j ) = E A   的列   j \begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\-3\\\kern 7pt7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\\kern 7pt1\\\kern 7pt7\end{bmatrix}\kern 10ptE(A的列\kern 1ptj)=EA\,的列\,j 1−20010001 −2−37 = −217 E(A的列j)=EA的列j矩阵乘法有三种处理方式（行、列、整个矩阵）都可以得到正确的结果。

五、行交换矩阵 P i j P_{ij} Pij

从行 i i i 减去行 j j j 使用 E i j E_{ij} Eij，交换或置换这些行使用另外一种矩阵 P i j P_{ij} Pij（置换矩阵 ）。如果主元位置出现零时，那么就需要行交换，往下方看，主元这一列可能存在非零数字，交换这两行就有主元了，消元也可以继续进行。

置换矩阵 P 23 P_{23} P23 可以交换行 2 2 2 与行 3 3 3，将单位矩阵的行 2 2 2 与行 3 3 3 交换，就可得到 P 23 ： P_{23}： P23： 置换矩阵 P 23 = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] 置换矩阵\kern 10ptP_{23}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} 置换矩阵P23= 100001010 这个就是行交换矩阵 。 P 23 P_{23} P23 乘任意的列向量，都会使其第二分量和第三分量交换，因此也可以交换矩阵的行 2 2 2 与行 3 3 3： [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] [ 1 3 5 ] = [ 1 5 3 ] , [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] [ 2 4 1 0 0 3 0 6 5 ] = [ 2 4 1 0 6 5 0 0 3 ] \begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\3\\5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\5\\3\end{bmatrix},\kern 13pt\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&4&1\\0&0&3\\0&6&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4&1\\0&6&5\\0&0&3\end{bmatrix} 100001010 135 = 153 , 100001010 200406135 = 200460153 P 23 P_{23} P23 交换了行 2 2 2 与行 3 3 3，使得主元的位置从 0 0 0 变成了 6 6 6。

置换矩阵可以交换行的顺序。例如行 1 , 2 , 3 1,2,3 1,2,3 可以变为行 3 , 1 , 2 3,1,2 3,1,2。

行交换矩阵： 单位矩阵的行 i i i 与 j j j 交换顺序可以得到 P i j P_{ij} Pij。当置换矩阵 P i j P_{ij} Pij 乘一个矩阵时，则该矩阵交换行 i i i 与行 j j j。

交换方程   1   与方程   3 ，左边乘上 P 13 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 交换方程\,1\,与方程\,3，左边乘上 P_{13}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} 交换方程1与方程3，左边乘上P13= 100010001 一般来说要将主元移至对角线时，需要用到置换矩阵。

六、增广矩阵

下面是一个矩形矩阵也是来源于原始方程，但是包括了右侧的 b \boldsymbol b b。

关键点：消元法对于 A A A 与 b \boldsymbol b b 有相同的行操作，我们可以将 b \boldsymbol b b 当做一个额外的列，一起进行消元。额外列 b \boldsymbol b b 加入后，矩阵 A A A 就变大了，称为增广 （augmented）矩阵： 增广矩阵 [ A b ] = [ 2 4 − 2 2 4 9 − 3 8 − 2 − 3 7 10 ] \pmb{增广矩阵}\kern 5pt[A\kern 6pt\boldsymbol b]=\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2&\pmb2\\\kern 7pt4&\kern 7pt9&-3&\pmb8\\-2&-3&\kern 7pt7&\pmb{10}\end{bmatrix} 增广矩阵[Ab]= 24−249−3−2−372810 消元法作用于矩阵的整个行， E E E 同时乘上左侧和右侧，得到方程 2 2 2 减去 2 2 2 乘方程 1 1 1，这个步骤同时发生在 [ E b ] [E\kern 6pt\boldsymbol b] [Eb]： [ 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ] [ 2 4 − 2 2 4 9 − 3 8 − 2 − 3 7 10 ] = [ 2 4 − 2 2 0 1 1 4 − 2 − 3 7 10 ] \begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-2&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2&2\\\kern 7pt4&\kern 7pt9&-3&8\\-2&-3&\kern 7pt7&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\kern 7pt2&\kern 7pt4&-2&2\\\kern 7pt0&\kern 7pt1&\kern 7pt1&4\\-2&-3&\kern 7pt7&10\end{bmatrix} 1−20010001 24−249−3−2−372810 = 20−241−3−2172410 新的第二行包含 0 , 1 , 1 , 4 0,1,1,4 0,1,1,4，新的方程 2 2 2 为 x 2 + x 3 = 4 x_2+x_3=4 x2+x3=4。矩阵乘法同时作用于行和列： 行： E   的每一行作用在 [ A b ] 得到 [ E A E b ] 的一行 列： E 作用于 [ A b ] 的每一列得到 [ E A E b ] 的一列 \pmb{行：}E\,的每一行作用在[A\kern 6pt\boldsymbol b]得到 [EA\kern 6ptE\boldsymbol b]的一行\\\pmb{列：}E作用于 [A\kern 6pt\boldsymbol b]的每一列得到[EA\kern 6ptE\boldsymbol b]的一列 行：E的每一行作用在[Ab]得到[EAEb]的一行列：E作用于[Ab]的每一列得到[EAEb]的一列注意作用 （act）的意义。矩阵 A A A 作用于 x \boldsymbol x x 得到 b \boldsymbol b b。矩阵 E E E 作用于 A A A 得到 E A EA EA。消元法的过程就是一系列的行运算，也是矩阵乘法。从 A A A 到 E 21 A E_{21}A E21A，再到 E 31 E 21 A E_{31}E_{21}A E31E21A，最后是 E 32 E 31 E 21 A E_{32}E_{31}E_{21}A E32E31E21A，它是个三角矩阵。

方程右侧的引入形成了增广矩阵，最后结果是一个方程的三角形系统。

七、主要内容总结

1. A x = ( x 1 乘列   1 ) + ⋯ + ( x n 乘列   n ) A\boldsymbol x=(x_1乘列\,1)+\cdots+(x_n乘列\,n) Ax=(x1乘列1)+⋯+(xn乘列n)， ( A x ) i = ∑ j = 1 n a i j x j (A\boldsymbol x)i=\sum{j=1}^{n}a_{ij}x_j (Ax)i=∑j=1naijxj。
2. 单位矩阵 = I 单位矩阵=I 单位矩阵=I， 消元矩阵 = E i j , 使用乘数   l 21 消元矩阵=E_{ij},使用乘数\,l_{21} 消元矩阵=Eij,使用乘数l21， 置换矩阵 = P i j 置换矩阵=P_{ij} 置换矩阵=Pij。
3. E 21 E_{21} E21 乘 A x = b A\boldsymbol x=\boldsymbol b Ax=b，得到方程 2 2 2 减去 l 21 l_{21} l21 乘方程 1 1 1。 − l 21 -l_{21} −l21 是消元矩阵 E 21 E_{21} E21 在位置 ( 2 , 1 ) (2,1) (2,1) 处的元素。
4. 增广矩阵 [ A b ] \begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix} [Ab]，消元步骤得到 [ E 21 A E 21 b ] \begin{bmatrix}E_{21}A&E_{21}\boldsymbol b\end{bmatrix} [E21AE21b]。
5. A A A 乘任意矩阵 B B B，等于 A A A 分别乘 B B B 的每一列。

八、例题

【例3 】什么样的 3 × 3 3\times3 3×3 矩阵 E 21 E_{21} E21 使得矩阵 A A A 的行 2 2 2 减去 4 4 4 乘行 1 1 1？什么样的矩阵 P 32 P_{32} P32 交换矩阵 A A A 的行 2 2 2 与行 3 3 3？如果对矩阵 A A A 右乘而不是左乘，描述 A E 21 AE_{21} AE21 与 A P 32 AP_{32} AP32 的结果？
解： 对单位矩阵 I I I 执行一些运算，可得 E 21 = [ 1 0 0 − 4 1 0 0 0 1 ] , P 32 = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] E_{21}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\-4&1&0\\\kern 7pt0&0&1\end{bmatrix},\kern 15ptP_{32}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix} E21= 1−40010001 ,P32= 100001010 E 21 E_{21} E21 乘在矩阵 A A A 的右侧使得 A A A 的列 1 1 1 减去 4 4 4 乘列 2 2 2， P 32 P_{32} P32 乘在右侧会交换列 2 2 2 与 列 3 3 3。

【例4 】写出下面方程组的增广矩阵 [ A b ] \begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix} [Ab]： x + 2 y + 2 z = 1 4 x + 8 y + 9 z = 3 3 y + 2 z = 1 \kern 4ptx+2y+2z=1\\4x+8y+9z=3\\\kern 24pt3y+2z=1 x+2y+2z=14x+8y+9z=33y+2z=1使用 E 21 E_{21} E21 和 P 32 P_{32} P32 得到三角形系统。用回代求解方程组。组合矩阵 P 32 E 21 P_{32}E_{21} P32E21 一次做了那些工作？
解： E 21 E_{21} E21 使列 1 1 1 的 4 4 4 变为 0 0 0，但是 0 0 0 也出现在了列 2 2 2： [ A b ] = [ 1 2 2 1 4 8 9 3 0 3 2 1 ] , E 21 [ A b ] = [ 1 2 2 1 0 0 1 − 1 0 3 2 1 ] \begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&1\\\pmb4&8&9&3\\0&3&2&1\end{bmatrix},\kern 10ptE_{21}\begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&\kern 7pt1\\\pmb0&\pmb0&1&-1\\0&3&2&\kern 7pt1\end{bmatrix} [Ab]= 140283292131 ,E21[Ab]= 1002032121−11 P 32 P_{32} P32 交换行 2 2 2 与行 3 3 3，回代可以求出解 z , y , x z,y,x z,y,x： P 32 E 21 [ A b ] = [ 1 2 2 1 0 3 2 1 0 0 1 − 1 ] , [ x y z ] = [ 1 1 − 1 ] P_{32}E_{21}\begin{bmatrix}A&\boldsymbol b\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&2&\kern 7pt1\\0&3&2&\kern 7pt1\\0&0&1&-1\end{bmatrix},\kern 10pt\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\kern 7pt1\\\kern 7pt1\\-1\end{bmatrix} P32E21[Ab]= 10023022111−1 , xyz = 11−1 组合矩阵 P 32 E 21 P_{32}E_{21} P32E21 可以同时完成两个步骤， P 32 P_{32} P32 作用于 E 21 E_{21} E21： 一个矩阵 两个步骤 P 32 E 21 = E 21 交换行   2 与行   3 = [ 1 0 0 0 0 1 − 4 1 0 ] \begin{matrix}\pmb{一个矩阵}\\\pmb{两个步骤}\end{matrix}\kern 10ptP_{32}E_{21}=E_{21}交换行\,2与行\,3=\begin{bmatrix}\kern 7pt1&0&0\\\kern 7pt0&0&1\\-4&1&0\end{bmatrix} 一个矩阵两个步骤P32E21=E21交换行2与行3= 10−4001010 【例5 】矩阵乘法有两种方式。第一， A A A 的行乘 B B B 的列；第二， A A A 的列乘 B B B 的行，这个不寻常的方法会产生两个矩阵，相加后得到 A B AB AB。两种方法各需要多少次乘法？ 两种方法 A B = [ 3 4 1 5 2 0 ] [ 2 4 1 1 ] = [ 10 16 7 9 4 8 ] \pmb{两种方法}\kern 10ptAB=\begin{bmatrix}3&4\\1&5\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&4\\1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}10&16\\7&9\\4&8\end{bmatrix} 两种方法AB= 312450 [2141]= 10741698 解： A A A 的行乘 B B B 的列是向量的点积： ( row   1 ) ⋅ ( column   1 ) = [ 3 4 ] [ 2 1 ] = 10 是   A B   在 ( 1 , 1 ) 处的元素 ( row   2 ) ⋅ ( column   1 ) = [ 1 5 ] [ 2 1 ] = 7 是   A B   在 ( 2 , 1 ) 处的元素 (\textrm{row}\,1)\cdot(\textrm{column}\,1)=\begin{bmatrix}3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=10\kern 7pt是\,AB\,在(1,1)处的元素\\(\textrm{row\,2})\cdot(\textrm{column}\,1)=\begin{bmatrix}1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=7\kern 13pt是\,AB\,在(2,1)处的元素 (row1)⋅(column1)=[34][21]=10是AB在(1,1)处的元素(row2)⋅(column1)=[15][21]=7是AB在(2,1)处的元素总共要做 6 6 6 个点积，每个有 2 2 2 次乘法，总共需要 ( 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = 12 (3\cdot2\cdot2)=12 (3⋅2⋅2)=12 次乘法。 A B AB AB 也可以是 A A A 的列乘 B B B 的行，一列乘一行是一个矩阵，也是 12 12 12 次乘法： A B = [ 3 1 2 ] [ 2 4 ] + [ 4 5 0 ] [ 1 1 ] = [ 6 12 2 4 4 8 ] + [ 4 4 5 5 0 0 ] AB=\begin{bmatrix}3\\1\\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\5\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&12\\2&4\\4&8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4&4\\5&5\\0&0\end{bmatrix} AB= 312 [24]+ 450 [11]= 6241248 + 450450