线性代数（六）| 二次型标准型转换正定二次型正定矩阵

Qodi2023-11-11 12:20

1. 二次型化为标准型

和第五章有什么样的联系

首先上一章我们说过对于对称矩阵，一定存在一个正交矩阵Q，使得 $Q\^{-1}AQ=B$ B为对角矩阵

那么这一章中，我们讲到，二次型写成矩阵后本质上就是一个对称矩阵，而我们想把它变的标准型，不就正好是一个对角矩阵，那么实际上我们的这个化标准型，本质上不就是矩阵对角化吗

但我们在上一章中是 $Q\^{-1}AQ=B$ 引入的矩阵关系叫矩阵相似

而在这一章中是 $Q\^{T}AQ=B$ 引入的矩阵关系叫矩阵合同

有同学会很好奇，那这不是不一样嘛，而我们其实了解到，对于正交矩阵 Q − 1 = Q T Q^{-1}=Q^T Q−1=QT ，也就不难理解他们是一样的了

（1）求矩阵特征值和特征向量

（2）特征向量正交化和单位化

一般用到比较少

等价关系

（1）二次型 X T A X X^TAX XTAX是>0的

（2）A是正定矩阵

（3）A的正惯性指数是n

（4）A合同于单位矩阵

（5）A的特征值都是正数

（6）A的顺序主子式都大于零

可以写出二次型矩阵 ( 1 t 1 t 4 0 1 0 2 ) \begin{pmatrix}1&t&1\\t&4&0\\1&0&2\end{pmatrix} 1t1t40102 另它的行列式大于零即可