b站宋浩老师的高等数学网课,全套笔记已记完,不定期复习并发布更新。
章节顺序与同济大学第七版教材所一致。
目录
首先插播一下考研数学一对于这一章的要求:
1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系.
3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.
5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6.掌握极限的性质及四则运算法则.
7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.
作为大学数学的先导课程章节,《函数与极限》相当于是中学时期初等数学的一个进阶版:
- 首先对于映射和函数的定义,虽然中学也接触过,但高数中给出了更加严格明了的规定:函数本质上是特殊的映射------映射可以为任何事物的映射,而函数则是数集到数集的映射~
- 函数的几种特性中学有所接触,在大学中不算什么难事~
- 数列的极限可以说是应试教育中的一个新鲜术语,严格的伊普西龙-德尔塔 语言中,德尔塔存在的意义是刻画数列项的充分接近(即几乎不变) ,而伊普西龙本质为一个无穷小的正数,意义在于数列元素值与极限值的差异几乎为0
- 函数的极限和数列的极限本质上相同,你可以理解为离散型随机变量和连续型随机变量的区别~(即有限个与无限个取值的区别)
1.1映射与函数
1.2数列的极限
1.3函数的极限
- 在无穷小这一章节中,引出无穷小的定义------各位千万不要理解错了,顾名思义,趋于零就叫无穷小 ;同理趋于无穷则是无穷大。需要注意的是,这里值得是函数值的变化,而并非自变量趋于的值------当x趋于0或无穷大时极限为0,都被称为无穷大~
- 在极限的运算法则中,要避免惯性思维的阴谋------所谓的极限是指无限接近但永不相等~
- 极限存在准则,即所谓的夹逼定理,和高中学的放缩法很类似
- 2个重要极限,分别是sinx/x=1和(1+1/x)^x=e
1.4无穷小和无穷大
1.5极限运算准则
1.6极限存在准则and两个重要极限
1.7无穷小
- 有关无穷小的量级问题,我们规定趋于零速度快的函数被称为高阶无穷小~
- 所谓连续,即当x值的变化量趋于0时y值的变化量也趋于0。连续的3个条件是,x处有极限、x处有定义,且极限值与函数值相同,我们称函数在这一点上连续~
- 零点存在定理是指,在闭区间上连续的函数,且端点处函数值之积小于零,则该区间上一定有一点使得f(x)=0
- 介值定理是指,在闭区间上至少有一点处的函数值,位于端点函数值中间