宋浩高等数学笔记(一)函数与极限

b站宋浩老师的高等数学网课,全套笔记已记完,不定期复习并发布更新。

章节顺序与同济大学第七版教材所一致。

目录

1.1映射与函数

1.2数列的极限

1.3函数的极限

1.4无穷小和无穷大

1.5极限运算准则

1.6极限存在准则and两个重要极限

1.7无穷小

1.8函数的连续性和间断点

1.9连续函数的运算and初等函数的连续性

1.10闭区间上连续函数的性质


首先插播一下考研数学一对于这一章的要求:

1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,会建立应用问题的函数关系

2.了解函数的有界性单调性、周期性和奇偶性

3.理解复合函数分段函数的概念,了解反函数隐函数的概念.

4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.

5.理解极限的概念,理解函数左极限右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.

6.掌握极限的性质及四则运算法则

7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法.

8.理解无穷小量无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.

9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型.

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性最大值最小值定理、介值定理),并会应用这些性质.


作为大学数学的先导课程章节,《函数与极限》相当于是中学时期初等数学的一个进阶版:

  • 首先对于映射和函数的定义,虽然中学也接触过,但高数中给出了更加严格明了的规定:函数本质上是特殊的映射------映射可以为任何事物的映射,而函数则是数集到数集的映射~
  • 函数的几种特性中学有所接触,在大学中不算什么难事~
  • 数列的极限可以说是应试教育中的一个新鲜术语,严格的伊普西龙-德尔塔 语言中,德尔塔存在的意义是刻画数列项的充分接近(即几乎不变) ,而伊普西龙本质为一个无穷小的正数,意义在于数列元素值与极限值的差异几乎为0
  • 函数的极限和数列的极限本质上相同,你可以理解为离散型随机变量和连续型随机变量的区别~(即有限个与无限个取值的区别)

1.1映射与函数

1.2数列的极限

1.3函数的极限

  • 在无穷小这一章节中,引出无穷小的定义------各位千万不要理解错了,顾名思义,趋于零就叫无穷小 ;同理趋于无穷则是无穷大。需要注意的是,这里值得是函数值的变化,而并非自变量趋于的值------当x趋于0或无穷大时极限为0,都被称为无穷大~
  • 在极限的运算法则中,要避免惯性思维的阴谋------所谓的极限是指无限接近但永不相等~
  • 极限存在准则,即所谓的夹逼定理,和高中学的放缩法很类似
  • 2个重要极限,分别是sinx/x=1和(1+1/x)^x=e

1.4无穷小和无穷大

1.5极限运算准则

1.6极限存在准则and两个重要极限

1.7无穷小

  • 有关无穷小的量级问题,我们规定趋于零速度快的函数被称为高阶无穷小~
  • 所谓连续,即当x值的变化量趋于0时y值的变化量也趋于0。连续的3个条件是,x处有极限、x处有定义,且极限值与函数值相同,我们称函数在这一点上连续~
  • 零点存在定理是指,在闭区间上连续的函数,且端点处函数值之积小于零,则该区间上一定有一点使得f(x)=0
  • 介值定理是指,在闭区间上至少有一点处的函数值,位于端点函数值中间

1.8函数的连续性和间断点

1.9连续函数的运算and初等函数的连续性

1.10闭区间上连续函数的性质

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