AM@方向导数概念和定理

文章目录

• • abstract
  • 方向导数
  • • 二元函数方向导数
    • 偏导数是方向导数的特例
    • • 偏导数存在一定有对应的方向导数存在
      • 方向导数存在不一定有偏导数存在
      • 例
    • 三元函数方向导数
    • • 例
  • 方向导数存在定理和计算公式
  • • 证明
    • • 二元函数
      • 三元函数

abstract

• 方向导数的概念,定理和计算公式
• 方向导数是对偏导的补充,其本质上是一个极限问题,而其计算可以转化为偏导的计算和方向余弦的计算,表现为偏导数构成的向量和方向余弦构成的向量作数量积

方向导数

• 偏导数 反映的是函数(自变量)沿着坐标轴方向 的变换率

• 为研究多元函数在某一点P沿任意方向 (某个方向)的变化率,偏导数无法满足要求,因此引入多元函数的方向导数的概念

  • 例如,设 f ( P ) f(P) f(P)表示某物体内点P的温度,那么这个物体的热传导就依赖于温度沿某些方向的变化率
  • 预测某地的风向和风力,就需要知道气压在该处沿某些方向的变化率

二元函数方向导数

• 设 l l l为 x O y xOy xOy平面上以 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)为始点的一条射线,设其倾斜角为 α ( α ∈ [ 0 , π ) ) \alpha(\alpha\in[0,\pi)) α(α∈[0,π)),则 e l \bold{e_{l}} el= ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) (\cos\alpha,\cos\beta) (cosα,cosβ)是与 l l l同方向的单位向量
  • α + β = π 2 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2} α+β=2π, cos ⁡ β = sin ⁡ α \cos\beta=\sin\alpha cosβ=sinα, cos ⁡ 2 α + cos ⁡ 2 β \cos^2\alpha+\cos^2\beta cos2α+cos2β= cos ⁡ 2 α + sin ⁡ 2 α = 1 \cos^{2}\alpha+\sin^2\alpha=1 cos2α+sin2α=1
• 由直线的参数方程公式,射线所在直线的参数方程为 x = x 0 + t cos ⁡ α x=x_0+t\cos\alpha x=x0+tcosα; y = y 0 + t cos ⁡ β y=y_0+t\cos\beta y=y0+tcosβ,其中 t t t为任意常数;而此处要求射线的方程,需要限制 t ⩾ 0 t\geqslant{0} t⩾0
• 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P 0 P_{0} P0的某个邻域 U ( P 0 ) U(P_{0}) U(P0)内有定义, P ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β ) P(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta) P(x0+tcosα,y0+tcosβ)为 l l l上的另一点,切 P ∈ U ( P 0 ) P\in{U}(P_{0}) P∈U(P0)
  • 若记函数增量 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0) f(x0+tcosα,y0+tcosβ)−f(x0,y0); P → P 0 P\to{P_0} P→P0的距离 ∣ P P 0 ∣ = t |PP_{0}|=t ∣PP0∣=t
  • lim ⁡ t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t→0+limtΔz极限存在,则称该极限为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)沿方向 l l l的方向导数 ,记为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)
  • 即 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)= lim ⁡ t → 0 + Δ z t \lim\limits{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t→0+limtΔz(1)
• 由方向导数的定义可知,式(1)就是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 P_{0} P0处沿着方向 l l l的变化率 (射线 l l l方向的变化率)
• 方向导数本质是求极限

偏导数是方向导数的特例

偏导数存在一定有对应的方向导数存在

• 若函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 P_0 P0的偏导数存在,沿 x x x轴正方向同向的一个单位向量为 e l \bold{e}{l} el= i \bold{i} i= ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0),则 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)= f x ( x 0 , y 0 ) f_{x}(x_0,y_0) fx(x0,y0)
  • 此时 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + t , y 0 + 0 t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t,y_0+0t)-f(x_0,y_0) f(x0+t,y0+0t)−f(x0,y0)= f ( x 0 + t , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0) f(x0+t,y0)−f(x0,y0)
• 同理,若 e l \bold{e}{l} el= j = ( 0 , 1 ) \bold{j}=(0,1) j=(0,1),则 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)= f y ( x 0 , y 0 ) f_{y}(x_0,y_0) fy(x0,y0)
  • 此时 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + 0 t , y 0 + t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+0t,y_0+t)-f(x_0,y_0) f(x0+0t,y0+t)−f(x0,y0)= f ( x 0 , y 0 + t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0) f(x0,y0+t)−f(x0,y0)

方向导数存在不一定有偏导数存在

• 若 e l = i \bold{e}{l}=\bold{i} el=i, ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)存在,未必有 ∂ f ∂ x ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|{(x_0,y_0)} ∂x∂f∣(x0,y0)= f x ( x 0 , y 0 ) f{x}(x_0,y_0) fx(x0,y0)存在
  • 例如: z = x 2 + y 2 z=\sqrt{x^2+y^2} z=x2+y2 在点 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)处沿 l = i l=\bold{i} l=i的方向的方向导数 ∂ f ∂ l ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)} ∂l∂f∣(0,0)=1
    • 由方向导数的定义可以计算方向导数,但是这很不方便,后面介绍使用方向导数存在定理和计算公式
    • 这里先用定义计算: Δ z = f ( x 0 + t , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta_{z}=f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0) Δz=f(x0+t,y0)−f(x0,y0)= f ( t , 0 ) − f ( 0 , 0 ) f(t,0)-f(0,0) f(t,0)−f(0,0)= ∣ t ∣ − 0 |t|-0 ∣t∣−0= t t t, ( t > 0 ) (t>0) (t>0)
    • 从而 lim ⁡ t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t→0+limtΔz=1,即 ∂ f ∂ l ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)} ∂l∂f∣(0,0)=1
  • 而 ∂ f ∂ x ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{(0,0)} ∂x∂f∣(0,0)不存在(因为 ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f= x x 2 + y 2 \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} x2+y2 x,在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处没有定义)

例

• 求函数 z = x e 2 y z=xe^{2y} z=xe2y在点 P ( 1 , 0 ) P(1,0) P(1,0)处,沿从点P到Q(2,-1)的方向的方向导数值

  • 方向 l l l,即 P Q → = ( 2 − 1 , − 1 − 0 ) = ( 1 , − 1 ) \overrightarrow{PQ}=(2-1,-1-0)=(1,-1) PQ =(2−1,−1−0)=(1,−1)的方向

  • 单位向量 l 0 = 1 1 2 + ( − 1 ) 2 ( 1 , − 1 ) = ( 1 2 , − 1 2 ) l_0=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}(1,-1)=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}) l0=12+(−1)2 1(1,−1)=(2 1,−2 1)

    • cos ⁡ α = 1 2 \cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}} cosα=2 1
    • cos ⁡ β = − 1 2 \cos{\beta}=-\frac{1}{\sqrt{2}} cosβ=−2 1

  • ∂ z ∂ x ∣ P = e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) = 1 \left.\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right|P=e^{2y}|{(1,0)}=1 ∂x∂z P=e2y∣(1,0)=1; ∂ z ∂ y ∣ P = 2 x e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) = 2 \left.\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right|P=2xe^{2y}|{(1,0)}=2 ∂y∂z P=2xe2y∣(1,0)=2

  • ∂ z ∂ l \frac{\partial{z}}{\partial{l}} ∂l∂z= ∂ z ∂ x ∣ P cos ⁡ α + ∂ z ∂ y ∣ P cos ⁡ β \left.\frac{\partial{z}} {\partial{x}}\right|_P\cos{\alpha} +\left.\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right|_P\cos{\beta} ∂x∂z Pcosα+∂y∂z Pcosβ= 1 × 1 2 + 2 × − 1 2 = − 2 2 1\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}+2\times{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} 1×2 1+2×−2 1=−22

三元函数方向导数

• 对于三元函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)来说,它在空间一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)沿某 P 0 P_0 P0为始点的射线 l l l的方向 e l \bold{e}{l} el= ( cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)= lim ⁡ t → 0 + Δ u t \lim\limits_{t\to{0^{+}}} \frac{\Delta{u}}{t} t→0+limtΔu(1)

  • 其中 Δ u \Delta{u} Δu= f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β , z 0 + t cos ⁡ γ ) − f ( x 0 , y 0 , z 0 ) f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-f(x_0,y_0,z_0) f(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)−f(x0,y0,z0)

• 若式(1)极限存在,则称该极限为 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点 P 0 P_{0} P0沿方向 l l l的方向导数 ,记为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0,z_0)} ∂l∂f∣(x0,y0,z0)

例

• 设多元一次函数 f ( x , y , z ) = a x + b y + c z f(x,y,z)=ax+by+cz f(x,y,z)=ax+by+cz,向量 l l l的方向余弦为 cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ \cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma} cosα,cosβ,cosγ
• 设点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z), P ′ ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) P'(x+\Delta{x},y+\Delta{y},z+\Delta{z}) P′(x+Δx,y+Δy,z+Δz)都是 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)上的点

  • Δ f \Delta{f} Δf= f ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) f(x+\Delta{x},y+\Delta{y},z+\Delta{z}) f(x+Δx,y+Δy,z+Δz)- f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)= a ( x + Δ x ) + b ( y + Δ y ) + c ( z + Δ z ) a(x+\Delta{x})+b(y+\Delta{y})+c(z+\Delta{z}) a(x+Δx)+b(y+Δy)+c(z+Δz)- ( a x + b y + c z ) (ax+by+cz) (ax+by+cz)= a Δ x + b Δ y + c Δ z a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z} aΔx+bΔy+cΔz

  • f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)沿 l l l方向的平均变化率为 Δ f ∣ P P ′ ∣ \frac{\Delta{f}}{|PP'|} ∣PP′∣Δf= 1 ∣ P P ′ ∣ ( a Δ x + b Δ y + c Δ z ) \frac{1}{|PP'|}(a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z}) ∣PP′∣1(aΔx+bΔy+cΔz)

    • ( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta{x},\Delta{y},\Delta{z}) (Δx,Δy,Δz)= ( ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ α , ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ β , ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ γ ) (|PP'|\cos{\alpha},|PP'|\cos{\beta},|PP'|\cos{\gamma}) (∣PP′∣cosα,∣PP′∣cosβ,∣PP′∣cosγ)

    • a Δ x + b Δ y + c Δ z a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z} aΔx+bΔy+cΔz= ( a ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ α + b ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ β + c ∣ P P ′ ∣ cos ⁡ γ ) (a|PP'|\cos{\alpha}+b|PP'|\cos{\beta}+c|PP'|\cos{\gamma}) (a∣PP′∣cosα+b∣PP′∣cosβ+c∣PP′∣cosγ)

    • Δ f ∣ P P ′ ∣ \frac{\Delta{f}}{|PP'|} ∣PP′∣Δf= a cos ⁡ α + b cos ⁡ β + c cos ⁡ γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ;

    • 令 t = ∣ P P ′ ∣ t=|PP'| t=∣PP′∣, lim ⁡ t → 0 Δ f t \lim\limits_{t\to{0}}{\frac{\Delta{f}}{t}} t→0limtΔf= a cos ⁡ α + b cos ⁡ β + c cos ⁡ γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ,所以 ∂ f ∂ l \frac{\partial{f}}{\partial{l}} ∂l∂f= a cos ⁡ α + b cos ⁡ β + c cos ⁡ γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ(1)

  • 这表明,一次函数沿 l l l方向的方向导数不随点的位置而改变

  • 但是沿不同方向的方向导数一般不同(方向余弦发生改变)

方向导数存在定理和计算公式

• 若函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P{(x_0,y_0,z_0}) P(x0,y0,z0)可微分,那么函数在该点沿任意方向 l l l的方向导数存在,且 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)= f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β f{x}(x_0,y_{0})\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ(0)
  • 其中 cos ⁡ α , cos ⁡ β \cos\alpha,\cos\beta cosα,cosβ是方向 l l l方向余弦 ;直线 l l l在坐标面 x O y xOy xOy内,所以若要按空间直线处理, cos ⁡ γ \cos\gamma cosγ=0
• 类似的,若函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)为微分,则函数在该点验证方向 e l \bold{e}{l} el= ( cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|{(x_0,y_0,z_0)} ∂l∂f∣(x0,y0,z0)= f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos ⁡ γ f_{x}(x_0,y_0)\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta+f_{z}(x_0,y_0,z_0)\cos\gamma fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ+fz(x0,y0,z0)cosγ

证明

二元函数

• 由假设, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0(x0,y0)可微分,所以 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) f(x0+Δx,y0+Δy)- f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0,y0)= f x ( x 0 , y 0 ) Δ x f_{x}(x_0,y_0)\Delta{x} fx(x0,y0)Δx+ f y ( x 0 , y 0 ) Δ y f_{y}(x_0,y_0)\Delta{y} fy(x0,y0)Δy+ o ( ρ ) o(\rho) o(ρ)(1);其中 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 ,但点 ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) (x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) (x0+Δx,y0+Δy)在以 P 0 P_0 P0为始点的射线 l l l上时,自变量 x , y x,y x,y的增量之间存在确定关系,应有 Δ x = t cos ⁡ α \Delta{x}=t\cos\alpha Δx=tcosα, Δ y = t cos ⁡ β \Delta{y}=t\cos\beta Δy=tcosβ, ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = t \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2}=t ρ=(Δx)2+(Δy)2 =t
  • 式(1)改写为 Δ z \Delta{z} Δz= f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + o ( t ) f_{x}(x_0,y_0){t\cos\alpha}+f_{y}(x_0,y_0)t\cos\alpha+o(t) fx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosα+o(t)
• 所以 lim ⁡ t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}\frac{\Delta{z}}{t} t→0+limtΔz= lim ⁡ t → 0 + f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + o ( t ) t \lim\limits_{t\to{0^{+}}} \frac{f_{x}(x_0,y_0){t\cos\alpha}+f_{y}(x_0,y_0)t\cos\alpha+o(t)}{t} t→0+limtfx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosα+o(t)= f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β f_{x}(x_0,y_0)\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ(2)'
• 定理和计算公式(0)得证

三元函数

• 设 P ′ ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y , z 0 + Δ z ) P'(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y},z_0+\Delta{z}) P′(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)是 l l l上的点,则 l l l的方向余弦可以表示为:

  • cos ⁡ α = Δ x ∣ P P ′ ∣ \cos{\alpha}=\frac{\Delta{x}}{|PP'|} cosα=∣PP′∣Δx
  • cos ⁡ β = Δ y ∣ P P ′ ∣ \cos{\beta}=\frac{\Delta{y}}{|PP'|} cosβ=∣PP′∣Δy
  • cos ⁡ γ = Δ z ∣ P P ′ ∣ \cos{\gamma}=\frac{\Delta{z}}{|PP'|} cosγ=∣PP′∣Δz
  • ∣ P P ′ ∣ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 |PP'|=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2+(\Delta{z})^2} ∣PP′∣=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2

• 由假设的 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)可微,由可微的定义:

  • f ( P ′ ) − f ( P ) = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 ) = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ∣ P P ′ ∣ ) \begin{aligned} f(P')-f(P)=&f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z} \\&+o(\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2+(\Delta{z})^2}) \\ =&f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z}+o(|PP'|) \end{aligned} f(P′)−f(P)==fx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o((Δx)2+(Δy)2+(Δz)2 )fx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o(∣PP′∣)

  • 对两边同时除以 ∣ P P ′ ∣ |PP'| ∣PP′∣

    • f ( P ′ ) − f ( P ) ∣ P P ′ ∣ = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ = f x ( P 0 ) cos ⁡ α + f y ( P 0 ) cos ⁡ β + f z ( P 0 ) cos ⁡ γ + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ \frac{f(P')-f(P)}{|PP'|} =\frac{f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z}+o(|PP'|)}{|PP'|} \\=f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma}+\frac{o(|PP'|)}{|PP'|} ∣PP′∣f(P′)−f(P)=∣PP′∣fx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o(∣PP′∣)=fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ+∣PP′∣o(∣PP′∣)

  • 对两边取极限:

    • ∂ f ∂ l = lim ⁡ P ′ → P 0 f ( P ′ ) − f ( P ) ∣ P P ′ ∣ = lim ⁡ P ′ → P 0 ( f x ( P 0 ) cos ⁡ α + f y ( P 0 ) cos ⁡ β + f z ( P 0 ) cos ⁡ γ + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ ) = f x ( P 0 ) cos ⁡ α + f y ( P 0 ) cos ⁡ β + f z ( P 0 ) cos ⁡ γ \begin{aligned} \frac{\partial{f}}{\partial{l}} =&\lim_{P'\to{P_0}}{\frac{f(P')-f(P)}{|PP'|}} \\=&\lim_{P'\to{P_0}} \left(f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma}+\frac{o(|PP'|)}{|PP'|} \right) \\=&f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma} \end{aligned} ∂l∂f===P′→P0lim∣PP′∣f(P′)−f(P)P′→P0lim(fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ+∣PP′∣o(∣PP′∣))fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ