AM@多元函数极值存在定理@条件极值

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多元函数极值和最值@多元函数极值存在定理@条件极值

多元函数极值存在定理

本定理给出极值存在充分条件
设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某个邻域内来连续,且有一阶和二阶连续偏导数,又 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)=0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{y}(x_0,y_0)=0 fy(x0,y0)=0(驻点存在),令
- f x x ( x 0 , y 0 ) = A f_{xx}(x_0,y_0)=A fxx(x0,y0)=A
- f x y ( x 0 , y 0 ) = B f_{xy}(x_0,y_0)=B fxy(x0,y0)=B
- f y y ( x 0 , y 0 ) = C f_{yy}(x_0,y_{0})=C fyy(x0,y0)=C
- Δ \Delta Δ= A B − B 2 AB-B^2 AB−B2
则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处是否取得极值的条件和结论为:
- Δ > 0 \Delta{>0} Δ>0时具有极值 ,
  - A < 0 A<0 A<0时有极大值,
  - A > 0 A>0 A>0时有极小值
- Δ < 0 \Delta<0 Δ<0时没有极值
- Δ = 0 \Delta=0 Δ=0时需要另外讨论才能确定

极值求解

这里指无条件极值
分为两部分:所有驻点和不可导点处都有可能是极值

求解步骤

驻点部分

建立并解方程组 f x ( x , y ) = 0 f_{x}(x,y)=0 fx(x,y)=0; f y ( x , y ) = 0 f_{y}(x,y)=0 fy(x,y)=0;得到一切实数解 ,得一切驻点
- 两个方程都是一元方程,可能有多个解,方程1解设为 x 1 , ⋯ , x m x_1,\cdots,x_{m} x1,⋯,xm;方程2的解设为 y 1 , ⋯ , y n y_1,\cdots,y_{n} y1,⋯,yn
- 构造驻点坐标: ( x i , y j ) (x_i,y_{j}) (xi,yj), i = 1 , ⋯ , n ; j = 1 , ⋯ , m i=1,\cdots,n;j=1,\cdots,m i=1,⋯,n;j=1,⋯,m,共有 n × m n\times{m} n×m个驻点
对每个驻点 ( x i , y j ) (x_i,y_{j}) (xi,yj),求处二阶偏导数 A , B , C A,B,C A,B,C
确定 Δ = A C − B 2 \Delta=AC-B^2 Δ=AC−B2得符号,由定理2的结论判定 f ( x i , y j ) f(x_i,y_{j}) f(xi,yj)是否为极值(若为极值,进一步根据 A A A得符号判断该极值是极大值还是极小值)

偏导不存在的点

如果函数存在某些偏导数不存在的点,那么这些点也可能是极值点,需要逐个判断
如果函数处处可偏导,则不需要处理这部分

例

求函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= x 2 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x x^2-y^3+3x^2+3y^2-9x x2−y3+3x2+3y2−9x的极值
- 构造并解方程组: f x ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 f_{x}(x,y)=3x^2+6x-9=0 fx(x,y)=3x2+6x−9=0; f y ( x , y ) f_{y}(x,y) fy(x,y)= − 3 y 2 + 6 y = 0 -3y^2+6y=0 −3y2+6y=0
- 分别解得 x 1 = 1 x_1=1 x1=1; x 2 = − 3 x_2=-3 x2=−3; y 1 = 0 y_1=0 y1=0; y 2 = 2 y_2=2 y2=2
- 构造驻点 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0), ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2); ( − 3 , 0 ) (-3,0) (−3,0); ( − 3 , 2 ) (-3,2) (−3,2)
- 计算函数的 A , B , C A,B,C A,B,C: A = f x x ( x , y ) = 6 x + 6 A=f_{xx}(x,y)=6x+6 A=fxx(x,y)=6x+6; B = f x y ( x , y ) = 0 B=f_{xy}(x,y)=0 B=fxy(x,y)=0, C = f y y = − 6 y + 6 C=f_{yy}=-6y+6 C=fyy=−6y+6; Δ = A C − B 2 = 36 ( x + 1 ) ( − y + 1 ) \Delta=AC-B^2=36(x+1)(-y+1) Δ=AC−B2=36(x+1)(−y+1)
- 分别判断驻点的判别式
  - 在 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)处, Δ = 72 > 0 \Delta=72>0 Δ=72>0,且 A = 12 > 0 A=12>0 A=12>0,所以函数在 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)处有极小值 f ( 1 , 0 ) = − 5 f(1,0)=-5 f(1,0)=−5
  - ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)处, Δ = − 72 < 0 \Delta=-72<0 Δ=−72<0,所以 f ( 1 , 2 ) f(1,2) f(1,2)不是极值
  - ( − 3 , 0 ) (-3,0) (−3,0)处, Δ = − 72 < 0 \Delta=-72<0 Δ=−72<0, f ( − 3 , 0 ) f(-3,0) f(−3,0)不是极值
  - ( − 3 , 2 ) (-3,2) (−3,2)处, Δ = 72 < 0 \Delta=72<0 Δ=72<0, A < 0 A<0 A<0,所以函数在 ( − 3 , 2 ) (-3,2) (−3,2)处有极大值 f ( − 3 , 2 ) = 31 f(-3,2)=31 f(−3,2)=31

多元函数最值

与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
如果 f ( x , y ) f(x ,y) f(x,y)在有界闭区域D上连续,那么 f ( x , y ) f( x ,y) f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.
这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部 ,也可能在D的边界上.
我们假定,函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点 ,
- 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).
因此,在上述假定下,求函数的最大值和最小值的一般方法 是:
- 将函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.
- 但这种做法,由于要求出 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值,所以往往相当复杂.
- 在通常遇到的实际问题中 ,如果根据问题的性质,知道函数 f ( x , y ) f(x ,y) f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得 ,而函数在D内只有一个驻点 ,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D上的最大值(最小值).

例

制作体积为 2 2 2的封闭长方体水箱,设长,宽分别为 x , y x,y x,y,则高为 2 x y \frac{2}{xy} xy2,问 x , y x,y x,y分别取多少时用料最省?
水箱的表面积为 A = 2 ( x y + x 2 x y + y 2 x y ) A=2(xy+x\frac{2}{xy}+y\frac{2}{xy}) A=2(xy+xxy2+yxy2)= 2 ( x y + 2 x + 2 y ) 2(xy+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}) 2(xy+x2+y2); ( 0 < x , y ) (0<x,y) (0<x,y)
- A x A_{x} Ax= 2 ( y − 2 x 2 ) 2(y-\frac{2}{x^2}) 2(y−x22); A y = 2 ( x − 2 y 2 ) A_{y}=2(x-\frac{2}{y^2}) Ay=2(x−y22)=0
- x = 2 3 x=\sqrt[3]{2} x=32 ; y = 2 3 y=\sqrt[3]{2} y=32
- 函数有唯一驻点 ( 2 3 , 2 3 ) (\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}) (32 ,32 ),并且在函数 A A A开区域 D D D内部取得,则该点一定是极值点
- 又由题意可知,函数 A A A在区域 D D D内一定由最小值,所以当 x = 2 3 x=\sqrt[3]{2} x=32 ; y = 2 3 y=\sqrt[3]{2} y=32 时,函数 A A A取得最小值 A ( 2 3 , 2 3 ) A(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}) A(32 ,32 ),此时高度为 2 2 3 2 3 \frac{2}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}} 32 32 2= 2 3 \sqrt[3]{2} 32

条件极值

上面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制在函数的定义域内以外,并无其他条件,所以有时候称为无条件极值.
但在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加条件 的极值问题.
- 例如,求表面积为a而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为 x , y , z x,y,z x,y,z则体积 V = x y z . V= xyz. V=xyz.又因假定表面积为 a 2 a^2 a2,所以自变量 x , y , z x,y,z x,y,z还必须满足附加条件 2 ( x y + y z + x z ) = a 2 2(xy + yz + xz) = a^2 2(xy+yz+xz)=a2.
- 像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

条件极值转为无条件极值

对于有些实际问题,可以把条件极值化为无条件极值,然后利用第一目中的方法加以解决.例如上述问题,可由条件 2 ( x y + y z + x z ) = a 2 2( xy + yz +xz) = a^2 2(xy+yz+xz)=a2,将 z z z表示成(展开合并同类项移项可得)
- z = a 2 − 2 x y 2 ( x + y ) z=\frac{a^2-2xy}{2(x+y)} z=2(x+y)a2−2xy,将其代入 V = x y z V=xyz V=xyz,得 V = x y 2 ( a 2 − 2 x y 2 ( x + y ) ) V=\frac{xy}{2}(\frac{a^2-2xy}{2(x+y)}) V=2xy(2(x+y)a2−2xy)的无条件极值

极值必要条件

很多情形下,条件极值化为无条件极值不容易,需要寻找新的途径求解条件极值
这种方法称为Lagrange乘数法
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)(1)在条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0(2)下取得极值的必要条件 是什么?
- 设函数(1)在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)处取得所求的极值,则 ϕ ( x 0 , y 0 ) = 0 \phi(x_0,y_0)=0 ϕ(x0,y0)=0(3)
- 假定在 P 0 P_0 P0的某一邻域内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)与 ϕ ( x , y ) \phi(x,y) ϕ(x,y)均有连续的一阶偏导数,而 ϕ y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 \phi_{y}(x_0,y_0)\neq{0} ϕy(x0,y0)=0
- 由隐函数存在定理 ,方程(2)确定一个来纳许且具有连续导数的函数 y = ψ ( x ) y=\psi(x) y=ψ(x)(3-1)
- 将式(3-1)代入(1),得到一个一元函数 z = f ( x , ψ ( x ) ) z=f(x,\psi(x)) z=f(x,ψ(x))(4)
- 于是二元函数(1)在 P 0 P_0 P0取得所求的极值相当于一元函数(4)在 x = x 0 x=x_0 x=x0处取得极值
- 由一元可导函数取得极值的必要条件 , z x ∣ x = x 0 = 0 z_{x}|{x=x_0}=0 zx∣x=x0=0(5),即 f x ( x 0 , y 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) y x ∣ x = x 0 = 0 f{x}(x_0,y_0)+f_{y}(x_0,y_0)y_{x}|_{x=x_0}=0 fx(x0,y0)+fy(x0,y0)yx∣x=x0=0(5-1)
- 而由方程(2),用隐函数求导公式 , y x ∣ x = x 0 y_{x}|{x=x_0} yx∣x=x0= − ϕ x ( x 0 , y 0 ) ϕ y ( x 0 , y 0 ) -\frac{\phi{x}(x_0,y_0)}{\phi_{y}(x_0,y_0)} −ϕy(x0,y0)ϕx(x0,y0)(5-2)把上式代入(5-1),得
  - f x ( x 0 , y 0 ) − f y ( x 0 , y 0 ) ϕ x ( x 0 , y 0 ) ϕ y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)-f_{y}(x_0,y_0)\frac{\phi_{x}(x_0,y_0)}{\phi_{y}(x_0,y_0)}=0 fx(x0,y0)−fy(x0,y0)ϕy(x0,y0)ϕx(x0,y0)=0(6)
- 式(3),(6)就是函数(1)在条件(2)下在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)取得极值得必要条件
变形条件(6)
- 设 − f y ( x 0 , y 0 ) 1 ϕ y ( x 0 , y 0 ) -f_{y}(x_0,y_0)\frac{1}{\phi_{y}(x_0,y_0)} −fy(x0,y0)ϕy(x0,y0)1= λ \lambda λ(6-1),变形即有 f y ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{y}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{y}(x_0,y_0)=0 fy(x0,y0)+λϕy(x0,y0)=0(6-2)
- 且式(6)改写为 f x ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ x ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{x}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)+λϕx(x0,y0)=0(6-3)
将上述必要条件整理,得方程组(7)
1. f x ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ x ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{x}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)+λϕx(x0,y0)=0
2. f y ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{y}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{y}(x_0,y_0)=0 fy(x0,y0)+λϕy(x0,y0)=0
3. ϕ ( x 0 , y 0 ) = 0 \phi(x_0,y_0)=0 ϕ(x0,y0)=0
引进辅助函数 L ( x , y ) = f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y ) L(x,y)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y) L(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)(8),则(7-1,7-2)分别为 L x ( x 0 , y 0 ) = 0 L_{x}(x_0,y_0)=0 Lx(x0,y0)=0(9-1); L y ( x 0 , y 0 ) = 0 L_{y}(x_0,y_0)=0 Ly(x0,y0)=0(9-2)
辅助函数 L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)也称为Lagrange函数 ,参数 λ \lambda λ称为Lagrange乘子

拉格朗日乘数法

要找到函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)(1)在附加条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0(2)下的可能极值点,可以线作Lagrange函数 : L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)= f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y ) f(x,y)+\lambda\phi(x,y) f(x,y)+λϕ(x,y)= f + λ ϕ f+\lambda\phi f+λϕ,其中 λ \lambda λ为参数
求其对 x , y x,y x,y的一阶偏导数,并令它们为0,在和条件方程联立:
- f x + λ ϕ x = 0 f_{x}+\lambda\phi_{x}=0 fx+λϕx=0
- f y + λ ϕ y = 0 f_{y}+\lambda\phi_{y}=0 fy+λϕy=0
- ϕ = 0 \phi=0 ϕ=0
有此方程组解出 x , y , λ x,y,\lambda x,y,λ,得到的 ( x , y ) (x,y) (x,y)就是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在附加条件(2)下的可能极值点

推广

Lagrange乘数法可以推广到自变量多于2个,附加条件多于1个的情形
例如求 u = f ( x , y , z , t ) u=f(x,y,z,t) u=f(x,y,z,t)在附加条件 ϕ ( x , y , z , t ) = 0 \phi(x,y,z,t)=0 ϕ(x,y,z,t)=0, ψ ( x , y , z , t ) = 0 \psi(x,y,z,t)=0 ψ(x,y,z,t)=0下的极值
- 此时构造的Lagrange函数为 L ( x , y , z , t ) L(x,y,z,t) L(x,y,z,t)= f ( x , y , z , t ) + λ ϕ ( x , y , z , t ) + μ ψ ( x , y , z , t ) f(x,y,z,t)+\lambda\phi(x,y,z,t)+\mu{\psi(x,y,z,t)} f(x,y,z,t)+λϕ(x,y,z,t)+μψ(x,y,z,t)
- 参数 λ , μ \lambda,\mu λ,μ也可以用记号 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2表示
- 求Lagrange函数 L L L的各个一阶偏导并令它们为0,再来联立两个条件方程,求出 ( x , y , z , t ) (x,y,z,t) (x,y,z,t),就是可能是所求的极值点

例

求表面积为 a 2 a^2 a2而体积为最大的长方体的体积
- 设长方体的三棱分别为 x , y , z x,y,z x,y,z,体积函数为 V = x y z V=xyz V=xyz, ( x , y , z > 0 ) (x,y,z>0) (x,y,z>0),(1)
- 定义域之外的附加条件为 2 ( x y + y z + z x ) = a 2 2(xy+yz+zx)=a^2 2(xy+yz+zx)=a2(2),用方程一般形式表示:令 ϕ ( x , y , z ) \phi(x,y,z) ϕ(x,y,z)= 2 ( x y + y z + z x ) − a 2 2(xy+yz+zx)-a^2 2(xy+yz+zx)−a2=0
- 这是一个含3个自变量和一个附加条件的极值问题
- 构造Lagrange函数为 L ( x , y , z ) L(x,y,z) L(x,y,z)= V + λ ϕ V+\lambda{\phi} V+λϕ= x y z + λ ( 2 ( x y + y z + z x ) − a 2 ) xyz+\lambda(2(xy+yz+zx)-a^2) xyz+λ(2(xy+yz+zx)−a2)
- 分别求偏导并令他们为0:得方程组(3)
  1. L x L_{x} Lx= y z + 2 λ ( y + z ) yz+2\lambda(y+z) yz+2λ(y+z)=0
  2. L y L_{y} Ly= x z + 2 λ ( x + z ) xz+2\lambda(x+z) xz+2λ(x+z)=0
  3. L z L_z Lz= x y + 2 λ ( y + x ) xy+2\lambda(y+x) xy+2λ(y+x)=0
- 再与条件(2)联立(可以表示为 L λ = 2 ( x y + y z + z x ) − a 2 L_{\lambda}=2(xy+yz+zx)-a^2 Lλ=2(xy+yz+zx)−a2=0
  - 对方程组(3)移项:
    - y z = − 2 λ ( y + z ) yz=-2\lambda(y+z) yz=−2λ(y+z);(4-1)
    - x z = − 2 λ ( x + z ) xz=-2\lambda(x+z) xz=−2λ(x+z);(4-2)
    - x y = − 2 λ ( y + x ) xy=-2\lambda(y+x) xy=−2λ(y+x)(4-3)
  - 作式(4-1)比去(4-2),以及(4-1)比去(4-3)分别得:
    - x y = x + z y + z \frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+z} yx=y+zx+z; y z = x + y x + z \frac{y}{z}=\frac{x+y}{x+z} zy=x+zx+y,分别令这两个比值为 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2
    - 由比例性质, k 1 = 1 , k 2 = 1 k_1=1,k_2=1 k1=1,k2=1,可得 x = y , y = z x=y,y=z x=y,y=z,
    - 即得 x = y = z x=y=z x=y=z,代入(2),得 x = y = z = 6 6 a x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6}a x=y=z=66 a