考研数学二 2011-2024年 真题积累总结【多元函数与微分方程篇】_多元函数二阶导数_非条件极值_各种微分方程题型

文章目录

• 多元函数
• • 1.多元函数二阶导数问题:f^''^~xy~(0,0)与f^''^~yx~(0,0)的计算(是否存在)
  • 2.多元函数非条件极值问题
  • [3.多元函数基础经典题 已知对x的偏导数和对y的偏导数，求f(x,y)](#3.多元函数基础经典题 已知对x的偏导数和对y的偏导数，求f(x,y))
• 微分方程
• • 1.利用已知条件，构造微分方程，求y(x)的表达式
  • 2.给出关于f(x)的两个微分方程，求这个f(x)
  • [3. 多元复合函数求偏导](#3. 多元复合函数求偏导)
  • 4.微分方程的实际应用问题，构造微分方程
  • 5.求二阶齐次微分方程中一个解的系数问题
  • 6.建立方程，计算微分方程的巧妙计算方法
  • [7. 新颖首次 微分方程解的形式](#7. 新颖首次 微分方程解的形式)
  • 8.非常规微分方程套路二换元法

多元函数

1.多元函数二阶导数问题:f^''_xy(0,0)与f^''_yx(0,0)的计算(是否存在)

题目来源:2025李林六套卷 卷1 选择5

2.多元函数非条件极值问题

注意回代，讲一阶导数=0的点回代到方程中

3.多元函数基础经典题 已知对x的偏导数和对y的偏导数，求f(x,y)

微分方程

1.利用已知条件，构造微分方程，求y(x)的表达式

题目来源:2011年 数学二 18题

2.给出关于f(x)的两个微分方程，求这个f(x)

如何计算两个微分方程联立？

选择一个简单微分方程，得到一个含有未知系数的f(x)，再将这个f(x)代入到另一个微分方程中。即可算出系数，即求出不含有未知系数的f(x)

方法二：就是做差，化成一阶线性微分方程，计算出f(x)代入到任意一个方程中，求c。

方法一:

方法二:

计算拐点，计算二阶导，判断正负值

题目来源:2012年 数学二 19题

3. 多元复合函数求偏导

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问题分析：

该问题的易错点在于，z=f(e^xcosy)，这是一个复合函数，z对x导数，是对f内部，e^xcosy对x的导数

题目来源:2014年 数学二 18题

4.微分方程的实际应用问题，构造微分方程

题目来源:2015年 数学二 20题

5.求二阶齐次微分方程中一个解的系数问题

该问题思路：

给出了两个二阶齐次微分方程微分方程的特解，给出了两个u(x)的函数值，目标是求其中一个解的系数和该微分方程的通解。

求u(x)，将y2(x)里面包含u(x)，将y2(x)代入到二阶齐次微分方程微分方程中，整理出关于u(x)的二阶微分方程，解这个二阶微分方程，

整理完发现，该二阶微分方程是缺x型，所以用降阶法。

得到u(x)后，不难发现，回到该二阶齐次微分方程中，二阶齐次微分方程微分方程的通解就是c1倍的一个解+c2倍多另一个解

6.建立方程，计算微分方程的巧妙计算方法

题目来源：李林第2套 21题

7. 新颖首次 微分方程解的形式

8.非常规微分方程套路二换元法