欧拉回路和欧拉路径

欧拉回路基础

欧拉回路的定义

欧拉回路的性质

判断图中是否存在欧拉回路的java代码实现

欧拉回路基础

欧拉回路的定义

欧拉回路遍历了所有的边，也就意味着遍历了所有的点，但这并不能代表有欧拉回路的地方都有哈密尔顿回路的，如下图的例子。

欧拉回路的性质

上图四个点的度数都是奇数，所以不存在欧拉回路。

欧拉回路的条件：图是联通的、每个点的度数都是偶数。

判断图中是否存在欧拉回路的java代码实现

java 复制代码

public class EulerLoop {
    private Graph G;
    public EulerLoop(Graph G){
        this.G = G;
    }
    public boolean hasEulerLoop(){
        //判断图的连通性
        //这里的CC类是判断图的连通分量的个数
        // 在我CSDN文章的图的深度优先遍历的六种应用附Java代码文章的第一个例子中有Java代码
        CC cc = new CC(G);
        if(cc.count() > 1) return false;
        if(G.degree(v) % 2 == 1) return false;
        return true;
    }
}

寻找欧拉回路的三个算法

前两个算法复杂度都比Hierholzer高得多，所以如果有参加竞赛的朋友要优先使用Hierholzer算法，尤其不要使用回溯法，几乎一定会超时。

Hierholzer算法

详细思路

Hierholzer算法使用两个栈，每走过一个顶点就把这个顶点压入curPath的栈中，每走过一条边就把这条边在图中删除，如下图的虚线表示。

我们先模拟走过的路径是A->B->C->A，最后回到A后发现无路可走了，我们就倒着把A、C出栈压入loop栈中，直到找到一个有其他路径可走的顶点，即B顶点。从B顶点出发还可以找到一个环，这个环和我们刚才删除的虚线环的公共顶点就是B顶点。

我们继续从B顶点开始走，然后走过了这个新的环。

接下来我们继续回头看，把curPath的数挨个检查是否还有哪个顶点有其他路径可走，若没有则压入loop栈中。

现在curPath这个栈空了，就代表我们把这个图遍历完了，现在loop栈中存储的顶点顺序就是倒序的欧拉回路的顺序，即A->B->D->E->B->C->A。我们把loop栈中的顶点依次出栈就得到了一种欧拉回路。

其实我们也可以把loop栈设置成一个ArrayList数组，因为正着看其实就是欧拉回路的另一种顺序，我们正着看反着看也没什么区别。以上就是整个Hierholzer算法的思路。这是一个线性级别的算法，只和图中有几条边有关系。

代码实现

我们在实现代码过程中要不断地删除走过的边，所以我们要在自己的Graph类中添加removeEdge（）方法。首先对传入的v、w进行合理性判断，然后因为是无向图，所以要各自删除掉v、w相邻顶点中的它们。

java 复制代码

//我们选择使用的是最经典的非递归实现
//Hierholzer算法还存在递归实现，感兴趣的朋友可以试着去写一下
import java.util.ArrayList;
public class EulerLoop {
    private Graph G;
    public EulerLoop(Graph G){
        this.G = G;
    }
    public boolean hasEulerLoop(){
        //判断图的连通性
        //这里的CC类是判断图的连通分量的个数
        // 在我CSDN文章的图的深度优先遍历的六种应用附Java代码文章的第一个例子中有Java代码
        CC cc = new CC(G);
        if(cc.count() > 1) return false;
        if(G.degree(v) % 2 == 1) return false;
        return true;
    }
    public ArrayList<Integer>result(){
        ArrayList<Integer> res = new ArrayList<>();
        if(!hasEulerLoop()) return res;
        Graph g = (Graph) G.clone();
        int curv = 0;
        stack.push(curv);
        while(!stack.empty()){
            if(g.degree(curv) != 0){
                stack.push(curv);
                int w = g.adj(curv).iterator().next();//第一个元素
                g.removeEdge(curv, w);
                curv = w;
            }
            else{
                res.add(curv);
                curv = stack.pop();
            }
        }
        return res;
    }
}

欧拉路径

欧拉路径的定义

欧拉路径的性质

欧拉路径的起始点不能随便选了，只能选取度数是奇数的点。感兴趣的朋友可以自己试着实现欧拉路径的代码实现。