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回文子串
给一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dpi 和 dpi-1 ，dpi + 1 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。
我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s1，s2，s3 这个子串是回文的，那么只需要比较 s0和s4这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围i,j）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围i + 1, j - 1）） 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dpij：表示区间范围i,j （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dpij为true，否则为false。
- 确定递推公式
在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。
整体上是两种，就是si与sj相等，si与sj不相等这两种。
当si与sj不相等，那没啥好说的了，dpij一定是false。
当si与sj相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时si与sj已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dpi + 1j - 1是否为true。
-
dp数组如何初始化
dpij初始化为false。
-
确定遍历顺序
遍历顺序可有有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dpi + 1j - 1是否为true，在对dpij进行赋值true的。
dpi + 1j - 1 在 dpij的左下角
如果矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dpi + 1j - 1，也就是根据不确定是不是回文的区间i+1,j-1，来判断了i,j是不是回文，那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dpi + 1j - 1都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dpi + 1j - 1都是经过计算的。
- 举例推导dp数组
举例，输入："aaa"，dpij状态如下：
图中有6个true，所以就是有6个回文子串。
cpp
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
for (boolean[] a: dp) {
Arrays.fill(a,false);
}
int result = 0;
for (int i = s.length()-1; i>=0 ; i--) {
for (int j = i; j <s.length() ; j++) {
if (s.charAt(i)==(s.charAt(j))) {
if (j-i<=1){
dp[i][j] = true;
result++;
}else if(dp[i+1][j-1]==true){
dp[i][j] = true;
result++;
}
}
}
}
return result;
}
}最长回文子序列
给一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。
子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
动规五部曲分析如下：
-
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dpij：字符串s在i, j范围内最长的回文子序列的长度为dpij。
-
确定递推公式
在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看si与sj是否相同。
如果si与sj相同，那么dpij = dpi + 1j - 1 + 2;
如图：
如果si与sj不相同，说明si和sj的同时加入 并不能增加i,j区间回文子序列的长度，那么分别加入si、sj看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入sj的回文子序列长度为dpi + 1j。
加入si的回文子序列长度为dpij - 1。
那么dpij一定是取最大的，即：dpij = max(dpi + 1j, dpij - 1);
- dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dpij = dpi + 1j - 1 + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dpij一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dpij初始为0就行，这样递推公式：dpij = max(dpi + 1j, dpij - 1); 中dpij才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
从递归公式中，可以看出，dpij 依赖于 dpi + 1j - 1 ，dpi + 1j和 dpij - 1
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j的话，可以正常从左向右遍历。
- 举例推导dp数组
输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：
红色框即：dp0s.size() - 1; 为最终结果。
cpp
class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
for (int i = 0; i <s.length(); i++) {
dp[i][i] = 1;
}
for (int i = s.length()-1; i >=0 ; i--) {
for (int j =i+1; j <s.length(); j++) {
if (s.charAt(i)==s.charAt(j)) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
else dp[i][j]=Math.max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);
}
}
return dp[0][s.length()-1];
}
}总结：
今天我们完成了回文子串、最长回文子序列两道题，相关的思想需要多复习回顾。接下来，我们继续进行算法练习。希望我的文章和讲解能对大家的学习提供一些帮助。
当然，本文仍有许多不足之处，欢迎各位小伙伴们随时私信交流、批评指正！我们下期见~
