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回文子串
给一个字符串 s ,请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串,即使是由相同的字符组成,也会被视作不同的子串。
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i] 和 dp[i-1] ,dp[i + 1] 看上去都没啥关系。
所以我们要看回文串的性质。
我们在判断字符串S是否是回文,那么如果我们知道 s[1],s[2],s[3] 这个子串是回文的,那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同,如果相同的话,这个字符串s 就是回文串。
那么此时我们是不是能找到一种递归关系,也就是判断一个子字符串(字符串的下表范围[i,j])是否回文,依赖于,子字符串(下表范围[i + 1, j - 1])) 是否是回文。
所以为了明确这种递归关系,我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。
布尔类型的dp[i][j]:表示区间范围[i,j] (注意是左闭右闭)的子串是否是回文子串,如果是dp[i][j]为true,否则为false。
- 确定递推公式
在确定递推公式时,就要分析如下几种情况。
整体上是两种,就是s[i]与s[j]相等,s[i]与s[j]不相等这两种。
当s[i]与s[j]不相等,那没啥好说的了,dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时,这就复杂一些了,有如下三种情况
情况一:下标i 与 j相同,同一个字符例如a,当然是回文子串
情况二:下标i 与 j相差为1,例如aa,也是回文子串
情况三:下标:i 与 j相差大于1的时候,例如cabac,此时s[i]与s[j]已经相同了,我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了,那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间,这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
-
dp数组如何初始化
dp[i][j]初始化为false。
-
确定遍历顺序
遍历顺序可有有点讲究了。
首先从递推公式中可以看出,情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true,在对dp[i][j]进行赋值true的。
dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角
如果矩阵是从上到下,从左到右遍历,那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1],也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1],来判断了[i,j]是不是回文,那结果一定是不对的。
所以一定要从下到上,从左到右遍历,这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
有的代码实现是优先遍历列,然后遍历行,其实也是一个道理,都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。
- 举例推导dp数组
举例,输入:"aaa",dp[i][j]状态如下:
图中有6个true,所以就是有6个回文子串。
cpp
class Solution {
public int countSubstrings(String s) {
boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
for (boolean[] a: dp) {
Arrays.fill(a,false);
}
int result = 0;
for (int i = s.length()-1; i>=0 ; i--) {
for (int j = i; j <s.length() ; j++) {
if (s.charAt(i)==(s.charAt(j))) {
if (j-i<=1){
dp[i][j] = true;
result++;
}else if(dp[i+1][j-1]==true){
dp[i][j] = true;
result++;
}
}
}
}
return result;
}
}
最长回文子序列
给一个字符串 s ,找出其中最长的回文子序列,并返回该序列的长度。
子序列定义为:不改变剩余字符顺序的情况下,删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。
动规五部曲分析如下:
-
确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[i][j]:字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
-
确定递推公式
在判断回文子串的题目中,关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。
如果s[i]与s[j]相同,那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
如图:
如果s[i]与s[j]不相同,说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度,那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的,即:dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
- dp数组如何初始化
首先要考虑当i 和j 相同的情况,从递推公式:dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。
所以需要手动初始化一下,当i与j相同,那么dp[i][j]一定是等于1的,即:一个字符的回文子序列长度就是1。
其他情况dp[i][j]初始为0就行,这样递推公式:dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
从递归公式中,可以看出,dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ,dp[i + 1][j]和 dp[i][j - 1]
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历,这样才能保证下一行的数据是经过计算的。
j的话,可以正常从左向右遍历。
- 举例推导dp数组
输入s:"cbbd" 为例,dp数组状态如图:
红色框即:dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。
cpp
class Solution {
public int longestPalindromeSubseq(String s) {
int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
for (int i = 0; i <s.length(); i++) {
dp[i][i] = 1;
}
for (int i = s.length()-1; i >=0 ; i--) {
for (int j =i+1; j <s.length(); j++) {
if (s.charAt(i)==s.charAt(j)) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
else dp[i][j]=Math.max(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);
}
}
return dp[0][s.length()-1];
}
}
总结:
今天我们完成了回文子串、最长回文子序列两道题,相关的思想需要多复习回顾。接下来,我们继续进行算法练习。希望我的文章和讲解能对大家的学习提供一些帮助。
当然,本文仍有许多不足之处,欢迎各位小伙伴们随时私信交流、批评指正!我们下期见~