假设检验的介绍及案例

假设检验是统计学中的一种推断方法，用于对总体参数、总体分布或两个总体之间的关系提出和检验假设。在假设检验中，我们提出一个关于总体的假设，并利用样本数据来评估这个假设的合理性。基本的假设检验步骤通常包括以下几个阶段：

1. 提出假设：
   零假设（Null Hypothesis，(H_0)）： 描述研究者想要进行检验的假设。通常表示没有效应、没有变化或没有关系。
   备择假设（Alternative Hypothesis，(H_a)或(H_1)）： 描述研究者期望支持的假设，通常表示存在效应、有变化或有关系。

2. 选择显著性水平（Significance Level，(\alpha)）：

   显著性水平是犯第一类错误的概率，即拒绝了实际上是真的零假设的概率。常见的显著性水平包括 (0.05)、(0.01) 等。

3. 收集样本数据：

   从总体中抽取一个样本，并记录相应的观察值。

4. 计算统计量：

   根据样本数据计算一个统计量，该统计量的分布通常在零假设成立的条件下已知。

5. 做出决策：

   判断统计量的观察值是否落在接受或拒绝零假设的拒绝域内。这通常涉及将统计量的观察值与显著性水平进行比较。

6. 做出结论：

   根据观察到的结果，判断是否拒绝零假设。如果在拒绝域内，我们可能有足够的证据拒绝零假设；如果在拒绝域外，我们可能没有足够的证据拒绝零假设。

常见的假设检验方法包括 t 检验、z 检验、卡方检验、ANOVA（方差分析）等。假设检验在科学研究、医学实验、经济分析等领域中广泛应用，帮助研究者对问题进行统计推断。

假设我们有一枚硬币，我们想要检验这枚硬币是否是公平的（即正反面出现的概率相等）。我们可以使用一个经典的二项分布检验来进行假设检验。

假设：

• 零假设 (H_0)：硬币是公平的，正反面出现的概率相等（(p = 0.5)）。
• 备择假设 (H_a)：硬币不是公平的，正反面出现的概率不相等（(p <> 0.5)）。

假设检验步骤：

1. 设定显著性水平： 假设我们选择显著性水平 α = 0.05。

2. 收集样本数据： 我们进行了100次投掷，观察到正面朝上的次数为55次。

3. 计算统计量： 使用二项分布检验，我们可以计算二项分布的概率质量函数，看在假设 (p = 0.5) 的情况下，观察到55次正面朝上的概率有多大。

4. 做出决策： 如果在显著性水平 (\α = 0.05) 下，观察到的概率小于或等于α ，我们拒绝零假设。

5. 做出结论： 根据计算得到的概率，如果小于或等于显著性水平 (α )，我们拒绝零假设。在这个例子中，如果观察到的概率小于0.05，我们可能会得出结论：我们有足够的证据拒绝硬币是公平的这一零假设。

这是一个简单的二项分布检验的例子，用于检验硬币是否公平。在实际应用中，可以使用统计软件或查表来计算概率，并进行假设检验。