如何证明特征值的几何重数不超过代数重数

设 λ 0 \lambda_0 λ0 是 A A A 的特征值,则 λ 0 \lambda_0 λ0 的代数重数 ≥ \geq ≥ 几何重数

证明

假设 A A A 的特征值 λ 0 \lambda_0 λ0 对应的特征向量有 q 维,记为 α 1 , . . . , α q \alpha_1, ... , \alpha_q α1,...,αq,有
A α i = λ 0 α i , i = 1 , . . . , q A\alpha_i = \lambda_0\alpha_i, i = 1, ... , q Aαi=λ0αi,i=1,...,q

以它们作为 n 维向量空间的 q q q 个基底向量,再扩充它们,将 n 维向量空间的整个基表示为 α 1 , . . . , α q , . . . , α n \alpha_1, ..., \alpha_q, ... , \alpha_n α1,...,αq,...,αn.

记矩阵 B = [ α 1 , . . . , α q , . . . α n ] B=[\alpha_1, ..., \alpha_q,... \alpha_n] B=[α1,...,αq,...αn] ,有 B B B 可逆。

A B = A [ α 1 , . . , α q , . . . , α n ] = [ λ 0 α 1 , . . . , λ 0 α q , . . . , A α n ] = [ α 1 , . . , α q , . . . , α n ] [ λ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ λ 0 ∗ ⋯ ∗ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ] A B = B [ λ 0 E A 12 O A 22 ] \begin{align*} AB &= A\begin{bmatrix} \alpha_1,..,\alpha_q,...,\alpha_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_0\alpha_1,...,\lambda_0\alpha_q,...,A\alpha_n \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \alpha_1,..,\alpha_q,...,\alpha_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_0 & \cdots & 0 & * & \cdots & *\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda_0 & * & \cdots & *\\ 0 & \cdots & 0 & * & \cdots & *\\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots &0 & * & \cdots & *\\ \end{bmatrix}\\ AB&= B \begin{bmatrix} \lambda_0E & A_{12} \\ \mathcal{O} & A_{22} \end{bmatrix} \end{align*} ABAB=A[α1,..,αq,...,αn]=[λ0α1,...,λ0αq,...,Aαn]=[α1,..,αq,...,αn] λ0⋮00⋮0⋯⋱⋯⋯⋯0⋮λ00⋮0∗⋮∗∗⋮∗⋯⋯⋯⋯∗⋮∗∗⋮∗ =B[λ0EOA12A22]

又B可逆,则
B − 1 A B = [ λ 0 E A 12 O A 22 ] = C B^{-1}AB = \begin{bmatrix} \lambda_0E & A_{12} \\ \mathcal{O} & A_{22} \end{bmatrix} = C B−1AB=[λ0EOA12A22]=C

即 A A A 相似于 C

由此计算 A A A 的特征多项式

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − C ∣ = ∣ ( λ − λ 0 ) E q − A 12 O λ E n − q − A 22 ∣ = ∣ ( λ − λ 0 ) q ∣ λ E n − q − A 22 ∣ |\lambda E-A| = |\lambda E - C| =\left | \begin{matrix} (\lambda - \lambda_0) E_q & - A_{12} \\ \mathcal{O} & \lambda E_{n-q} - A_{22} \\ \end{matrix} \right | =|(\lambda - \lambda_0)^q |\lambda E_{n-q} - A_{22}| ∣λE−A∣=∣λE−C∣= (λ−λ0)EqO−A12λEn−q−A22 =∣(λ−λ0)q∣λEn−q−A22∣

由此可知该 λ \lambda λ 的n次多项式方程至少有 q 个根为 λ 0 \lambda_0 λ0,至于有没有更多的根为 λ 0 \lambda_0 λ0,取决于后面的多项式 ∣ λ E n − q − A 22 ∣ |\lambda E_{n-q} - A_{22}| ∣λEn−q−A22∣ 是否出现 ( λ − λ 0 ) (\lambda - \lambda_0) (λ−λ0)。

相关推荐
大千AI助手3 小时前
Frobenius范数:矩阵分析的万能度量尺
人工智能·神经网络·线性代数·矩阵·矩阵分解·l2范数·frobenius范数
会编程是什么感觉...4 小时前
数学 - 基础线性代数
线性代数
吃着火锅x唱着歌19 小时前
LeetCode 74.搜索二维矩阵
算法·leetcode·矩阵
dingzd9520 小时前
全平台内容排期与矩阵玩法
人工智能·线性代数·矩阵·web3·facebook·tiktok·instagram
陈苏同学1 天前
笔记1.4:机器人学的语言——三维空间位姿描述 (旋转矩阵 - 齐次变换矩阵 - 欧拉角 - 四元数高效表示旋转)
笔记·线性代数·算法·机器人
前端世界1 天前
从零实现一个可加减的Matrix矩阵类:支持索引、相等判断与实际场景应用
线性代数·矩阵
qq_ddddd2 天前
对于随机变量x1, …, xn,其和的范数平方的期望不超过n倍各随机变量范数平方的期望之和
人工智能·神经网络·线性代数·机器学习·概率论·1024程序员节
py有趣2 天前
LeetCode学习之0矩阵
学习·leetcode·矩阵
郝学胜-神的一滴3 天前
Cesium绘制线:从基础到高级技巧
前端·javascript·程序人生·线性代数·算法·矩阵·图形渲染
前端小L3 天前
动态规划的“升维”之技:二维前缀和,让矩阵查询“降维打击”
线性代数·矩阵