C++刷题 -- 二分查找
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一、原理
条件：数组为有序数组，数组中无重复元素，因为一旦有重复元素，使用二分查找法返回的元素下标可能不是唯一的；
- 第一种写法：
cpp
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.size() - 1; // 定义target在左闭右闭的区间里，[left, right]
while (left <= right) { // 当left==right，区间[left, right]依然有效，所以用 <=
int middle = left + ((right - left) / 2);// 防止溢出 等同于(left + right)/2
if (nums[middle] > target) {
right = middle - 1; // target 在左区间，所以[left, middle - 1]
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，所以[middle + 1, right]
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};- 第二种写法：
cpp
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.size(); // 定义target在左闭右开的区间里，即：[left, right)
while (left < right) { // 因为left == right的时候，在[left, right)是无效的空间，所以使用 <
int middle = left + ((right - left) >> 1);
if (nums[middle] > target) {
right = middle; // target 在左区间，在[left, middle)中
} else if (nums[middle] < target) {
left = middle + 1; // target 在右区间，在[middle + 1, right)中
} else { // nums[middle] == target
return middle; // 数组中找到目标值，直接返回下标
}
}
// 未找到目标值
return -1;
}
};二、例题
1.二分查找
https://leetcode.cn/problems/binary-search/description/
2.使用二分查找确定target左右边界
https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/
- 该题目的要点在于非递减数组（升序，但是有可能有重复数字）中寻找target的左右边界，target可能有多个重复值的情况；
- 时间复杂度需要是O(log N)，表明需要使用二分查找确定左右边界，不能采用遍历方法确定边界；
- 先确定情况：
- target不再nums区间内；
- target在nums区间内，但是nums中没有target；
- nums中有target；
使用二分查找确定边界的原理：
二分查找在没有查找到target的时候，target是在最终的(left, right)这个区间之内的，可以使用这个原理来分别找出左右边界；
- 确定右边界
当nums[mid]的值小于等于target的时候，选择更新right_border，right_border需要跟着left更新，因为无论是否找到target，最终left一定会指向nums中大于target的数中最小的那个数，就是target的有边界（开区间）； - 左边界同理；
特殊情况：
- nums为{2, 2}，target为3，最终左右边界输出值为(-2, 2)，之间的差值大于1，应该输出左右边界，但是target却不在nums中；
解决方案：直接在最外面加一个判断target是否属于nums区间的条件；
cpp
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> res;
int tar_l = leftBorder(nums, target);
int tar_r = rightBorder(nums, target);
cout << tar_l << " " << tar_r << endl;
if(nums.empty() || (target < nums[0] || target > nums[nums.size() - 1]))
{
//target不在nums范围
res.push_back(-1);
res.push_back(-1);
}
else if(tar_r - tar_l > 1)
{
//target存在于nums中
res.push_back(tar_l + 1);
res.push_back(tar_r - 1);
}
else
{
//target不存在于nums中
res.push_back(-1);
res.push_back(-1);
}
return res;
}
//寻找右边界 -- target右边的一个位置
int rightBorder(vector<int>& nums, int target)
{
int right_border = -2;
int left = 0, right = nums.size() - 1;
//进行二分查找
while(left <= right)
{
int mid = left + ((right - left) / 2);
if(nums[mid] > target)//不断缩小右边界
{
right = mid - 1;
}
else
{
//缩小左边界
//且当找到target时，left继续向右，目的是找到最右边target的位置
left = mid + 1;
right_border = left;
//left最终指向的会是nums中大于target的最小数
}
}
return right_border;
}
//寻找左边界
int leftBorder(vector<int>& nums, int target)
{
int left_border = -2;
int left = 0, right = nums.size() - 1;
//进行二分查找
while(left <= right)
{
int mid = left + ((right - left) / 2);
if(nums[mid] < target)//不断缩小左边界
{
left = mid + 1;
}
else
{
//缩小右边界
//且当找到target时，right继续向右，目的是找到最左边target的位置
right = mid - 1;
left_border = right;
//right最终指向的会是nums中小于target的最大数
}
}
return left_border;
}
};3.x的平方根
https://leetcode.cn/problems/sqrtx/submissions/483798269/
从题目的要求和示例我们可以看出，这其实是一个查找整数的问题，并且这个整数是有范围的。
- 如果这个整数的平方 恰好等于 输入整数，那么我们就找到了这个整数；
- 如果这个整数的平方 严格大于 输入整数，那么这个整数肯定不是我们要找的那个数；
- 如果这个整数的平方 严格小于 输入整数，那么这个整数 可能 是我们要找的那个数（重点理解这句话）。
因此我们可以使用「二分查找」来查找这个整数，不断缩小范围去猜。
方法一：
- 猜的数平方以后大了就往小了猜；
- 猜的数平方以后恰恰好等于输入的数就找到了；
- 猜的数平方以后小了，可能猜的数就是，也可能不是。
cpp
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int min = 0, max = x;
int res = 0;
while(min <= max)
{
int mid = min + (max - min) / 2;
if((long long)mid * mid <= x) // 防止乘法溢出
{
// 目标结果的平方小于等于x，寻找出的就是范围内最大的满足平方<=x的数
min = mid + 1;
res = mid;
}
else
{
max = mid - 1;
}
}
return res;
}
};方法二：
- 使用二分查找寻找边界，目标数其实就是左边界；
cpp
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int min = 0, max = x;
int res = 0;
//寻找左边界
while(min <= max)
{
int mid = min + ((max - min) / 2);
if((long long)mid * mid < x)
{
min = mid + 1;
}
else if((long long)mid * mid > x)
{
max = mid - 1;
res = max;
}
else
{
return mid;
}
}
return res;
}
};