文章目录
- [1. rotation matrix](#1. rotation matrix)
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- [1.1 结论](#1.1 结论)
- [2. reflection matrix](#2. reflection matrix)
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- [2.1 结论](#2.1 结论)
1. rotation matrix
图像逆时针旋转 θ \theta θ的矩阵
Q r o t a t e = cos θ − sin θ sin θ cos θ (1) Q_{rotate}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\tag1 Qrotate=cosθsinθ−sinθcosθ(1)
- 为了方便计算和表达，我们用 I I I单位矩阵进行分析
I = 1 0 0 1 (2) I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\tag2 I=1001(2)
可以得到两个点 Q=(1 , 0);Q=( 0, 1)，我们将两个向量逆时针旋转 θ \theta θ角度后，可以得到此时的角度
Q ′ 1 , 0 = cos θ sin θ (3) Q'1,0=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}\tag3 Q′1,0=cosθsinθ(3)
Q ′ 0 , 1 = − sin θ cos θ (4) Q'0,1=\begin{bmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{bmatrix}\tag4 Q′0,1=−sinθcosθ(4)
所以可以得到 I I I单位向量在逆时针旋转 θ \theta θ后的旋转矩阵如下
1.1 结论
Q r o t a t e = cos θ − sin θ sin θ cos θ (5) Q_{rotate}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\tag5 Qrotate=cosθsinθ−sinθcosθ(5)
2. reflection matrix
Q r o t a t e = cos θ − sin θ sin θ cos θ (6) Q_{rotate}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}\tag6 Qrotate=cosθsinθ−sinθcosθ(6)
图像沿着直线 1 2 θ \frac{1}{2}\theta 21θ对称矩阵，反射矩阵
- 为了方便计算和表达，我们用 I I I单位矩阵进行分析
I = 1 0 0 1 (7) I=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\tag7 I=1001(7)
可以得到两个点 Q=(1 , 0);Q=( 0, 1)，我们将两个向量关于 1 2 θ \frac{1}{2}\theta 21θ直线对称后，可以得到此时的坐标
Q ′ 1 , 0 = cos θ sin θ (8) Q'1,0=\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}\tag8 Q′1,0=cosθsinθ(8)
Q ′ 0 , 1 = sin θ − cos θ (9) Q'0,1=\begin{bmatrix}\sin\theta\\-\cos\theta\end{bmatrix}\tag9 Q′0,1=sinθ−cosθ(9)
2.1 结论
Q r e f l e c t i o n = cos θ sin θ sin θ − cos θ (10) Q_{reflection}=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{bmatrix}\tag{10} Qreflection=cosθsinθsinθ−cosθ(10)