求解某个点关于一条直线的垂足 和对称点 是几何运算中经常遇到的问题。
本篇介绍如何用 Python 的 Sympy 库来轻松的找到垂足 和对称点，不需要进行任何代数公式的推导。
1. 垂足问题
垂足 是指从一点向直线作垂线，垂线与直线的交点即为垂足。
所以，知道任意点的坐标 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0 (x_0, y_0) </math>P0(x0,y0)和直线的方程 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y = k x + b y = kx+b </math>y=kx+b，就能算出垂足的坐标。
比如，已知三个点的坐标： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 0 ( x 0 , y 0 ) , P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_0(x_0, y_0), P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2) </math>P0(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 1 P_1 </math>P1和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 2 P_2 </math>P2确定一条直线，
求点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 0 P_0 </math>P0在直线上的垂足。
解决的思路：
- 根据 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2) </math>P1(x1,y1),P2(x2,y2)算出直线的方程 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y = k x + b y = kx+b </math>y=kx+b
- 假设垂足坐标 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P ( x , y ) P(x, y) </math>P(x,y)
- 垂足在直线上，代入坐标可得 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k x + b − y = 0 kx+b-y = 0 </math>kx+b−y=0
- 互相垂直的两个向量 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P P 0 PP_0 </math>PP0和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 1 P 2 P_1P_2 </math>P1P2内积为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0，
即 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x − x 0 ) × ( x 1 − x 2 ) + ( y − y 0 ) × ( y 1 − y 2 ) = 0 (x - x_0) \times (x_1 - x_2) + (y - y_0) \times (y_1 - y_2)=0 </math>(x−x0)×(x1−x2)+(y−y0)×(y1−y2)=0
根据上面步骤3或4中的两个方程，就能算出垂足 的坐标。
当然，借助Sympy库，我们不用自己去推导计算过程，只要列出解决的思路即可。
python
# 根据两点求直线的斜率和截距
def get_line(p1, p2):
k = Symbol("k")
b = Symbol("b")
expr1 = p1[0] * k + b - p1[1]
expr2 = p2[0] * k + b - p2[1]
ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
return {"k": ret[0][k], "b": ret[0][b]}
# 已知三个点
def get_foot_from_points(p1, p2, p0):
# 垂足的坐标
x = Symbol("x")
y = Symbol("y")
l = get_line(p1, p2)
# 垂足P位于直线上
expr1 = x * l["k"] + l["b"] - y
# 向量 PP0 和 P1P2 的内积为0
expr2 = (x - p0[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (y - p0[1]) * (p1[1] - p2[1])
ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
return np.array([float(ret[0][x]), float(ret[0][y]), 0])
2. 对称点问题
对称点 则是指某一点相对于直线对称的点。
对称点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P P </math>P的计算思路和计算垂足 类似，其实某个点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 0 P_0 </math>P0与它对称点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P P </math>P的中点就是垂足。
所以，已知三个点的坐标： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 0 ( x 0 , y 0 ) , P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_0(x_0, y_0), P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2) </math>P0(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其中 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 1 P_1 </math>P1和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 2 P_2 </math>P2确定一条直线 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> l l </math>l，
则点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 0 P_0 </math>P0对于直线 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> l l </math>l的对称点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P P </math>P的计算思路：
- 根据 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2) </math>P1(x1,y1),P2(x2,y2)算出直线的方程 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y = k x + b y = kx+b </math>y=kx+b
- 假设对称点坐标 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P ( x , y ) P(x, y) </math>P(x,y)
- <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 0 P_0 </math>P0和对称点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P P </math>P的中点在直线上，代入坐标可得 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> k × ( x + x 0 ) / 2 + b − ( y + y 0 ) / 2 = 0 k\times(x+x_0)/2+b-(y+y_0)/2 = 0 </math>k×(x+x0)/2+b−(y+y0)/2=0
- 互相垂直的两个向量 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P P 0 PP_0 </math>PP0和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P 1 P 2 P_1P_2 </math>P1P2内积为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> 0 0 </math>0，
即 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x − x 0 ) × ( x 1 − x 2 ) + ( y − y 0 ) × ( y 1 − y 2 ) = 0 (x - x_0) \times (x_1 - x_2) + (y - y_0) \times (y_1 - y_2)=0 </math>(x−x0)×(x1−x2)+(y−y0)×(y1−y2)=0
根据上面步骤3或4中的两个方程，就能算出对称点的坐标。
python
# 关于直线的对称点
# p1和p2在直线l上，计算p0关于l的对称点
def symmetry_point(p1, p2, p0):
# 对称点坐标
x = Symbol("x")
y = Symbol("y")
l = get_line(p1, p2)
# (x, y) 和 p 的中点在直线上
expr1 = l["k"] * (x + p0[0]) / 2 + l["b"] - (y + p0[1]) / 2
# 内积为0
expr2 = (x - p0[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (y - p0[1]) * (p1[1] - p2[1])
ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
return np.array((float(ret[0][x]), float(ret[0][y]), 0))
3. 总结
再一次看到Sympy的符号化计算的强大之处，它节约了我们在求解问题时计算和推导的时间，
而这部分恰恰是耗时最多的部分。
活用Sympy库，极大的降低了用程序来解决代数和几何问题的门槛。
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