Python Sympy：轻松定位垂足和对称点

求解某个点关于一条直线的垂足 和对称点 是几何运算中经常遇到的问题。

本篇介绍如何用 Python 的 Sympy 库来轻松的找到垂足 和对称点，不需要进行任何代数公式的推导。

1. 垂足问题

垂足 是指从一点向直线作垂线，垂线与直线的交点即为垂足。

所以，知道任意点的坐标 $P\; 0\; (\; x\; 0\; ,\; y\; 0\; )\; P\_0\; (x\_0,\; y\_0)$P0(x0,y0)和直线的方程 $y\; =\; k\; x\; +\; b\; y\; =\; kx+b$y=kx+b，就能算出垂足的坐标。

比如，已知三个点的坐标： $P\; 0\; (\; x\; 0\; ,\; y\; 0\; )\; ,\; P\; 1\; (\; x\; 1\; ,\; y\; 1\; )\; ,\; P\; 2\; (\; x\; 2\; ,\; y\; 2\; )\; P\_0(x\_0,\; y\_0),\; P\_1(x\_1,\; y\_1),\; P\_2(x\_2,\; y\_2)$P0(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其中 $P\; 1\; P\_1$P1和 $P\; 2\; P\_2$P2确定一条直线，

求点 $P\; 0\; P\_0$P0在直线上的垂足。

解决的思路：

1. 根据 $P\; 1\; (\; x\; 1\; ,\; y\; 1\; )\; ,\; P\; 2\; (\; x\; 2\; ,\; y\; 2\; )\; P\_1(x\_1,\; y\_1),\; P\_2(x\_2,\; y\_2)$P1(x1,y1),P2(x2,y2)算出直线的方程 $y\; =\; k\; x\; +\; b\; y\; =\; kx+b$y=kx+b
2. 假设垂足坐标 $P\; (\; x\; ,\; y\; )\; P(x,\; y)$P(x,y)
3. 垂足在直线上，代入坐标可得 $k\; x\; +\; b\; -\; y\; =\; 0\; kx+b-y\; =\; 0$kx+b−y=0
4. 互相垂直的两个向量 $P\; P\; 0\; PP\_0$PP0和 $P\; 1\; P\; 2\; P\_1P\_2$P1P2内积为 $0\; 0$0，

即 $(\; x\; -\; x\; 0\; )\; \times \; (\; x\; 1\; -\; x\; 2\; )\; +\; (\; y\; -\; y\; 0\; )\; \times \; (\; y\; 1\; -\; y\; 2\; )\; =\; 0\; (x\; -\; x\_0)\; \backslash times\; (x\_1\; -\; x\_2)\; +\; (y\; -\; y\_0)\; \backslash times\; (y\_1\; -\; y\_2)=0$(x−x0)×(x1−x2)+(y−y0)×(y1−y2)=0

根据上面步骤3或4中的两个方程，就能算出垂足 的坐标。

当然，借助Sympy库，我们不用自己去推导计算过程，只要列出解决的思路即可。

# 根据两点求直线的斜率和截距
def get_line(p1, p2):
    k = Symbol("k")
    b = Symbol("b")

    expr1 = p1[0] * k + b - p1[1]
    expr2 = p2[0] * k + b - p2[1]

    ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
    return {"k": ret[0][k], "b": ret[0][b]}

# 已知三个点
def get_foot_from_points(p1, p2, p0):
    # 垂足的坐标
    x = Symbol("x")
    y = Symbol("y")
    l = get_line(p1, p2)

    # 垂足P位于直线上
    expr1 = x * l["k"] + l["b"] - y
    
    # 向量 PP0 和 P1P2 的内积为0
    expr2 = (x - p0[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (y - p0[1]) * (p1[1] - p2[1])

    ret = solve((expr1, expr2), dict=True)
    return np.array([float(ret[0][x]), float(ret[0][y]), 0])

2. 对称点问题

对称点 则是指某一点相对于直线对称的点。
对称点 $P\; P$P的计算思路和计算垂足 类似，其实某个点 $P\; 0\; P\_0$P0与它对称点 $P\; P$P的中点就是垂足。

所以，已知三个点的坐标： $P\; 0\; (\; x\; 0\; ,\; y\; 0\; )\; ,\; P\; 1\; (\; x\; 1\; ,\; y\; 1\; )\; ,\; P\; 2\; (\; x\; 2\; ,\; y\; 2\; )\; P\_0(x\_0,\; y\_0),\; P\_1(x\_1,\; y\_1),\; P\_2(x\_2,\; y\_2)$P0(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其中 $P\; 1\; P\_1$P1和 $P\; 2\; P\_2$P2确定一条直线 $l\; l$l，

则点 $P\; 0\; P\_0$P0对于直线 $l\; l$l的对称点 $P\; P$P的计算思路：

1. 根据 $P\; 1\; (\; x\; 1\; ,\; y\; 1\; )\; ,\; P\; 2\; (\; x\; 2\; ,\; y\; 2\; )\; P\_1(x\_1,\; y\_1),\; P\_2(x\_2,\; y\_2)$P1(x1,y1),P2(x2,y2)算出直线的方程 $y\; =\; k\; x\; +\; b\; y\; =\; kx+b$y=kx+b
2. 假设对称点坐标 $P\; (\; x\; ,\; y\; )\; P(x,\; y)$P(x,y)
3. $P\; 0\; P\_0$P0和对称点 $P\; P$P的中点在直线上，代入坐标可得 $k\; \times \; (\; x\; +\; x\; 0\; )\; /\; 2\; +\; b\; -\; (\; y\; +\; y\; 0\; )\; /\; 2\; =\; 0\; k\backslash times(x+x\_0)/2+b-(y+y\_0)/2\; =\; 0$k×(x+x0)/2+b−(y+y0)/2=0
4. 互相垂直的两个向量 $P\; P\; 0\; PP\_0$PP0和 $P\; 1\; P\; 2\; P\_1P\_2$P1P2内积为 $0\; 0$0，

即 $(\; x\; -\; x\; 0\; )\; \times \; (\; x\; 1\; -\; x\; 2\; )\; +\; (\; y\; -\; y\; 0\; )\; \times \; (\; y\; 1\; -\; y\; 2\; )\; =\; 0\; (x\; -\; x\_0)\; \backslash times\; (x\_1\; -\; x\_2)\; +\; (y\; -\; y\_0)\; \backslash times\; (y\_1\; -\; y\_2)=0$(x−x0)×(x1−x2)+(y−y0)×(y1−y2)=0

根据上面步骤3或4中的两个方程，就能算出对称点的坐标。

# 关于直线的对称点
# p1和p2在直线l上，计算p0关于l的对称点
def symmetry_point(p1, p2, p0):
    # 对称点坐标
    x = Symbol("x")
    y = Symbol("y")

    l = get_line(p1, p2)

    # (x, y) 和 p 的中点在直线上
    expr1 = l["k"] * (x + p0[0]) / 2 + l["b"] - (y + p0[1]) / 2
    # 内积为0
    expr2 = (x - p0[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (y - p0[1]) * (p1[1] - p2[1])
    ret = solve((expr1, expr2), dict=True)

    return np.array((float(ret[0][x]), float(ret[0][y]), 0))

3. 总结

再一次看到Sympy的符号化计算的强大之处，它节约了我们在求解问题时计算和推导的时间，

而这部分恰恰是耗时最多的部分。

活用Sympy库，极大的降低了用程序来解决代数和几何问题的门槛。

相关内容回顾：

1. 『Python Sympy：解方程利器』
2. 『Python Sympy：计算微积分利器』
3. 『Python Sympy：优雅解决动态直线交点的实时追踪』