代码随想录算法训练营 ---第五十天

第一题：

简介：

做买卖股票的问题最重要的是分析状态，将状态分析清楚本题也就做出来了。我们看本题它说我们**至多可以完成两笔交易，**也就意味着我们有两种选择

dp状态分析

1.完成一次交易获得最大利益

完成一次交易我们用二维数组来因为完成一次交易有两个状态，dp $i$ $0$ (第一次持股票最大利益) 和 dp $i$ $1$ （第一次不持股票的最大利益）

2.完成两次交易夺得最大利益

完成两次交易那我们就有四个状态分别是

|--------------|----------|
| dp $i$ $1$ | 第一次持有股票 |
| dp $i$ $2$ | 第一次不持有股票 |
| dp $i$ $3$ | 第二次持有股票 |
| dp $i$ $4$ | 第二次不持有股票 |

状态分析完成后我们看状态转移方程

达到dp $i$ $1$ 状态，有两个具体操作：

操作一：第i天买入股票了，那么dp $i$ $1$ = dp $i-1$ $0$ - prices $i$
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp $i$ $1$ = dp $i - 1$ $1$

所以 dp $i$ $1$ = max(dp $i-1$ $0$ - prices $i$ , dp $i - 1$ $1$ );

同理dp $i$ $2$ 也有两个操作：

操作一：第i天卖出股票了，那么dp $i$ $2$ = dp $i - 1$ $1$ + prices $i$
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp $i$ $2$ = dp $i - 1$ $2$

所以dp $i$ $2$ = max(dp $i - 1$ $1$ + prices $i$ , dp $i - 1$ $2$ )

同理可推出剩下状态部分：

dp $i$ $3$ = max(dp $i - 1$ $3$ , dp $i - 1$ $2$ - prices $i$ );

dp $i$ $4$ = max(dp $i - 1$ $4$ , dp $i - 1$ $3$ + prices $i$ );

初始化dp数组

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp $0$ $0$ = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp $0$ $1$ = -prices $0$ ;

第0天做第一次卖出的操作，大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp $0$ $2$ = 0;

第0天第二次买入操作，基于第一次卖出后再买入初始化为：dp $0$ $3$ = -prices $0$ ;

第0天做第二次卖出的操作，大家可以理解当天第二次买入，当天第二次卖出，第二次卖出初始化dp $0$ $4$ = 0;

确定遍历顺序

因为是依赖dp $i-1$ 所以从前向后遍历

遍历dp数组看是否符合预期

大家可以看到红色框为最后两次卖出的状态。

现在最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。如果想不明白的录友也可以这么理解：如果第一次卖出已经是最大值了，那么我们可以在当天立刻买入再立刻卖出。所以dp $4$ $4$ 已经包含了dp $4$ $2$ 的情况。也就是说第二次卖出手里所剩的钱一定是最多的。

所以最终最大利润是dp $4$ $4$

代码实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    /*
    一天一共就有五个状态，
    没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
    第一次持有股票
    第一次不持有股票
    第二次持有股票
    第二次不持有股票
     */
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
          if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
         for(int i=0;i<dp.size();i++){
            for(int j=0;j<dp[i].size();j++){
                cout<<dp[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
        return dp[prices.size() - 1][4];
    }
};

第二题：

简介：

本题和上一题的区别在于可以交易k次状态，所以我们有2*k+1个状态。然后我们可以看一下上一题我分析的两次交易数量不同，状态转移方程的不同发现一下其中的规律就可以做了。

代码实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        if (prices.size()<2) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2*k+1,0));
        for(int i=1;i<dp[0].size();i+=2){
             dp[0][i] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
               dp[i][0] = dp[i - 1][0];
             for(int j=1;j<2*k+1;j++){
                 if(j%2==0){
                      dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]);
                 }else{
                       dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);
                 }
                
             }
        }
        for(int i=0;i<dp.size();i++){
            for(int j=0;j<dp[i].size();j++){
                cout<<dp[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
        return dp[prices.size()-1][2*k];
    }
};

总结：

今天和昨天都是股票买卖的问题，经过这两天的学习，发现了此系列的规律，继续加油！