第一节 行列式的基本概念和性质
一、基本概念
①逆序
1,2和2,1是一对逆序
②逆序数
1,2,3,5,4的逆序数为1;1,3,2,5,4逆序数为4;
③行列式
④余子数和代数余子数
行列式挖掉一个数(例如aij),将原行列式去掉i行j列的行列式M,则M为余子数,代数余子数记为Aij,如果(i+j)为偶数,Aij=M,如果(i+j)为奇数,则Aij=-M
知识补充:使用定义法计算行列式
以三阶行列式为例:
符号确定,列序号的逆序数的个数为奇数,则为负号,逆序数的个数为偶数,则为正号
所以 D = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a11 * a23 * a32 - a12 * a21 * a33 - a13 * a22 * a31
二、几个特殊的行列式
①对角、上(下)三角行列式
②范德蒙行列式
三、行列式的计算性质
(一)一般行列式转化为上(下)三角行列式的性质
①行列式和置换行列式相等
置换行列式:行列交换,aij和aji交换
②对调两行(或两列),改变符号
③对某行(或某列)可以直接把公因子提出来
推论1:如果某行(或某列)全为0,那么行列式结果为0
推论2:如果某两行(或某两列)相同,那么行列式结果为0
推论3:如果某两行(或某两列)成比例,那么行列式结果为0
④行列式某行(或列)的每个元素皆为两数之和时,行列式可分解为两个行列式之和,即:
⑤行列式的某行(或列)的倍数加到另一行(或列),行列式不变,即
k为任意常数
(二)行列式的降阶性质
1.行列式等于行列式某行(或列)元素与其对应的代数余子式之积的和,即
2.行列式的某行(或列)元素与另一行(或列)对应元素的代数余子式之积的和为零即
第二节 行列式的应用-克拉默法则
